2点と半径から、円弧補間する－図形的方法

2点と半径から、円弧補間する方法を連立方程式を立てずに、簡単に中心点を２点求め、
凸の円弧と凹の円弧を補間する方法を、図形的に説明する。

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■図形的説明

まえの作図的方法で、点Ａ，Ｂにおいて、半径Ｒのとき、
中心点をＣとして、円弧補間できた。



このとき、点Ａと点Ｂ、半径Ｒは指定された値であり、中心点Ｃが、求める値である。
ここで、点Ａを(x1,y1)、点Ｂを(x2,y2)、半径をrとする。
求めるCを(X,Y）とする。


（１）まず、点Ａ、Ｂに直線を引き、Ａ，Ｂの中点をＰ(xp,yp)とする。
　　　xp=(x1+x2)/2 yp=(y1+y2)/2　である。


　　点Ａから中点Ｐまでの距離をｌとする。ｌは、ＡＢ間の距離の半分だから、
　　l=SQRT((x1-x2)^2+(y1-y2)^2))

　　また、△ＡＰＣと△ＢＰＣにおいて

　　　　　ＡＰ＝ＢＰ　（中点）
　　　　　ＡＣ＝ＢＣ　（半径Ｒ：仮定）
　　　　　ＰＣは共通なので、

　　三辺が等しい。よって、△ＡＰＣ≡△ＢＰＣ

　　したがって、∠ＢＰＣ＝∠ＡＰＣ　また、∠ＢＰＣ＋∠ＡＰＣ＝１８０度（直線ＡＢ）なので、
　　∠ＢＰＣ＝∠ＡＰＣ＝９０度（＊）

　　したがって、△ＡＰＣは、直角三角形。
　

　　そこで、ＰＣをｓとすると、

　　ｒ＾２＝ｌ＾２＋ｓ＾２　　（三平方の定理）
　　ｓ＝ＳＱＲＴ（ｒ＾２－ｌ＾２）
　　ｌは、上記にあるようにもとまるので、ｓも求まる。



（２）中点Ｐを原点となるように、平行移動する。


　　ここで、Ｃの座標がもとまればよい。このとき、ＣからＸ軸に垂線をおろし、それを、Ｃ’とする
　　また、点Ａから、Ｙ軸に対して、垂線をおろし、それをＡ’とすると、

　　黄色い三角形ＯＡＡ’と赤い三角形ＯＣＣ’は、相似形になっている

　＜理由＞
　　相似なら、３角が等しいはず。
　　∠Ａ’ＯＡ＋∠ＡＯＣ’＝∠Ａ’ＯＣ’＝９０度（座標軸は直交する）
　　∠ＡＯＣ’＋∠Ｃ’ＯＣ＝∠ＡＯＣ　　＝９０度（Ｏは、もともとはＰ、つまり∠ＡＯＣ＝∠ＡＰＣ＝９０度＊）
　　上の式から下の式を引くと
　　∠Ａ’ＯＡ－∠Ｃ’ＯＣ＝９０度ー９０度＝０
　　よって、∠Ａ’ＯＡ＝∠Ｃ’ＯＣ
　　∠ＡＡ’Ｏ＝∠ＯＣ’Ｃ＝９０度（垂線を引くと仮定した）
　　三角形において、２角が等しければ、３角等しい（３角目＝１８０度ー等しい２角だから）
　　よって、相似。


（３）図より、△ＡＯＡ’を原点から、－９０度回転すればよい

　マイナス９０度回転すると、

　　cos(-90度) -sin(-90度) X 　　　Y
　　　　　　　　　　　　　　　　 =
　　sin(-90度）　cos(-90度） Y -x

　　　　（本当は、行列式で書く）

　つまり、Ａの点(x1’,y1’)のとき、回転先は、(y1’,-1*x1’)となる。
　　（Ｘ１’，Ｙ１’は、原点を中点Ｐに平行移動したときの、点Ａの座標。
　　　だから、元の点Ａから求めることができる）

（３）この回転先の点(y1’,-1*x1’)のs/l倍が、Ｃ，
　　　よって、このＣを平行移動前に逆変換する。

2点と半径から、円弧補間する－作図的方法

2点と半径から、中心座標と円弧を描く方法
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/2362104.html

に、あまりにも、「ありえない」方法が書いてあったので、
コメント。

ちなみに、そこには連立方程式を解くとあったが、
その方法だと、ものすごい連立方程式になる。
最終的に、ｂ±なんとかとなり、２点でる。ｂが中点になり、
それに対称に出るのだが、その式を解こうとすると、
めちゃくちゃ大変で、わけわからなくなるはず！

それより、もっと超簡単な方法があるので、
それを紹介したいんだけど、その前に、作図的にどうかくかを説明！！

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■作図的解法

Ａ，Ｂ２点の間を、

半径Ｒで円弧補間することを考える。
今回は、作図する方法について述べる。

（１）まず、半径であるＲの長さをコンパスでとって、
　　　点Ａから半径Ｒの円（の一部）を描く。
　　　同様に、点Ｂからも半径Ｒの円（の一部）を描く。
　　　交点ができるように、描くこと


（２）交わった交点に、コンパスの芯をおいて、
　　　コンパスでＡ点からＢ点へ円を引くと円弧補間できる

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次回は、図形的解法。すべては、ＡＢに線を引くところからはじまる・・・