『ラング線形代数学 下』(芹沢正三訳,ちくま学芸文庫)の p.174 に,13章の付録として,任意の有限集合によって生成されるベクトル空間の話題が取り上げられている。どうしてこの付録に目が行ったのか記憶が定かではないが,原著の第3版にはこの付録が(探し方が悪いのかもしれないが)見当たらないので,たまたま持っていた日本語版に載っていたのには運命的なものを感じずにはいられない。
Bourbaki の『代数』第2章(線形代数の章)にもこれに関連する話題が載っているように思える。しかし,情けないことだが,代数に関する知識が極めて乏しいため,僕にはよくわからない。たくさんの専門用語をフォローし切れていないし,非常に洗練された論述がなかなかピンとこないのである。不勉強なために不慣れなのである。
和や実数倍などが全く定義されていないような,一般の集合 S の要素を元手にして,実数体 R を係数体とする実ベクトル空間を構成したい。どうすればよいだろうか。
まったく途方に暮れるような問題であるが,それを見事に解決する実に巧妙な方法がある。
実数体 R はそれ自身を係数体とするベクトル空間である。そのおかげで実数に値を取る関数(正確には写像というべきだろう)同士の和や実数倍が考えられる。つまり,実数関数の集合にもベクトル空間の構造を導入することができる。
そこで,元手となる集合 S を何らかの実数関数の集合に「写し取れ」ば,実数関数の集合における和や実数倍を通じて S に和や実数倍を導入できることになる。
話の前提として,集合 S から実数の集合 R への写像全体の集合 RS という集合は考えられる(存在する)ものとする。
この集合 RS には次のように和と実数倍が定義できる。
具体的には,この集合の任意の二つの要素 f,g および任意の実数 r に対し,和 f+g と実数倍 rf をそれぞれ
(f+g)(s):=f(s)+g(s) ,(rf)(s):=r・f(s) (いずれも任意の s∈S に対して)
と定義するのである。
さて,この集合の中の特別な要素として,次のようなものを考える。
各 s∈S に対し,S から R への写像 f[s] を,f[s](s)=1 であるが,s とは異なる S の要素 t に対しては f[s](t)=0 となるものと定める。
このように定めると,s に f[s] を対応させる写像は S から RS への単射となる。これで集合 S の「写し」ができた。その「写し」を F(S) と書くことにする。
あとはこの「写し」を含むようなベクトル空間を作り出せばよいのだが,それはこの F(S) の有限個の要素の1次結合を全て集めた集合(F(S) の線形包,あるいは F(S) の張る RS の部分ベクトル空間)に他ならない。
こうして,S の要素同士の和や実数倍をどう取り決めたらよいか,取りつく島もないような難問に頭を悩ませることなく,もともと線型構造を持っている集合の中に S を埋め込むことによって,あたかも S が生成したかのようなベクトル空間を手に入れることができた。
実に賢いアイデアだと思うのだが,どうやら数学,特に代数の分野では標準的(つまり,当たり前)なやり方のようである。一体誰が最初にこのような論法を開発したのか非常に興味のあるところであるが,ひょっとすると世界各地で同時多発的に複数の人の手によって編み出された手法なのかもしれない。
ところで,一体なぜ僕がこのようなことに興味を抱いたのかというと,とある論文の一節にこの手の話が載っており,そこでは議論の詳細が省かれているので自分でその穴を埋めようと思ったのが発端である。ちょうど三年前のことであるが,いまだにその穴を埋められないままでいる。久々に考え直そうとしているのだが,まだ解決には遠いような気がしてならない・・・。