第2の Fermat を目指して。

なかなかいい問題だと思ったのだが・・・。

問題
(1) √x+√y=√z
をみたす自然数 x, y, z の組があればそれを求めよ。
なければないことを証明せよ。
もし解 (x,y,z) があるなら，それは無限個あるか？それとも有限個しかないだろうか？

(2) √x+√y=√p+√q
をみたす自然数の組 (x,y,p,q) はあるか？
あるとして，それらは無数にあるか，それとも有限個しかないか？
ただし，
(x,y,p,q)=(n,n,n,n)，(n,m,n,m)，(n,m,m,n)
のような自明な解は除くものとする。

(3) √x+√y=k√z ではどうか？ここで，k は任意の自然数とする。