覚悟は、できない。

一カ月前から、それなりに覚悟はしてきたつもりだけど、いざ現実味を帯びてくると、やはり辛い。

7年間、一緒に暮らしてきたのに、永い永いお別れが近づいている。明日の朝すら、一緒に迎えられないかもしれない。

今まで共に過ごしてくれたことへの感謝の気持ちだけでも、ちゃんと伝えたいと思う。


けど、覚悟なんて、やっぱり、できない。

タイミング悪し。

昨日はほぼ一日晴れていたのだが、昼に雷を伴う激しい雨が一瞬だけ降った。

ちょうど洗濯物を干して外出し、帰ろうとしたところに振ってきたので、にわか雨とは思いつつも傘を買って帰った。

案の定、家に着いてからほどなくして雨は止んだ。

春の天気は変わりやすいというが、変わりやすさにもほどがあるというものだ。

久しぶりに見たもの。

黄色い普通のアゲハ蝶と、真っ黒なカラスアゲハを久しぶりに見た。
これから本格的にそういう季節になるんだねぇ。

形式的ベクトル空間。

『ラング線形代数学　下』（芹沢正三訳，ちくま学芸文庫）の p.174 に，13章の付録として，任意の有限集合によって生成されるベクトル空間の話題が取り上げられている。どうしてこの付録に目が行ったのか記憶が定かではないが，原著の第3版にはこの付録が（探し方が悪いのかもしれないが）見当たらないので，たまたま持っていた日本語版に載っていたのには運命的なものを感じずにはいられない。

Bourbaki の『代数』第2章（線形代数の章）にもこれに関連する話題が載っているように思える。しかし，情けないことだが，代数に関する知識が極めて乏しいため，僕にはよくわからない。たくさんの専門用語をフォローし切れていないし，非常に洗練された論述がなかなかピンとこないのである。不勉強なために不慣れなのである。


和や実数倍などが全く定義されていないような，一般の集合 S の要素を元手にして，実数体 R を係数体とする実ベクトル空間を構成したい。どうすればよいだろうか。


まったく途方に暮れるような問題であるが，それを見事に解決する実に巧妙な方法がある。


実数体 R はそれ自身を係数体とするベクトル空間である。そのおかげで実数に値を取る関数（正確には写像というべきだろう）同士の和や実数倍が考えられる。つまり，実数関数の集合にもベクトル空間の構造を導入することができる。

そこで，元手となる集合 S を何らかの実数関数の集合に「写し取れ」ば，実数関数の集合における和や実数倍を通じて S に和や実数倍を導入できることになる。


話の前提として，集合 S から実数の集合 R への写像全体の集合 R^S という集合は考えられる（存在する）ものとする。

この集合 R^S には次のように和と実数倍が定義できる。

具体的には，この集合の任意の二つの要素 f，g および任意の実数 r に対し，和 f+g と実数倍 rf をそれぞれ

(f+g)(s):=f(s)+g(s) ，(rf)(s):=r・f(s) （いずれも任意の s∈S に対して）

と定義するのである。


さて，この集合の中の特別な要素として，次のようなものを考える。

各 s∈S に対し，S から R への写像 f[s] を，f[s](s)=1 であるが，s とは異なる S の要素 t に対しては f[s](t)=0 となるものと定める。

このように定めると，s に f[s] を対応させる写像は S から R^S への単射となる。これで集合 S の「写し」ができた。その「写し」を F(S) と書くことにする。

あとはこの「写し」を含むようなベクトル空間を作り出せばよいのだが，それはこの F(S) の有限個の要素の1次結合を全て集めた集合（F(S) の線形包，あるいは F(S) の張る R^S の部分ベクトル空間）に他ならない。


こうして，S の要素同士の和や実数倍をどう取り決めたらよいか，取りつく島もないような難問に頭を悩ませることなく，もともと線型構造を持っている集合の中に S を埋め込むことによって，あたかも S が生成したかのようなベクトル空間を手に入れることができた。


実に賢いアイデアだと思うのだが，どうやら数学，特に代数の分野では標準的（つまり，当たり前）なやり方のようである。一体誰が最初にこのような論法を開発したのか非常に興味のあるところであるが，ひょっとすると世界各地で同時多発的に複数の人の手によって編み出された手法なのかもしれない。


ところで，一体なぜ僕がこのようなことに興味を抱いたのかというと，とある論文の一節にこの手の話が載っており，そこでは議論の詳細が省かれているので自分でその穴を埋めようと思ったのが発端である。ちょうど三年前のことであるが，いまだにその穴を埋められないままでいる。久々に考え直そうとしているのだが，まだ解決には遠いような気がしてならない・・・。

セクシーな響き!?

x+C.

何の変哲もない，ただの数式。

だけど，声に出して読んでごらん。

あ，ひとつお願いがあるんだ。

"+" を「プラス」と読んじゃ，僕の言いたいことが伝わらない。だから，"+" は日本語で「足す」と読んでほしい。

注文はこれだけさ。さあ，読んでごらん。

「エックスたすシー」。

もっと早口で！

「エックスたすシー」。

いやいや，もっと早口で言うんだ！

「エクスタスィー」。

！！

もう一度，言ってごらん。

「エクスタシー！」

ふふ，僕が恍惚としてしまうよ。

x+C をね，自然対数の底 e の肩に乗っけると，もっと素敵な響きになるよ！

e^x+C・・・イーノ，エクスタシーじょう。

最後の「じょう」はね，どうにも扱いに困るんだけど・・・。


じ，じょうじ・・・。

？！

き，貴様はッ・・・，テラフォ○マーかッ？！！！

終わった。

つつじ咲く
黄金週間
何もせず

行列の性質に関するある択一定理。

連立1次方程式や連立1次「不等式」に関して，「択一定理」と呼ばれる一群の定理がある。その中の一つ，Stiemke の定理は，ここ数年間，きちんと証明を理解したいと思いつつ，ほったらかしのままだった。

何年かぶりにその定理のことを思い出したのだが，相変わらず証明を素直に学ばずに，ある程度自力で証明できないかとだらだら考えを巡らせていた。

とはいえ，全くなんのヒントも無しに証明を見出せるほどの実力が僕にはないことは重々承知している。そこで，von Neumann と Morgenstern の有名な本，『ゲームの理論と経済行動 I』（ちくま学芸文庫）の 16 節「線型性と凸性」からヒントを得ようと思い立った。実際のところは，なんとなく凸集合の性質について Brezis の『関数解析　その理論と応用に向けて』（産業図書）の第 V 章で述べられている理論を復習したくなり，そういえば von Neumann と Morgenstern の本にも凸集合に関する丁寧な解説が載っていることを思い出したか，それとも凸集合の性質について学ぶために Tucker の解説を学ぼうとしたところ，そこで von Neumann と Morgenstern の本が挙げられていたからだったろうか。

我ながら何がきっかけだったかはっきり思い出せないのだが，ともかく『ゲームの理論と経済行動 I』をパラパラとページっていると，「16.4. 行列についての定理」で，なしくずしに一つの択一定理が導出されているではないか。くどいくらい丁寧に解説が述べられているので，議論の道筋を理解することは難しくはない。しかし，「何でいきなりそんな設定を持ち出すの？」といった疑問が湧くのは禁じ得ない。読んですぐには彼らの技巧がすんなり頭に入らなかったが，少し考えてみたところ，いわゆる slack 変数と呼ばれるものを導入したことに他ならないということに気づいた。

スラック変数自体については（僕には非常にしばしばありがちなことだが）耳学問として用語だけは知っていた。一松信『偏微分と極値問題』（現代数学社）をだいぶ昔からときどき手にとっては眺めていたのだが，そこで見かけて以来ずっと頭の中にひっかかっていたのである。今改めてその書を見ると，線形計画法や双対問題などを取り扱った箇所に，今まさに僕が関心のある択一定理に関連の深い Farkas の定理も載っている。どうやら，その章に本気でアタックすべき時機がきたのかもしれない。

それはともかくとして，Stiemke の定理や Farkas の定理の証明を知りたければ，Tucker の解説や，Gale の "The Theory of Linear Economic Models"，あるいは Dantzig & Thapa の "Linear Programming" などの定評のあるテキストを勉強すれば済む話だが，von Neumann と Morgenstern 流のやり方がとても気に入ったので，どうにかその路線で自力で証明できないかと夢を観てしまった。

ところで，いったい何を証明したいのかというと，Gale の本の Theorem 2.6 (p.44) をとりあえずの目標として設定したい。

それは，実 m×n 行列 A および n 次元行ベクトル b に対し，

xA=b を満たす非負の（すなわち，全ての成分が 0 以上であるような）m 次元行ベクトル x が存在するか，

または

Ay≧0 かつ by＜0 を満たすような n 次元列ベクトル y が存在するか

のいずれか「一方のみ」が成り立つ，

という「択一定理」である。

この定理に引き続いて Gale が解説しているように，この定理には幾何学的な解釈が可能である。しかし，Gale がそこで与えた証明は数学的帰納法に基づくもののようで，幾何学的，直観的に理解できる類のものではなさそうである（ちゃんと読んでいないので根拠のない誤解かもしれないが）。

僕としては，von Neumann と Morgenstern の本で学び，心地よい感動すら覚えた論法に沿った方法でこの定理を証明したいと思い，試行錯誤を続けた。最終的に成功するまでに一カ月近く費やしてしまった。僕の数学の実力のなさがまたまた露呈してしまったわけだが，事実なのだから仕方がない。

さて，証明の指針はこうである。今のところ僕にとって理解しやすいのは，上に挙げた等式の両辺の転置を取ったり，不等号の向きを逆にした，いろいろと裏返ったバージョン，つまり，先ほどと記号は同じだが行や列が入れ替わった別物になってしまうが，

m×n 行列 A および m 次元列ベクトル b に対し，

Ax=b を満たす非負の m 次元列ベクトル x が存在するか，

または

yA≦0 かつ yb＞0 を満たす m 次元行ベクトル y が存在する

という定理の方なので，その流儀で指針を述べよう。

まず，行列 A の第 i 列を成分に持つ m 次元列ベクトルを A_i とおくと，A=[A_1 A_2 ... A_n] と表せる。

さて，これら n 本の列ベクトルに 0 以上の実数を掛けたものの線型結合で表せるベクトルの全体を K とおく。これは凸錐 (convex cone) などと呼ばれる，ちょうど円錐や三角錐のような錐体であり，特に閉凸集合である。

このような設定の下で考えると，ベクトル b で表される点について，それが 凸錐 K の周および内部にあるか，あるいはその外部にあるかのどちらか一方のみの状況が起こり得るが，この択一定理はまさにそうした当たり前の状況を述べているに過ぎないのである。

そのような，「図を描いて考えれば当たり前」だという感覚に基づいた証明はできないものかというのが（ここ一ヵ月の）僕の悲願だったわけだが，実際の証明に必要な道具立ては少々大がかりである。とはいっても，幾何学的な意味合いは非常に簡単な内容である。

ではようやく証明の概略を述べよう。

b は凸錐 K に属するか属さないかのいずれか一方のみが成り立つわけだが，

まず，b が K に属するならば，K の定義により，b は n 個の非負実数 x_i を用いて

x_1 A_1 + x_2 A_2 + ... + x_n A_n = b

と表されるが，x を，第 i 成分に x_i を持つ列ベクトルとすれば，これを行列の積を用いて表したものが等式 Ax=b に他ならない。

他方，b が K に属さないとき，b から凸錐 K に垂線を引くことができる（この事実を数学的に証明するには，極限に関する少々大げさな道具立てが必要となるが，直観的には明らかなことであろう）。その垂線の足に対応するベクトルを c とおく。ベクトル b-c は凸錐 K の表面に対して垂直なわけである。このベクトルを法線に持ち，原点（と，実は垂線の足 c）を通る（超）平面 (b-c)・z=0 は，点 b と凸錐 K をきれいに分離する（そのことの証明にも極限を用いた議論のお世話になる）。つまり，(b-c)・b＞0 であり，凸錐 K に属する任意の点 p に対し，(b-c)・p≦0 が成り立つことが示せる。ここで，行ベクトル y を，列ベクトル b-c の転置行列とおくと，yb＞0 である。また，特に各 A_i は凸錐 K に属するから yA_i≦0 が成り立つ。これらを行列の積を用いてまとめれば yA≦0（n 次元行ベクトル yA の各成分が 0 以下という意味）となる。

このように，僕の眼には

Ax=b が「b は A の列ベクトルたちの非負係数の線型結合で表せる」，

yA≦0 かつ yb＞0 が「超平面 yz=0 が b と凸錐 K を分離する」

という風に映るので，上に述べた転置バージョンの方がしっくりくるというわけである。もちろん，これは単に好みの問題にすぎず，まったく本質的なことではない。Gale の本に載っているオリジナルバージョンに合わせるには，単に行列 A を行ベクトルの結合として分割し，上の議論をそれに合わせてほんの少しだけ修正すれば済む。

ところで，僕がいったいどこでつまづいていたのかと言えば，はじめ von Neumann と Morgenstern の議論を猿真似して A_i たちの張る凸包が b を含む，含まないだのと考えていたのだが，なかなか yA≦0 の右辺がちゃんと 0 になるような，つまり，原点を通るような分離超平面の存在を導き出せなかったのである。それらにさらに b を付け加えてみたが，やはり似て非なる新たな択一定理が得られるばかりであった。定理の叙述をよく読み返したら，凸包でなく凸錐を考えるべきだと気づき，その線で考えを進めてみたものの，一般の凸集合とその外部の点を分離する超平面の存在に関する定理の利用ばかりを考えており，原点を通る分離超平面をどう見出せばよいのかがなかなかわからなかった。b が外部にある時の凸錐 K への射影 c を使いたいという欲求のみは当初から持ってはいた。そして K は一般の凸集合ではなく，もう少し特殊な凸錐であるという事情をどう利用すればよいのかがわかっていなかった。それが，5日の午前2時過ぎ，そろそろ寝ようと思ったにもかかわらず，ふとアイデアが湧き，図を描いて確信を得てしまい，それから一時間ほど議論を詰めた結果，幸いにも成功したというわけである。そのときは，それから約2時間後に久々の震度3の地震に起こされるとは夢にも思っていなかったのだが。


なお，僕の論法にはどうしても位相，つまり極限が必要となるので，そういった知識のない人たちにとっては初等的とは言えない証明であり，その点が残念であるが，幾何学的な直観にマッチしているので，その点は大いに満足している。Gale や Tucker が紹介している証明は，おそらく極限を使わず，数学的帰納法と四則演算のみで証明する方法であり，そちらの方がより線形代数らしい証明であるといえよう。


いずれにせよ，僕の頭でもしっかり理解できた気がする基本的な定理が一つ手に入ったのだから，さくっと Stiemke の定理（と Minty が呼んでいる，Gale の本の上の定理のすぐ次に出てくる Theorem 2.7）を理解し，いよいよ本丸である Minty の極大単調作用素 (maximal monotone operators) へと進んで行きたいものであるが，はてさて，どうせまたのらりくらりと取り組むことになるので，本丸を攻め落とすのはいったいいつの日になることやら・・・。

絶対温度の反対。

絶対零度は，理論的にそれ以上物質を冷やすことができない温度のことだが，温度の上限も考えられているらしい。その名も Planck（プランク）温度という。

その Planck 温度は絶対零度の値を知るためにネットで検索した時に知ったのだが，改めて「プランク温度」で検索したら，マックス・プランク研究所のメンバーを含んだ科学者のグループが，絶対零度よりもわずかに低い温度の原子ガスを実現したとの記事がヒットした。それを利用すれば熱効率が100％を超える熱機関が実現できるかもしれないとのことである。

いやはや，世の中にはいろんな壁があるものだが，真剣にそうした壁を乗り越える努力を続けている人たちもまた存在するようだ。

久々にちょっと焦った。

朝5時20分ごろに小さな揺れを感じて目が覚めた。間をおかずに結構大きめの揺れが来た。

僕が住んでいる地域の震度は3とのことだが，まあ実際そんなもんだっただろう。

さして強くない地震でよかった。東京直下型地震なんかが起きてしまったら，命があったとしても途方に暮れてしまうだろうな・・・。

過ごしやすい一日だったが・・・。

昨日は日中，室温が27℃をマークするような夏日だったが，今日はそれより気温が5℃ほど低い，過ごしやすい天気だった。


にもかかわらず，今日も特にどこかに出かけるわけでもなく，なんとなく一日が終わってしまった。

ライフは残り2つ・・・。もう「連休だから」と考えるのはやめよう。