「運動方程式への応用③ラプラス」
スカイフックダンパ
（アクティブダンパ）
前記事「運動方程式への応用②」では、バネ-質量系の周波数特性（振動絶縁性能）は、減衰比ζ＝C/2√(MK)の作用によって大きく変化することが確認できました。ζが小さければ高周波での振動絶縁性能は優れているけれども、固有振動数（ω0）では振動絶縁どころか、入力振動（床振動）を10倍近く増幅してしまいます。反対にζが大きければ固有振動数での増幅は小さくなりますが、高周波での振動絶縁性能は低下します。つまり、「あちらを立てればこちらが立たず」という関係で、実際にζの値を決めるときには妥協点を選ぶしかありません。
（ただし、入力振動［床振動］にも周波数成分がありますから、もし5Hz～100Hz以外の周波数成分は無視量ということであれば、バネ-質量系の固有振動数を2Hzくらいにして、ζを可能な限り小さくすれば良いわけです。）
さて、本当に欲しいのは、「あちらも立つしこちらも立つ」という都合のいい仕組みですね。つまり、固有振動数の増幅など無く、すべての周波数帯域で振動絶縁できる構造はないか？
実は、既に図で示していますが、その方法があるのです。そもそも、ζを大きくすると高い周波数での振動絶縁性能が落ちるのは、ダンパが質量と地面との間に取付けられているために
運動方程式 M x''(t)＝－C {x'(t)－x'0(t)}－K{ x(t)－x0(t)} ----- ④
に見るように
Cがx'(t)－x'0(t) の差分にかかっているため、床振動x'0(t) に対しても力を発生するからです。ならば話は簡単で、図のようにダンパの床の支持点を切り離して、空中の絶対静止点を支持点にすればよいのです。これをスカイフックダンパといい、ここではCaで表します。
では、スカイフックダンパを用いた「バネ-質量系」の運動方程式を見てみましょう。
M x''(t)＝－Ca x'(t)－K{ x(t)－x0(t)} ----- ⑧ これが運動方程式です
M x''(t)＋Ca x'(t)＋K x(t) ＝ K x0(t)
C x'0(t) が消えただけですから、ラプラス変換して伝達関数の形にすると
X / X0＝K/M / ( s^2＋sC/M＋K/M) ----- ⑨
前例にならい、式⑨を次のように変形します。
X / X0＝{√(K/M)}^2 / [ s^2＋sC/{2√(MK)}{ 2√(K/M) }＋{√(K/M)}^2]
X / X0＝ω0^2 / (s^2＋2ζω0 s＋ω0^2 ) ----- ⑩
Cc＝2√(MK) 臨海減衰係数
ζ＝Ca/Cc 減衰比
ω0＝√(K/M) 固有振動数（rad/sec）
ω0 / 2π 固有振動数（Hz）
sにjωを代入して「フーリエ変換」にします。
X / X0＝ω0^2 / (jω)^2＋j2ζω0 ω＋ω0^2 )
分母の複素数の絶対値は
[(ω0^2－ω^2)＋j2ζω0 ω]＝√{(ω0^2－ω^2)^2＋(2ζω0 ω)^2}
よって、式⑩の絶対値は
［X / X0 ］＝ω0^2 / √{(ω0^2－ω^2)^2＋(2ζω0 ω)^2} となります。
図のグラフは「スカイフックダンパ」の伝達関数（周波数特性）です。
ζを大きくすることにより共振周波数の山はつぶれ、高い周波数の振動絶縁性能も劣化しません。また理屈上、ζはいくらでも大きくすることができます。このように、スカイフックダンパは夢のような減衰器なのです。ただ値段を聞くと目ん玉が飛び出しますね。自動車では、一部の高級車に取り付けられていたことがあるようです。
関連記事：
「アクティブダンパ（アクティブサスペンション）」2009-11-22
「運動方程式への応用②」2009-11-19
スカイフックダンパ
（アクティブダンパ）
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（ただし、入力振動［床振動］にも周波数成分がありますから、もし5Hz～100Hz以外の周波数成分は無視量ということであれば、バネ-質量系の固有振動数を2Hzくらいにして、ζを可能な限り小さくすれば良いわけです。）
さて、本当に欲しいのは、「あちらも立つしこちらも立つ」という都合のいい仕組みですね。つまり、固有振動数の増幅など無く、すべての周波数帯域で振動絶縁できる構造はないか？
実は、既に図で示していますが、その方法があるのです。そもそも、ζを大きくすると高い周波数での振動絶縁性能が落ちるのは、ダンパが質量と地面との間に取付けられているために
運動方程式 M x''(t)＝－C {x'(t)－x'0(t)}－K{ x(t)－x0(t)} ----- ④
に見るように
Cがx'(t)－x'0(t) の差分にかかっているため、床振動x'0(t) に対しても力を発生するからです。ならば話は簡単で、図のようにダンパの床の支持点を切り離して、空中の絶対静止点を支持点にすればよいのです。これをスカイフックダンパといい、ここではCaで表します。
では、スカイフックダンパを用いた「バネ-質量系」の運動方程式を見てみましょう。
M x''(t)＝－Ca x'(t)－K{ x(t)－x0(t)} ----- ⑧ これが運動方程式です
M x''(t)＋Ca x'(t)＋K x(t) ＝ K x0(t)
C x'0(t) が消えただけですから、ラプラス変換して伝達関数の形にすると
X / X0＝K/M / ( s^2＋sC/M＋K/M) ----- ⑨
前例にならい、式⑨を次のように変形します。
X / X0＝{√(K/M)}^2 / [ s^2＋sC/{2√(MK)}{ 2√(K/M) }＋{√(K/M)}^2]
X / X0＝ω0^2 / (s^2＋2ζω0 s＋ω0^2 ) ----- ⑩
Cc＝2√(MK) 臨海減衰係数
ζ＝Ca/Cc 減衰比
ω0＝√(K/M) 固有振動数（rad/sec）
ω0 / 2π 固有振動数（Hz）
sにjωを代入して「フーリエ変換」にします。
X / X0＝ω0^2 / (jω)^2＋j2ζω0 ω＋ω0^2 )
分母の複素数の絶対値は
[(ω0^2－ω^2)＋j2ζω0 ω]＝√{(ω0^2－ω^2)^2＋(2ζω0 ω)^2}
よって、式⑩の絶対値は
［X / X0 ］＝ω0^2 / √{(ω0^2－ω^2)^2＋(2ζω0 ω)^2} となります。
図のグラフは「スカイフックダンパ」の伝達関数（周波数特性）です。
ζを大きくすることにより共振周波数の山はつぶれ、高い周波数の振動絶縁性能も劣化しません。また理屈上、ζはいくらでも大きくすることができます。このように、スカイフックダンパは夢のような減衰器なのです。ただ値段を聞くと目ん玉が飛び出しますね。自動車では、一部の高級車に取り付けられていたことがあるようです。
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