抵抗の温度

抵抗に電流を流した時、その抵抗はi^2Rtの熱量を得て温度が上昇しますが、例えばその抵抗が空気中にあるとして、どのような温度上昇曲線を描き、何℃辺りで一定温度になるのか？これは多くの方が素朴に思う疑問の1つだと思います。しかし実際にこの解を正確に算出するのはかなり難しく、抵抗器のメーカーやハンダコテのメーカーに問合せても、なかなかシンプルな解法に巡り合うことができません。

そこで、ここでは結果のみをお話します。
抵抗の上昇温度：ΔT(t) とすると、ΔT(t)は次式の指数関数にて表すことができます。

ΔT(t)＝(W/ kC)(1－e^－(1/ 3000kC)t )　----- ①
　
ΔT(t)は抵抗の増加温度ですから、得られた値に周囲温度を加算すれば抵抗温度になります。
　
eは自然対数の底で、約2.718の定数
W＝Ri^2 または iV（抵抗の消費電力）：熱
Cは抵抗の周囲物質の比熱、例えば抵抗が空気中にあるならC＝1（J/gK）、抵抗が水中にあるならC＝4.2（J/gK）とします。

係数kに含まれるパラメータは、抵抗器および周囲物質（空気、水等）の「熱抵抗」「熱容量」etcですが、リード線を含めた抵抗器の正確な体積や表面積の算出が困難なことと、塗装皮膜の材質や厚みなど複雑な要素が多く、なかなか計算値と実測値が合致しません。

そこでともかく、kには次の数値を入れてください。
（抵抗の種類は酸金抵抗とします）

定格
1/2W ----- k＝0.009
1W ------- k＝0.009
2W ------- k＝0.013
3W ------- k＝0.016
5W ------- k＝0.024

1/4Wの金属皮膜抵抗なども、k＝0.009として大きな誤差はないでしょう。

指数部のkに掛けている3000は、抵抗の温度上昇の実測値から上昇勾配が近似する値として得たものです。スマートではありませんが、実用レベルとして大きな問題はないでしょう。

また、過渡特性は不要で、最大温度のみを知りたいという場合は式①の
ΔT(t)＝W/ kC　のみを計算すれば得られます。

添付のグラフは、式①によって抵抗（3Ω3W）の温度上昇をグラフ化したものです。
尚、抵抗を基板から少し浮かせて実装した場合、リード線のハンダ付け部の温度は抵抗温度の約1/2辺りになります。（銅箔パターンの面積によって多少異なります。）

【1次遅れ特性について】
今回用いた式①を一般化すると

f(t)＝A(1－e^－Bt)

という式で表すことができます。式①の場合はA＝W/ kC、B＝1/ 3000kCとなっているわけですね。
この一般式は、実は「1次遅れ特性」を示しています。例えば、火のついていないコンロに厚手のフライパンを置いて、フライパンに手のひらを当てて、コンロに火をつけた瞬間から1秒以内に手を離せば、手は熱くはありませんね。つまりフライパン底面の熱が表面に伝わるまでに遅れがあるということです。これがフライパンの熱抵抗と熱容量による「1次遅れ特性」です。

電気回路ではCRによって1次遅れ特性を構成できます。
CRの1次遅れ特性は

e(t)＝E(1－e^－(1/CR)t )　で表されます。

この回路において
E＝Tin　[ 温度(源) ]
i(t)＝W(t) [ 熱 ]
e(t)＝T(t) [ 出力温度 ]
R＝Rn [ 熱抵抗 ]
C＝Cn [ 熱容量 ]
のように置き換えれば、出力温度T(t)は、そのまま

T(t)＝Tin (1－e^－(1/ CnRn )t )
[ W(t)＝(Tin /Rn ) e^－(1/CnRn)t ]

のように記述することができます。

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