エントロピーとは（６） －熱エネルギーの量と伝搬－

　この「エントロピーとは」というシリーズは、熱学と情報にかかわるエントロピーとの関連性について疑問を寄せられたことから、その解決を求めて調べ始めたものである。前回は、電気エネルギーとのアナロジーを述べたが、熱学の歴史を辿ると熱エネルギーの伝搬に関しても多くの研究が成されている。

　下記に示す熱学の歴史を述べた成書を入手したので、これらを精読しながら今回は熱エネルギーの伝搬について述べよう。下記の成書は、いずれも熱学の歴史を知るためには良書である。

・高林武彦「熱学史（第２版）」　海鳴社　1999年

・山本義隆「熱学思想の史的展開（１）（２）（３）」　ちくま学芸文庫　2008年

 エントロピーの疑問点は、これまでにも指摘したように熱エネルギーの伝搬とか放散等の時間経過を考慮することなく、「準静的」と大上段にかまえて理論的に展開することにある。従ってエントロピーに着目する限り、熱エネルギーの伝搬とか放散、さらにいえば物質が固体から液体、液体から気体などに変化する相転移とか化学変化に伴う熱エネルギーの転移などについてもエントロピー増大則として包括的に扱うことがある。いかにも正確性と精密性に欠けることになり、現代のエネルギー危機が叫ばれる時代にふさわしくない。

　日本の代表的な大企業で熱機関の開発に携わっている方に、ある会合の宴席の立ち話で「熱機関の設計にエントロピーを利用しますか」と問いかけたところ、即座に「エントロピーは、熱機関の設計には用いません」と明言されたことがある。

　調べた範囲ではあるが、高等学校の物理の教科書には熱のエントロピーのことは書かれていない。大学の物理学の教科書の熱学（熱力学となっている）には、例外なくエントロピーのことが書かれている。学期末試験問題には出題されるであろうから、学徒は猛勉強することになる。定期試験にむけた猛勉強中には疑問を持つことは禁物である。素直に頭脳にたたき込まなければならない。 

さて本筋にもどろう。まずは熱学においては、温度を測る手法として気体温度計を1593年頃にガリレオ・ガリレイが発明している。熱の温度を測る科学的手法がもたらされた。日本では徳川家康勢と豊臣勢の関ヶ原の戦い、大阪城を取り巻く争乱の時期である。

　熱の温度は、熱エネルギーのポテンシァルを示している。熱には量、つまり熱量があることが温度計の出現によって明確になった。熱を量として測定し、熱容量の概念を与えたのは、グラスゴー大学の教授からエディンバラ大学に移籍したブラック（1728-1799）であった。熱容量を明確にした年代は特定できない（理科年表によると1761年と表記）が残された講義録から、ブラックが熱容量を明らかにしたという史実になっている。ブラックの実験結果を基にして熱エネルギーを保持する熱容量Ｃを下記のように定義したのは、ラボラジェ（1743－1794）、ラプラス（1749－1827）である。

Ｃ＝dＱ／dＴ　　　　　　　　　　　　　（１）

ここでＱは熱量、Ｔは温度、dは微分演算子である。前回で述べた熱エネルギーは電気エネルギーと同類のように扱いうることは、1700年代後半に明示されていたといえる。ここで、熱容量の定義は、時間要素が含まれていないことは注意したい。また熱容量は、熱伝導度とも異なることがブラックの実験結果による講義録から明らかにされている。

　熱量の概念の発展は温度計の発明から150年以上経過しており、日本では平賀源内が科学的な貢献を行っていた時代である。　クラジュウスが1865年に提唱したエントロピーの下敷きになっていることは明らかであろう。

　エントロピーは時間要素を考慮していないが、熱学の歴史には、熱エネルギーの移動に時間要素を扱っている。その中にニュートン（1642－1727）の冷却法則があり、熱学において時間要素tを考慮した端緒である。ニュートンの原典資料は、手元の書籍にさしあたり見あたらないので、ウィキペディアから引用する。

　Ｑの熱量を持ち、温度がＴのある物体を温度がＴ_mの無限大の熱量を持つ物体に接したときの熱量の移動は

dＱ／dt＝－αＳ（Ｔ－Ｔ_m）　　　　　　　（２）

であるという冷却法則である。ここでdtは微小時間、Ｓは物体の表面積、αは様々な物理的な状況による常数である。この法則は、冷却に限らず加熱にも適用できることに注意しておきたい。

　上記のＣ＝dＱ／dＴ　（１）の方程式に時間要素dtを考慮して

dＱ／dt＝ＣdＴ/dt　　　　　　　　　　　　（３）

を用いると

ＣdＴ/dt＝－αＳ（Ｔ－Ｔ_m）　　　　　　　（４）

となり、この微分方程式を当初の物体の温度をＴ₀としてＴについて解くと、

Ｔ＝（Ｔ₀－Ｔ_m）e^－αSt/C ＋Ｔ_m　　　　 （５）

となり、指数関数的に冷却することがわかる。 

　エントロピーの表現による場合、時間的経過は準静的として扱うことから、このような冷却現象は説明できない。またこのニュートンの冷却法則によれば、熱力学の熱平衡に関する第０法則は、厳密に解釈すると無限大時間かけなければ成立しないことを意味している。準静的条件には、ニュートンの冷却法則から、長大な時間を要する場合があることに注意したい。

　ガソリン・エンジンなどの内燃機関の効率を調べると燃焼ガスの冷却と放出によるエネルギー・ロスは50％以上になるという。以上のニュートンの冷却法則の説明から内燃機関の設計にエントロピーを用いない理由が理解できる。 （応）

エネルギーの値段 －炉端老人の談義－

　きたな。ゴーヤのおみやげかい。
なに日差しよけ作物として育てた自然からの贈りものなの。立派だよ。
オーイ、ばあさん、こりゃゴーヤ・チャンプルがいい。３本もある。

　お子さん連れでのおでかけか、わかったよ。夏休みの自由研究のことだろう。
そうだな、エントロピーの話題がここのところ続いているようなので、エネルギーの値段を調べてみるのはどうかな。
　中学生では少しばかり難しいかも知れないが、エネルギーの大切な時だから、どのような値段がつくのか、この老人も楽しみにしている。
　エネルギーの単位は、ジュールで記号はＪだ。別の単位で表すとニユートン・メートルつまりＮ・ｍだ。ジュールもニュートンも科学者の名前だね。
　ガソリン１リットルの2013年８月現在の値段は157円ぐらいだ。34.6メガＪのエネルギーになる。他の燃料についても値段と熱量を調べて比べてみるとよい。メガは10の６乗、つまり100万の単位だよ。いいかい。

　電気エネルギーの値段は、変動しているが１キロ・ワット時で25円ぐらいだろうか。気をつけなければいけないのは、電気エネルギーは時間単位になっていることだから、１キロ・ワット時は3.6メガＪになるだろう。
　このまま比べるとガソリンと電気はいずれが高いかわかるがね、実際にはエネルギーによる効率がかかる。別の問題もあるよ。

　さて、おまえさんに供給するエネルギーの値段はどうかな。
成人したヒトの所要カロリーは、１日当たり1800-2200キロ・カロリーといわれている。国際規格ではカロリー表示する場合はジュールでの標示を義務づけている。
１カロリーは4.18Ｊだから、およそ7.5メガＪ－9.2メガＪになる。
　おや、お母さんの手料理だから、今日は1500円だって。
ウーン、ガソリン１リットルのほぼ５分の１程度、つまり一日あたりコップいっぱいに相当するガソリンと同じエネルギーを消費する。いかに少ないエネルギーでヒトは活動するかわかるね。しかし、それに要した費用はガソリンの10倍近い。

　どうだ、こんな自由研究をするとヒトの命がいかに高くついて貴重かわかるね。
大いに努力して社会の役にたつようになってほしい。

　おっ、ゴ－ヤ・チャンプルができたって。ビールはどうかい。
ナニナニ運転するから、ダメだって。
オーイ・バアサン、アルコール・ゼロのうまいビール味飲料があるはずだ。それを持っておいで。
カロリー・ゼロとある。ジュール・ゼロと表示しなければ国際規格標示違反だよねぇ。メーカーはわかっているのかな。
（納）

著者注：　石炭の現在の国際価格は、約100ドル／トンである。石炭の熱エネルギーは、約25メガJ／kgである。きわめて大まかに石炭は石油の1/10の価格といえる。

国際単位系に進言 －電気の単位系を見直しては－

　エントロピー（５）で熱エネルギーと電気エネルギーのアナロジーについて述べた。
そのアナロジーを国際単位系に基づく次元表現を確かめて愕然とした。
熱容量の単位系による表現は、m^2・kg・s^-2・K^-1 （^は肩付きを表す、すなわち ^2 は２乗）
であり、電気容量の単位系による表現は、m^-2・kg^-1・s^4・A^-1
である。温度と電流以外は、ほぼ逆数関係にある。

　原因は何か。電気の国際単位系における基本単位の定義は電流である。
その定義を理科年表からそのまま引用しよう。
　「電流　アンペア（ampere，Ａ）は、真空中に1mの間隔で平行におかれた、無限に小さい円形断面積を有する、無限に長い２本の直線上導体のそれぞれを流れ、これらの導体の長さ1mごとに２×10-7Ｎの力を及ぼし合う一定の電流である。」
　この定義による精度の高い電流は測定可能なのだろうか。無限に細い、無限に長い導体、ここには表記されていないが恐らく抵抗ゼロの導体を用いて、その間に及ぼす力をどのようにして測定するのか。
　本来基本単位は、精度高く測定可能な一次的な値であることが必要である。この定義によれば、電流は２次的な値でしか測定できない。さらに無限であることを要する物体はないから補正も加わるから、甚だしく正確性に欠ける基本単位である。

　それでは電流に変わる基本単位は存在するのだろうか。
ある。
　理科年表の中に電圧標準・抵抗標準について次の記述がある。
「1988年国際度量衡委員会の勧告にもとづき、1990年以降、電圧標準と抵抗標準は、それぞれジョセフソン効果と量子ホール効果を用いて次のように表現されている。
－以下、細かい数値が表示されているので省略－」
　いま電圧は二次的な基準として扱われている。この勧告が実施されていることから電圧が基本単位になることは、ここに進言するまでもなくやがて採択されるものと信じられる。
そこで、電気量をエネルギーとして、電圧を元に電気容量を次元で表記すると、m^2・kg・s^-2・V^-1　となる。国際単位系の電気に関する基本単位が変更されれば、熱エネルギー容量と電気エネルギー容量のアナロジーが単位系による次元の表現でもはっきりとわかることになる。
　電流に関する基準の記述は、電流による力を表すために必要であることは理解できる。
現在の基本単位から外し、電流による力として誘導できる単位としてはどうだろうか。
　物理学の教科書は、高校物理から書き改めることは避けられないが。
（納）

エントロピーとは（５） －電気エネルギーとのアナロジー－

　熱エネルギーの量をＱ（単位の記号はＪ、ジュール）、絶対温度をＴ（単位の記号はＫ、ケルビン）としたとき、クラジュウスが最初に提示したエントロピーＳを原典として引用すれば
Ｓ＝Ｑ／Ｔ
である。
　電気の分野では、電気量（電荷）Ｑとコンデンサー（米国ではキャパシターという、コンデンサーは蒸気を水に戻す凝水器と混同するからであろう）の持つ容量Ｃ、電圧Ｖとの間に
Ｃ＝Ｑ／Ｖ
の関係がある。電気の場合、この電気量Ｑは、エネルギーとして取り出すことができる電気エネルギーである。Ｖは電圧であり、ポテンシァルを表す。この電圧と温度もポテンシァルを表すので、熱学のエントロピーＳと電気でのコンデンサー容量Ｃと同じとみなことができる。
ここに熱学分野と電気工学でのアナロジーが見いだされる。

　ただし電気で扱う電気量の単位はクーロン（時間×電流、電流は国際単位系による基本単位）と時間成分があるが、エントロピーには加速度としての時間成分しかないことは改めて指摘しておきたい。熱学のエントロピーとコンデンサー容量をアナロジーとして扱う場合、この点を注意しなければならない。別のいいかたをすれば、エントロピーには積分された時間成分がないことから、エントロピーのことを正しく理解できない原因の一つであろう。

　電気量を貯めることができるコンデンサーに関して、最近ではスーパー・コンデンサー（スーパー・キャパシター）と呼ばれる大容量のコンデンサーも出現している。電気容量は、電圧を測定することで判定できることはいうまでもない。
（応）

カンゾウさんは、無口です

　暑中見舞いのハガキを知人からいただいた。

　そこに「カンゾウさんは、無口です」という支援キャンペーンのメッセージがあり、その添え書きには「全ての国民が１回は肝炎ウイルス検査を受けることが必要と国が言っております」とある。
　この知人の御主人は、知らない間に肝炎ウイルスに感染し、壮絶な闘病もむなしく比較的若いときに生涯を閉じている。その書き残された図書が手元にあるが、国にそのように言わせる一つのきっかけとなったと考えている。

　さらに「回りの方々にもこの検査をお薦めください」と書かれている。

お伝えしておこう。　（応）

エントロピーとは（４） －熱のエントロピーの定義とその増大則－

　2009年１月から、エントロピーについて議論を交えながら述べている。

・エントロピーとは　　　　2009.1.31　
・エントロピーとは（２）　 2009.2.1
・エントロピーとは（３）　　－食べ物については？－2009.2.2

様々な教科書、単行本、さらにはインターネットを検索しながら、数年にわたってエントロピーのことを調べていたが、正直なところ、いまだに充分理解できていない。
　エントロピーについては、熱力学（以下ここでは熱学ということにする。その理由は熱エネルギーに関して、力学のみに限定されないからである）、統計力学、情報工学、はては曖昧事象にまで拡大して多くの書物があるが、ここでは熱学に限定しておこう。インターネット上では、若い学徒も熱のエントロピーのことはよく分からないという「つぶやき」も聞こえてくる。その理由を明らかにすることも意味があると思われる。

　最も基本的な疑問から提起する。
エントロピーを扱う場合には、時間要素を考慮しない。その理由は温度をＴで表すために、時間に関わる表記 ｔ と混同するからであろうか。誰でも体験するように、熱く湧かしたお湯を室温にさらしておくと、時間が経過すると共に冷却して室温と平衡する。お湯の熱量が放散するからである。このような時間的な推移、エントロピーの変化を準静的として扱うことで時間経過は考慮しない。

　ここでエントロピーＳの定義を教科書から引用する。
次のように積分形式で定義することが多い。
　Ｓ＝　∫δ’Q／Ｔ
Ｑは熱量、δ’は全微分演算子、Ｔは温度である。ここで注意しなければならないこととして温度Ｔは環境温度であり積分にあたっては注意を要する。全微分演算子のδ’は多数の変数があっても物理的には個々独立に積分可能という意味を表し、エントロピーを準静的に取り扱うことと関係がある。ここで全微分については別の機会に述べることにするが、簡単にその意味を次に述べる。
平成25年に富士山は世界文化遺産として登録された。富士山頂上に麓の仮に標高1000メートルの地点から登山を始めるとしよう。頂上に至る経路は数多くある。頂上の3776メートルとの標高差の2776メートルに注目し、登山に費やした労力はいかなる経路を辿ったかによるもので、その経路で駆け足登山をしたか、あるいは途中で何度も休み、いかに時間をかけて登山しても同一視する。エントロピーに時間要素がないことからこの考え方は納得できるであろう。ある熱学を扱う成書のなかに「熱力学では仕事では全微分ではない」という一行が片隅に密かに記されている。著者の本音として注目しておきたい。

またエントロピーの定義を微分形式によって
　ΔＳ＝δ’Q／Ｔ
と表すこともできる。この微分形式でも時間成分は考慮しない。
　権威ある理科年表の単位系の表示では、エントロピーは熱容量と同等に扱う。
これは微分形式を変形して
ΔＳ・Ｔ＝δ’Q
とすれば、温度Ｔと熱容量ΔＳの積から、熱量δ’Qが与えられることからよくわかる。

　ここでエントロピーのことが理解できなくなる理由の一つを指摘しておこう。
熱量δ’Qが環境温度と平衡することで放散、あるいは吸収することを準静的過程として扱うことから、エントロピーΔＳが変化すると仮定することである。
準静的という仮想を避けて、時間経過による熱エネルギーの拡散、あるいは吸収とし、熱容量は一定として取り扱えばよいのではないかと疑問がおきる。クラジュウスがエントロピーの定義を示して、すでに150年近く経過している。その間に多くの科学者がその疑問に遭遇しながらも、エントロピーの美的表現に魅了されて熱学の学問的な発展を遂げているといえそうである。

　熱に関するエントロピーが定義されてから、エントロピーは増大するということが様々な理論的立場から立証されている。このエントロピーの増大についても、理解が難しい。これまた若い学徒のなやみとして、そのつぶやきが伝わる。
一体エントロピーの増大とはどういうことであろうか。エントロピーの積分形式の定義を再掲する。
　Ｓ＝　∫δ’Q／Ｔ
　エントロピーＳが、増大するということは、δ’Qが増大するか、あるいはＴが減少することである。Ｑは熱量であり、真空などの何も無い状態では保持できない。エントロピーＳが関わる物質、すなわちある量の気体、液体、固体、もしくはこれらの混合体が存在しなければならない。これを物質Ｍとしよう。
　熱学の分野では、この物質Ｍがある環境とどのような関係にあるかを定めている。物質Ｍが環境と隔離されている場合は独立系という。すべて宇宙空間に存在する物質は熱的に独立ではないが、熱学を理論的に扱う場合、環境とは独立していると仮定する場合がある。また物質Ｍは、環境の温度に依存すると仮定する場合もある。このことを熱学では温浴という。このときのエントロピーＳの定義の温度Ｔは一定である。つまり温浴に浸っている物質Ｍ、そのエントロピー方程式の温度Ｔは定数として扱う。
　物質Ｍが温浴にあるとき、それが冷却すれば熱エネルギーが供給されて温度を一定に保たれる。
地球上に存在する物質の熱エネルギーは、夜間に絶対温度で3Ｋの宇宙背景放射（Kは絶対温度の意味）に放散されて冷却され、新らたに地球環境温度にある温浴として熱エネルギーが供給される。
見かけ上は地球上に存在する物質はすべてδ’Qが増大する。これがエントロピー増大原理のグローバルな解釈である。

　以上の説明では、熱エネルギーの移動のことを述べていないから、納得いかない方もあろう。次に熱エネルギーの移動について述べる。
　一般的にエネルギーには、ポテンシャルを考えると解り易い。エネルギーのポテンシャルとは、エネルギーそのものではない。エネルギーを転送するための高低差である。
エネルギーはポテンシャルの高い値から低い値に移動する。低い値から高い値には、エネルギーは移動しない。水は高い方から、低い方に流れるが低い方から高い方に自然に流れることはない。電気も高い電圧から低い電圧の方向に電流が流れる。
気体は、圧力が高い方から低い方に向かって膨張する。熱エネルギーも高い温度から低い温度の方にしか流れない。時間を戻さない限り逆流しない。
時の流れは戻せない。
物理学者はこのことを「時間の矢」ともいっている。
　位置エネルギーの高低差、電気エネルギーの電圧、気体エネルギーの圧力、熱エネルギーの温度などはエネルギーそのものではないが、エネルギーを移動させるためのポテンシャルである。ポテンシャルの差が無くなれば、エネルギーの移動はない。
　熱学では、熱エネルギーの移動がなくなったことを平衡状態という。
　次にエネルギーを運ぶ担い手について述べる。位置エネルギーの担い手は質量であり、電気エネルギーの担い手は電流、気体エネルギーの担い手は体積である。ここで熱エネルギーを運ぶ担い手は何であるのか。
熱学の歴史を辿ると熱素が伝搬するという説も出されていたが、この説、いまはない。
熱エネルギーを運ぶ担い手が何であるか、恥ずかしながら筆者には確たる答えを持ち合わせていない。調べた範囲でいえば、物質の分子運動が熱によって励起される状態が伝搬し、励起された分子が衝突することで内部の熱エネルギーを保持、失われた熱エネルギーは温浴として存在する環境から供給されると考えている。

　さらに話しが続くが、長くなると退屈するので、熱のエントロピーの定義とエントロピーの増大に関するグローバルな考え方、エネルギーの一般的な考え方は、とりあえずここまでにしておくことにする。
（応）