(01)
① ∀y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)&(Fbb&Fab&Fcb)&(Fcc&Fac&Fbc)
② ∃y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)∨(Fbb&Fab&Fcb)∨(Fcc&Fac&Fbc)
③ ∀x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb)
④ ∃x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)∨(Fbb∨Fba∨Fbc)∨(Fcc∨Fca∨Fcb)
に於いて、何故、
① は、② を「含意」し、
② は、③ を「含意」し、
③ は、④ を「含意」する。
のか、その「理由」を説明します。
(02)
1(01)(Faa&Fba&Fca)&(Fbb&Fab&Fcb)&(Fcc&Fac&Fbc) A
1(02)(Faa&Fba&Fca) 1&E
1(03)(Faa&Fba&Fca)∨(Fbb&Fab&Fcb) 2∨I
1(04)(Faa&Fba&Fca)∨(Fbb&Fab&Fcb)∨(Fcc&Fac&Fbc) 3∨I
従って、
(01)(02)により。
(03)
① ∀y∀x(Fxy)
② ∃y∀x(Fxy)
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
(04)
① P&Q&R=PでQでRである。
であれば、
② P∨Q∨R=PかQかRである。
であるが、
② P∨Q∨R=PかQかRである。
であるとしても、
① P&Q&R=PでQでRである。
ではない。
従って、
(03)(04)により、
(05)
① ∀y∀x(Fxy)
② ∃y∀x(Fxy)
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
(06)
1 (1)(Faa&Fba&Fca)∨(Fbb&Fab&Fcb)∨(Fcc&Fac&Fbc) A
2 (2)(Faa&Fba&Fca) A
2 (3) Faa 2&E
2 (4) Faa∨Fab 3∨I
2 (5)(Faa∨Fab∨Fac) 4∨I
2 (6) Fba 2&E
2 (7) Fbb∨Fba 6∨I
2 (8)(Fbb∨Fba∨Fbc) 7∨I
2 (9) Fca 2&E
2 (ア) Fcc∨Fca 9∨I
2 (イ)(Fcc∨Fca∨Fcb) ア∨I
2 (ウ)(Faa∨Fab∨Fac)&(Fbb∨Fba∨Fbc) 58&I
2 (エ)(Faa∨Fab∨Fac)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb) イウ&I
オ (オ)(Fbb&Fab&Fcb)を「仮定(A)しても、「同様のやり方」で、
オ (カ)(Faa∨Fba∨Fca)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb) ##&I
キ(キ)(Fcc&Fac&Fbc)を「仮定(A)しても、「同様のやり方」で、
キ(ク)(Faa∨Fba∨Fca)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb) ##&I
― 従って、「同じこと」なので、途中を省略すると、―
1 (ケ)(Faa∨Fba∨Fca)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb) 12エオカキクEE
従って、
(01)(06)により、
(07)
② ∃y∀x(Fxy)
③ ∀x∃y(Fxy)
に於いて、
② ならば、③ である。
従って、
(04)(07)により、
(08)
② ∃y∀x(Fxy)
③ ∀x∃y(Fxy)
に於いて、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② ではない。
(09)
1(1)(Faa∨Fab∨Fac)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb) A
1(2)(Faa∨Fab∨Fac) 1&E
1(3)(Faa∨Fab∨Fac)∨(Fbb∨Fba∨Fbc) 2∨I
1(4)(Faa∨Fab∨Fac)∨(Fbb∨Fba∨Fbc)∨(Fcc∨Fca∨Fcb) 3∨I
従って、
(01)(09)により、
(10)
③ ∀x∃y(Fxy)
④ ∃x∃y(Fxy)
に於いて、
③ ならば、④ である。
従って、
(04)(10)により、
(11)
③ ∀x∃y(Fxy)
④ ∃x∃y(Fxy)
に於いて、
③ ならば、④ であるが、
④ ならば、③ ではない。
従って、
(01)~(11)により、
(12)
① P&Q&R=PでQでRである。
であれば、
② P∨Q∨R=PかQかRである。
であるが、
② P∨Q∨R=PかQかRである。
であるとしても、
① P&Q&R=PでQでRである。
ではない。
といふことが、あるからこそ、
① ∀y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)&(Fbb&Fab&Fcb)&(Fcc&Fac&Fbc)
② ∃y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)∨(Fbb&Fab&Fcb)∨(Fcc&Fac&Fbc)
③ ∀x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb)
④ ∃x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)∨(Fbb∨Fba∨Fbc)∨(Fcc∨Fca∨Fcb)
に於いて、
(Ⅰ)① ならば、② であるが、② ならば、① ではない。
(Ⅱ)② ならば、③ であるが、③ ならば、② ではない。
(Ⅲ)③ ならば、④ であるが、④ ならば、③ ではない。
といふ、ことになる。
かくして、
(01)~(12)により、
(13)
① ∀y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)&(Fbb&Fab&Fcb)&(Fcc&Fac&Fbc)
↓
② ∃y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)∨(Fbb&Fab&Fcb)∨(Fcc&Fac&Fbc)
↓
③ ∀x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb)
↓
④ ∃x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)∨(Fbb∨Fba∨Fbc)∨(Fcc∨Fca∨Fcb)
といふ風に、自分で、書いてみて、初めて、『第11図、二項述語における量記号の交換の規則(沢田允茂、現代論理学入門、1962年、146頁)』が「正しい」といふことを、「文字通り、完全に、理解出来ました」。
といふ、ことになる。
従って、
(14)
① ∀y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)&(Fbb&Fab&Fcb)&(Fcc&Fac&Fbc)
② ∃y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)∨(Fbb&Fab&Fcb)∨(Fcc&Fac&Fbc)
③ ∀x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb)
④ ∃x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)∨(Fbb∨Fba∨Fbc)∨(Fcc∨Fca∨Fcb)
といふ風に、自分で、書いてみるまでは、
『第11図、二項述語における量記号の交換の規則(沢田允茂、現代論理学入門、1962年、146頁)』を、
「完全には、理解してゐなかった。」といふ、ことになる。
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