テブナンの定理 と 重ね合わせの理 ①

左上の回路で抵抗に流れる電流i1～i3を求める場合、オームの法則では解けないので、一般にキルヒホッフの法則を使います。やってみましょう。（i2の方向は実際には逆かも知れませんが、とりあえず、この方向で考えます。実際の方向は最後にわかります）

［i3＝i1＋i2］
9 i1＋3（i1＋i2）＝8
5 i2＋3（i1＋i2）＝6

この連立方程式を解きます。
12 i1＋3 i2＝8 -----------①
3 i1＋8 i2＝6　＝12 i1＋32 i2＝24 -----------②

②－①は
32 i2－3 i2＝24－8
29 i2＝16
i2＝0.55
（数値がプラスということは、i2の向きは図の通りということです）

これを①に代入して
12 i1＋1.65＝8
12 i1＝6.35
i1＝0.53

i3＝i1＋i2　だから
i3＝1.08
とでましたが、まあ結構じゃまくさいですよね。そこで、「テブナンの定理」の登場となります。

【テブナンの定理】
中断の図の、3Ωに流れる電流iを求めます。
まず3Ωを取り払い、端子電圧vを定めて、次の2つの作業をします。

<1> vの値を求める。
<2> vから見た回路インピーダンス（Ri）を求める。

<1>は
v＝5（8－6）/（9＋5）＋6　（回路電流を求めて、5Ωの電圧降下を6Vの電源に加算）
v＝6.71（V）

<2>は、電源のインピーダンスはゼロだから1本の電線と考えると、9Ωと5Ωの並列合成抵抗がRiになります。よって
Ri＝（9×5）/（9＋5）
Ri＝3.21（Ω）

<1>と<2>より元の回路は、下図のように、内部インピーダンスがRiの電源vに負荷抵抗R（3Ω）が接続された回路と等価になります。OKですか？

ということは、3Ωに流れる電流iは
i＝v/（Ri＋R）
i＝6.71/（3.21＋3）
i＝1.08

となって、さっきキルヒホッフの法則で求めたi3と一致しましたね。あとはオームの法則ですべて解けます。
実に簡単に解けるでしょ？（＾＾）

【おまけ】
練習のための［おまけ］を付けます。暇つぶしにどうぞ。
右図の回路をキルヒホッフの法則で解くのは大変です。こんなときこそテブナンの定理です。センターの3Ωを取払って、端子電圧a、bを求めます。

<1>電圧aは10×4/5＝8　電圧bは10×3/5＝6
よってa-b間電圧vは8－6＝2（v＝2）

<2>a-b間の回路インピーダンスRiは、電源を1本の電線として、（1Ωと4Ωの並列）と（2Ωと3Ωの並列）の直列だから、
Ri＝4/5＋6/5　＝2

vとRiの値から等価回路は下図のようになります。よって
i＝2/（2＋3）　＝0.4

［ついでに］元の回路の4Ωに流れる電流を求めます。4Ωを取払ったときの回路電流Iは、
I＝10/｛（4×2）/（4＋2）＋3｝　＝2.3（A）

よってa点を流れる電流Iaは、
Ia＝2.3×2/6　＝0.77（A）
よって、このときのa点の電圧は
a＝10－1×0.77　＝9.23（V）

次にa点から見た回路インピーダンスは、｛（2Ωと3Ωの並列との3Ωの直列）と1Ωとの並列｝だから、
Ri＝｛6/（2＋3）＋3｝/［｛6/（2＋3）＋3｝＋1］＝0.81

よって
i＝9.23/（0.81＋4）　＝1.92（A）

よって、元の回路のa点の電圧は
Va＝1.92×4　＝7.68（V）

はい。これですべてが求まりますね。（＾＾）

関連記事：テブナンの定理 と 重ね合わせの理 ② 2011-01-13