【高校数学のツボ】 因数分解という名のパズル (2)。

ひとつ，印象に残っている技を紹介しよう。

問題
(b+c)(c+a)(a+b)+abc を因数分解せよ。












◆解法1

僕が好んでいるのは「中途半端に展開して整理する」というやり方である。
ただし，これは人には説明しづらい「野生のカン」のようなセンスが必要なので，汎用性は低い。

因数分解の常道である，「1文字に着目する」に従い，例えば a について式を整理すると
(b+c)(c+a)(a+b)+abc=(b+c){a²+(b+c)a+bc}+abc
=(b+c)a²+(b+c)²a+(b+c)bc+abc
を得る。

ここで一気に最後まで展開しきらないところがミソである。
ちょっと容器を傾けておきながら，こぼれる前に戻す，みたいなあやういバランス感覚が要求されるのである。

『なぜだか』あるいは『なんとなく』前の2項と後ろの2項をそれぞれペアにしてみると，
{(b+c)a²+(b+c)²a}+{(b+c)bc+abc}
=a(b+c){a+(b+c)}+{(b+c)+a}bc
=a(b+c)(a+b+c)+(a+b+c)bc
のように，思いがけない共通因数 a+b+c が見えてくる。
ここまでくれば，答えが
=(a+b+c)(bc+ca+ab)
となることは容易にわかる。


◆解法2

誰が思いついたのかは知らないけれども，次のように実に鮮やかな解法がある。これを紹介するのが今回の記事のメインテーマである。

s=a+b+c とおく。
すると b+c=s-a，c+a=s-b，a+b=s-c であるから，
(b+c)(c+a)(a+b)+abc=(s-a)(s-b)(s-c)+abc
={s³-(a+b+c)s²+(bc+ca+ab)s-abc}+abc
=s³-s•s²+(bc+ca+ab)s
=(bc+ca+ab)s
=(bc+ca+ab)(a+b+c)
となる。

いや～，実に見事である！

これはなかなか忘れない。
そして，機会があればこの方法を使ってみたいなあ，と思わせてくれる，そんな魅力を持った解法ではないだろうか？


◆解法3（蛇足）

思うに，解法2の背景には，因数分解すべき式が a，b，c に関して対称な3次式だから，基本対称式
s=a+b+c,
t=bc+ca+ab,
u=abc
の多項式として表せるのではないか，という考えがあるような気がする。

この観点に素直に従うと，

(b+c)(c+a)(a+b)+abc=xs³+yst+zu

とおいて係数 x, y, z を定める，という方針になりそうだ。

左辺を展開しても a³ は現れないが，右辺を展開すると xa³ が現れるので，x=0 でなければならないことがわかる。
あとは，a=b=1，c=0 なんかを代入してみて
左辺=2,
右辺=2y
より y=1，
次に a=1，b=1，c=-1 なんかを代入してみて，
左辺=-1,
右辺=-y-z
より，z=0 となる，というような流れで (x,y,z)=(0,1,0) であることを見出すことが可能である。


たったひとつの問題でも，かようにいろいろなことを考えることができるのである。