たまには数学っぽい更新を（笑）
じゃんけんとかコイントスとか、一般に勝率５割になるゲームをするとします。しかしそのゲームを１０回やったとして、確率的には５勝５敗になるはずなのに感覚的には中々ピッタリとはなりませんよね。実は勝率５割のゲームを１０回した時、丁度５勝５敗になる確率は10Ｃ5×0.5＾5×(1-0.5)＾(10－5)で、約２４．６１％（Ｃはコンビネーション）。つまり４回に１回程度しかならないのです。この計算式を一般化すると、「試合数Ｃ勝数×勝率＾勝数×（１－勝率）＾(試合数－勝数)」ですが、まあ勝率５割ならもっと単純に、組み合わせを数えて０．５の試合数乗をかければいいですな。これを使って同様に全ての勝敗を計算すると、以下のような正規分布になります。
10勝０敗・・・0.10％
９勝１敗・・・0.98％
８勝２敗・・・4.39％
７勝３敗・・・11.72％
６勝４敗・・・20.51％
５勝５敗・・・24.61％
４勝６敗・・・20.51％
３勝７敗・・・11.72％
２勝８敗・・・4.39％
１勝９敗・・・0.98％
０勝10敗・・・0.10％
たった１０回のゲームでも、１０連勝するというのは１０００に１つの奇跡だということが分かりますし、例えば７回以上勝ったら合格とする場合、単純に上から４つを足して１７％くらい起こり得るということが分かるわけですね。４～６勝に留まる確率は６６％ですからほぼ３分の２はこの結果に落ち着きます。まあ１７％程度なら、運が良ければ起きなくはない事象だと言えるでしょう。
で、何が言いたいかというと、囲碁の話題だったりします（笑）
自分は現在初段～２段くらいの実力ですが、ネット囲碁の段位というのは絶対評価ではなく、「私は初段だ」と自己申告している人同士が対局して、ある程度の勝率を上げる必要があります。初期登録の申告級は任意なので、当然過小申告や逆もあり、結構どの段級でも勝ったり負けたりするわけですが、そういうイレギュラーも加味し、「総合してこれくらい勝ち越せば上に進んでもＯＫ」という相対評価になっているのですね。まあ対局者はある程度選べますけど、勝ちが多くなると今度は自分が敬遠されてしまいますから、やはり自分より強い人との対局も避けられません。勝率５割は行くもののそこから勝ち越すのは結構難しく、特に昇段まであと２勝くらいになるとやたら強い人と当たって負けるということもよくあります（笑）
東洋囲碁というサイトでは、級位者は１５戦で１０勝以上（６７％）勝てば良いのですが、初段からは２０戦１４勝以上（７０％）が必要になります。パーセンテージだけ見れば僅か３ポイントの違いですけど、これが体感だとかなり違うので、何か分かりやすいモノサシはないものかと考えた結果、この計算式を応用することを思いついたのです。つまり、完全に勝率５割でランダムに勝つ「勝率５割君」がいて、彼が偶然昇段（昇級）に値する結果を出す確率はどれくらいあるかを考えれば、昇段級の難しさが計れるのではということですね。面倒くさい計算はエクセルに任せて（笑）結果だけはじき出すと、１５戦で１０勝以上する確率は１５．０９％、２０戦で１４勝以上する確率は５．７７％であることが分かりました。つまり、偶然に頼ると段は級の２．６倍も上がりにくいというわけですな。この差なら納得・・・
最近は、野狐囲碁というサイトが人気のようです。トップクラスの棋士や最新ＡＩの対局が毎日のように行われ、無料で観戦できるので、自分も先月から初段で登録して始めることにしました。しかしここは低位層の昇段級基準が東洋囲碁より緩く、何と３段までは１９戦１２勝以上（６３％）で上がれてしまうようです。これなら「勝率５割君」だと１７．９６％と、東洋の１桁級よりも楽に上がれてしまう模様です。まだ２局しか打っていませんけど、基準が緩いためか東洋の同じクラスよりも若干弱く感じました。これは今年中に３段あるかも！？
ちなみに試合数が多ければ多いほど「偶然７割以上勝つ」ことは難しくなっていきます。試しに１００試合で７０勝以上する確率を計算してみると、何と0.0023％とほぼありえないことが分かりました。一方４０〰６０勝以内に落ち着く確率は96.48％もあります。確率とは数をこなすと中央値に収束する不思議な性質をもっているのですね。
じゃんけんとかコイントスとか、一般に勝率５割になるゲームをするとします。しかしそのゲームを１０回やったとして、確率的には５勝５敗になるはずなのに感覚的には中々ピッタリとはなりませんよね。実は勝率５割のゲームを１０回した時、丁度５勝５敗になる確率は10Ｃ5×0.5＾5×(1-0.5)＾(10－5)で、約２４．６１％（Ｃはコンビネーション）。つまり４回に１回程度しかならないのです。この計算式を一般化すると、「試合数Ｃ勝数×勝率＾勝数×（１－勝率）＾(試合数－勝数)」ですが、まあ勝率５割ならもっと単純に、組み合わせを数えて０．５の試合数乗をかければいいですな。これを使って同様に全ての勝敗を計算すると、以下のような正規分布になります。
10勝０敗・・・0.10％
９勝１敗・・・0.98％
８勝２敗・・・4.39％
７勝３敗・・・11.72％
６勝４敗・・・20.51％
５勝５敗・・・24.61％
４勝６敗・・・20.51％
３勝７敗・・・11.72％
２勝８敗・・・4.39％
１勝９敗・・・0.98％
０勝10敗・・・0.10％
たった１０回のゲームでも、１０連勝するというのは１０００に１つの奇跡だということが分かりますし、例えば７回以上勝ったら合格とする場合、単純に上から４つを足して１７％くらい起こり得るということが分かるわけですね。４～６勝に留まる確率は６６％ですからほぼ３分の２はこの結果に落ち着きます。まあ１７％程度なら、運が良ければ起きなくはない事象だと言えるでしょう。
で、何が言いたいかというと、囲碁の話題だったりします（笑）
自分は現在初段～２段くらいの実力ですが、ネット囲碁の段位というのは絶対評価ではなく、「私は初段だ」と自己申告している人同士が対局して、ある程度の勝率を上げる必要があります。初期登録の申告級は任意なので、当然過小申告や逆もあり、結構どの段級でも勝ったり負けたりするわけですが、そういうイレギュラーも加味し、「総合してこれくらい勝ち越せば上に進んでもＯＫ」という相対評価になっているのですね。まあ対局者はある程度選べますけど、勝ちが多くなると今度は自分が敬遠されてしまいますから、やはり自分より強い人との対局も避けられません。勝率５割は行くもののそこから勝ち越すのは結構難しく、特に昇段まであと２勝くらいになるとやたら強い人と当たって負けるということもよくあります（笑）
東洋囲碁というサイトでは、級位者は１５戦で１０勝以上（６７％）勝てば良いのですが、初段からは２０戦１４勝以上（７０％）が必要になります。パーセンテージだけ見れば僅か３ポイントの違いですけど、これが体感だとかなり違うので、何か分かりやすいモノサシはないものかと考えた結果、この計算式を応用することを思いついたのです。つまり、完全に勝率５割でランダムに勝つ「勝率５割君」がいて、彼が偶然昇段（昇級）に値する結果を出す確率はどれくらいあるかを考えれば、昇段級の難しさが計れるのではということですね。面倒くさい計算はエクセルに任せて（笑）結果だけはじき出すと、１５戦で１０勝以上する確率は１５．０９％、２０戦で１４勝以上する確率は５．７７％であることが分かりました。つまり、偶然に頼ると段は級の２．６倍も上がりにくいというわけですな。この差なら納得・・・
最近は、野狐囲碁というサイトが人気のようです。トップクラスの棋士や最新ＡＩの対局が毎日のように行われ、無料で観戦できるので、自分も先月から初段で登録して始めることにしました。しかしここは低位層の昇段級基準が東洋囲碁より緩く、何と３段までは１９戦１２勝以上（６３％）で上がれてしまうようです。これなら「勝率５割君」だと１７．９６％と、東洋の１桁級よりも楽に上がれてしまう模様です。まだ２局しか打っていませんけど、基準が緩いためか東洋の同じクラスよりも若干弱く感じました。これは今年中に３段あるかも！？
ちなみに試合数が多ければ多いほど「偶然７割以上勝つ」ことは難しくなっていきます。試しに１００試合で７０勝以上する確率を計算してみると、何と0.0023％とほぼありえないことが分かりました。一方４０〰６０勝以内に落ち着く確率は96.48％もあります。確率とは数をこなすと中央値に収束する不思議な性質をもっているのですね。