バネ-マス（質量）系の固有振動数

まず「質量」と「重量」の区別がつけにくいですよね。
簡単には、「質量」＝「重量」と考えてください。

つまり、私が体重計に乗ったら、体重計が示す値はだいたい70kgくらいかな？まあ70kgとしましょう。とすると私の質量[kg]は70kgです。体重とか重量とかよく言いますが、あれは質量のことを言ってるわけですね。体重計などは質量を示すように作られているということです。

でも私が地面に立っているとき、足にかかっている力（荷重）は70kgではありません。70kgはあくまでも質量です。足にかかっている力は「質量×加速度」、つまり70[kg]×9.8[m/sec^2]＝686[N]（ニュートン）ということですね。

さて

固有振動数の角速度 ω0［rad/sec］は
ω0＝√( k/M)　　-----　①　（　M：質量[kg]　k：バネ定数[N/m]　）

一方、バネ定数 k[N/m] は
k＝P/L　　-----　②　（　P：荷重[N]　L：たわみ量[m]　）

式①の平方根内は、式②より
k/M＝(P/L)/M
　　＝｛( 9.8×M)/L ｝/M　-----P[N]＝9.8×M[kg]（9.8：重力加速度[m/sec^2]）
　　＝9.8/L

従って式①は
ω0＝√( k/M)　＝√( 9.8/L)

よって固有振動数 f0[Hz} は
f0＝√( 9.8/L)/2π　　　-----　③

このように
固有振動数f0[Hz]は質量M[kg]に関与せず、バネの”たわみ量”L[m]から得られます。

例えば、たわみ量：L＝30[mm]であれば、式③より
f0＝√( 9.8/0.03)/2π
　　＝2.877[Hz]

（Thank you Mr.Og!）

f0＝2.877[Hz]において、M＝10kg とした場合のバネ定数kは
k＝P/L（P：N　L：m）
　　＝( 9.8×10）/0.03　＝3266.67
k＝3266.67[N/m]

「質量とバネ定数から固有振動数を求める場合」
M＝10[kg]、k＝1000[N/m]　とすると

式①より
ω0＝√( k/M)　＝√(1000/10)　＝10 [rad/sec]

f0＝10/2π　＝1.59 [Hz]

式②より
k＝P/L
L＝P/k ＝( 9.8×10)/1000 ＝0.098[m] ⇒98[mm]

【参考】　ω0＝√( k/M)　の導出

バネ-質量系の運動法的式は、質量の振幅変位＝x(t)とすると
M・d^2x(t)/dt^2＋k・x(t)＝0 ----- ①

x(t)＝Asinω0t ----- ②
dx(t)/dt＝ω0Acosω0t
d^2x(t)/dt^2＝－ω02Asinω0t ----- ③

式②③を式①に代入し
M (－ω0^2Asinω0t)＋kAsinω0t＝0
(－Mω0^2＋k) Asinω0t＝0
－Mω0^2＋k＝0
ω0^2＝k/M
ω0＝√( k/M)

関連記事：
「運動方程式への応用①」2009-11-18
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