正多面体。（続）

なんで正多面体がマイブーム（死語か？）なのかというと，このブログを読んでいる人の大多数は来年度前期に空間座標を舞台とする「解析学I」（必修！）を履修するので，空間図形に対する心構えや知識を提供したいというのが理由の一つである。

試験の後，A木先生に正多面体がマイブームだという話をした。A木先生ももちろん知識をお持ちなので，「正多面体の双対性」という話になった。
この話題は二人ともうろ覚えだったので，僕はなんとか正しい話を思い出そうと考え始めた。
ところが，A木先生ときたら・・・！さくっとネットで検索しているではないか！
まぁ，僕も家でコンピュータの前で一人で思い出そうとしたら，きっと手持ちの本を漁ったり，検索していたことだろう。
しかし，せっかくふたりで謎を究明しようと考えていたのに，ネットに頼るとは・・・！
とはいえ，どう考えたらいいのか途方にくれていたし，非常によくまとまった良いサイトが見つかり，そのおかげで二人の勘違いがあっという間に訂正されたので良かったのであるが。

Problem080123-1.
正多面体において，(頂点の数)＋(面の数)－(辺の数) は必ず一定値になることを確認せよ。

※以下，不確かな情報が含まれている可能性あり。

この数を，確か Euler（オイラー）標数というんだったと思う。
自然対数の底 e の名付け親であり，e^iθ=cosθ+isinθ という公式を導き，一筆書き可能なためのグラフの条件を見出したりと，数学のあらゆる分野に名を残す数学界の巨人，Euler が発見した関係式である。

この一定値のように，ある種の図形すべてに共通の量を「位相不変量」という。
この位相不変量が，100年来の難問であった Poincare（ポアンカレ）予想の対象である。

A木先生が発見されたサイトに，非常に気になることが書かれていた。
サッカーボールは正五角形と正六角形を組み合わせて形作られている。
このように全ての面が合同な正多面体ではなく，複数の種類の正多角形を組み合わせて作られる立体の種類は13種類（そのうちのひとつはサッカーボール）らしい。

Problem080123-2.
上の事実を示せ。

これは新たな課題である。「やぶへび」というヤツである。