（238）「二項述語における量記号の変換の規則（Ⅱ）」

（01）
「二項述語における量記号の変換の規則」により、
① ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ＆Ｆｂａ＆Ｆｃａ）＆（Ｆｂｂ＆Ｆａｂ＆Ｆｃｂ）＆（Ｆｃｃ＆Ｆａｃ＆Ｆｂｃ）
② ∃ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ＆Ｆｂａ＆Ｆｃａ）∨（Ｆｂｂ＆Ｆａｂ＆Ｆｃｂ）∨（Ｆｃｃ＆Ｆａｃ＆Ｆｂｃ）
③ ∀ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）＆（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）＆（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）
④ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）∨（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）∨（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）
に於いて、
① は、② を「含意」し、
② は、③ を「含意」し、
③ は、④ を「含意」する。
従って、
（01）により、
（02）
② ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）＝（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ｂｂ＆愛ａｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ｃｃ＆愛ａｃ＆愛ｂｃ）
③ ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）＝（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂｂ∨愛ｂａ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃｃ∨愛ｃａ∨愛ｃｂ）
に於いて、
② は、③ を「含意」する。
従って、
（02）により、
（03）
② すべての人によって愛される人がゐる。
③ すべての人はある人を愛してゐる。
に於いて、
② は、③ を「含意」する。
従って、
（03）により、
（04）
② すべての少年によって、愛される少女がゐる（少女為全少年所愛）。
③ すべての少年には、愛する所の少女がゐる（少年皆有其所愛少女）。
に於いて、
② は、③ を「含意」するに、違ひない。
従って、
（04）により、
（05）
② ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝
③ ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｙｘ）｝
に於いて、
② は、③ を「含意」するに、違ひない。
従って、
（06）
② ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝
③ ∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝
に於いて、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② ではない。
といふ風に、予想される。
然るに、
（07）
（ⅱ）
１　　（１）∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝　Ａ
　２　（２）　　　少女ａ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙａ）　　Ａ
　２　（３）　　　少女ａ　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｉ
　２　（４）　　　　　　　∀ｙ（少年ｙ→愛ｙａ）　　２＆Ｉ
　２　（５）　　　　　　　　　　少年ｂ→愛ｂａ　　　４ＵＥ
　　６（６）　　　　　　　　　　少年ｂ　　　　　　　Ａ
　２６（７）　　　　　　　　　　　　　　愛ｂａ　　　５６ＭＰＰ
　２６（８）　　　　　　　　　　少女ａ＆愛ｂａ　　　３７＆Ｉ
　２６（９）　　　　　　　∃ｘ（少女ｘ＆愛ｂｘ）　　８ＥＩ
１　６（ア）　　　　　　　∃ｘ（少女ｘ＆愛ｂｘ）　　１２９ＥＥ
１　　（イ）　　　少年ｂ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｂｘ）　　６アＣＰ
１　　（ウ）∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝　１ＵＩ
といふ「計算」は、「正しい」。
然るに、
（08）
（ⅲ）
１　　（１）∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝　Ａ
１　　（２）　　　少年ｂ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｂｘ）　　１ＵＥ
　３　（３）　　　少年ｂ　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３　（４）　　　　　　　∃ｘ（少女ｘ＆愛ｂｘ）　　２３ＭＰＰ
　　５（５）　　　　　　　　　　少女ａ＆愛ｂａ　　　Ａ
　　５（６）　　　　　　　　　　少女ａ　　　　　　　５＆Ｅ
　　５（７）　　　　　　　　　　　　　　愛ｂａ　　　５＆Ｅ
の場合は、これ以上、「続けよう」が無い。
従って、
（08）により、
（09）
以下では、敢へて、「ルールを無視した、デタラメな計算」をすると、
１　　（１）∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝　Ａ
１　　（２）　　　少年ｂ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｂｘ）　　１ＵＥ
　３　（３）　　　少年ｂ　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３　（４）　　　　　　　∃ｘ（少女ｘ＆愛ｂｘ）　　２３ＭＰＰ
　　５（５）　　　　　　　　　　少女ａ＆愛ｂａ　　　Ａ
　　５（６）　　　　　　　　　　少女ａ　　　　　　　５＆Ｅ
　　５（７）　　　　　　　　　　　　　　愛ｂａ　　　５＆Ｅ
　　５（８）　　　　　　　　　　少年ｂ→愛ｂａ　　　３７ＣＰ　　は「マチガイ１」。
　　５（９）　　　　　　　∀ｙ（少年ｙ→愛ｙａ）　　８ＵＩ　　　は「マチガイ２」。
　　５（ア）　　　少女ａ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙａ）　　６９＆Ｉ
　　５（イ）∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｃ）｝　アＥＩ
１　　（ウ）∃ｘ｛少女ａ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙａ）｝　４５イＥＥ　は「マチガイ３」。
従って、
（09）により、
（10）
１　　（１）∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝　Ａ
１　　（２）　　　少年ｂ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｂｘ）　　１ＵＥ
　３　（３）　　　少年ｂ　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３　（４）　　　　　　　∃ｘ（少女ｘ＆愛ｂｘ）　　２３ＭＰＰ
　　５（５）　　　　　　　　　　少女ａ＆愛ｂａ　　　Ａ
　　５（６）　　　　　　　　　　少女ａ　　　　　　　５＆Ｅ
　　５（７）　　　　　　　　　　　　　　愛ｂａ　　　５＆Ｅ
　　５（８）　　　　　　　　　　少年ｂ→愛ｂａ　　　３７ＣＰ
　　５（９）　　　　　　　∀ｙ（少年ｙ→愛ｙａ）　　８ＵＩ
　　５（ア）　　　少女ａ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙａ）　　６９＆Ｉ
　　５（イ）∃ｘ｛少女ａ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙａ）｝　アＥＩ
１　　（ウ）∃ｘ｛少女ａ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙａ）｝　４５イＥＥ
といふ「計算」は、「マチガイ」を「３つ」犯しているため、「マチガイ」である。
従って、
（04）（06）（07）（10）により、
（11）
果たして、
② ∃ｘ（少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝＝少女為全少年所愛。
③ ∀ｙ（少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝＝少年皆有其所愛少女。
に於いて、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② ではない。
（12）
｛ｘの変域が、三人の人｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
② ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）＝（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ｂｂ＆愛ａｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ｃｃ＆愛ａｃ＆愛ｂｃ）
③ ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）＝（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂｂ∨愛ｂａ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃｃ∨愛ｃａ∨愛ｃｂ）
に於いて、それぞれ、
② すべての人によって愛される人がゐる。
③ すべての人はある人を愛してゐる。
といふ「意味」である「理由」は、以下の通りである。
（13）
② （愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ｂｂ＆愛ａｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ｃｃ＆愛ａｃ＆愛ｂｃ）＝∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）
の場合は、例へば、
② （愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）
が「真（本当）」であれば、それだけで、「真（本当）」である。
然るに、
（14）
② （愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）
であるならば、
② 愛ａａ⇒ ａは、ａ自身によって、愛されてゐる。
② 愛ｂａ⇒ ａは、ｂによって、愛されてゐる。
② 愛ｃａ⇒ ａは、ｃによって、愛されてゐる。
然るに、
（12）により、
（15）
｛ｘの変域が、三人の人｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
である。といふことは、
｛ａ、ｂ、ｃ｝＝｛すべての人｝
である。
従って、
（14）（15）により、
（16）
② ａは、すべての人によって愛されてゐる。
のだから、
② すべての人によって愛される人がゐる。
といふ、ことになる。
従って、
（12）～（16）により、
（17）
② ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）＝（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ｂｂ＆愛ａｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ｃｃ＆愛ａｃ＆愛ｂｃ）
③ ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）＝（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂｂ∨愛ｂａ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃｃ∨愛ｃａ∨愛ｃｂ）
に於いて、
② すべての人によって愛される人がゐる。
である。
然るに、
（18）
③ （愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂｂ∨愛ｂａ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃｃ∨愛ｃａ∨愛ｃｂ）＝∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
の場合は、例へば、
③ （愛ａｂ）＆（愛ｂａ）＆（愛ｃｂ）
が「真（本当）」であれば、それだけで、「真（本当）」である。
然るに、
（19）
③ （愛ａｂ）＆（愛ｂａ）＆（愛ｃｂ）
であるならば、
③ 愛ａｂ⇒ ａは、ｂを愛してゐる。
③ 愛ｂａ⇒ ｂは、ａを愛してゐる。
③ 愛ｃｂ⇒ ｃは、ｂを愛してゐる。
従って、
（15）（19）により、
（20）
③ すべての人は、ある人を愛してゐる。
従って、
（17）（20）により、
（21）
② ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）＝（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ｂｂ＆愛ａｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ｃｃ＆愛ａｃ＆愛ｂｃ）
③ ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）＝（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂｂ∨愛ｂａ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃｃ∨愛ｃａ∨愛ｃｂ）
に於いて、
② すべての人によって愛される人がゐる。
③ すべての人は、ある人を愛してゐる。
といふ、ことになる。