【高校数学のツボ】 大小比較問題。(1)

僕の好きな解法を紹介しよう。

問題
a＞0，b＞0，a+b=1 のとき，1/2，2ab，a²+b² を小さい順に並べよ。


この問題の解き方は何通りか考えられる。
その中で，僕が好きな解法を紹介しよう。

まず，b=1-a＞0 などから，0＜a＜1，0＜b＜1 であることに注意しておこう。
さて，-1/2＜h＜1/2 を満たす実数 h を用いて
a=1/2+h，b=1/2-h
と表せることから，
2ab=2(1/2+h)(1/2-h)=1/2-2h²，
a²+b²=(1/2+h)²+(1/2-h)²=1/2+2h²
なので，h²≧0 であることより，
2ab≦1/2≦a²+b²
となることがわかる。


このやり方は結構好きなのだが，a, b, c の3文字になったりすると途端に威力が下がるような気がするのだが，どうだろうか。

a+b=1 という条件により，a，b の自由度が2-1=1になることから，その自由度を担うパラメータ h をうまく導入する，というのが上の解法のポイントなのだと思うが，a，b，c の3文字だと，a+b+c=1 という条件のみだとすれば自由度は 3-1=2 となり，h，k の2文字が必要になる（あるいは普通に c=1-a-b などとおいて c を消去すればよい）。

さて，3文字の場合，どんな問題を作ればよいのか，まずはそこから悩むことになる。

なんとなく次のようなことはできないか，と考えてみよう：

問題プライム
a+b+c=1 なる正の数 a，b，c について，
1/3，9abc，3(a³+b³+c³)，ab+bc+ca
を小さい順に並べよ。

ちなみに，a=b=c=1/3 のときすべて等しくなるように係数 9 だの，3 だのをかけてみた。

こういう大小問題では，比較の組合せを減らすために，具体的な数値を a, b, c に代入したりしてあらかじめ予想を立てることが大事である。
それはアルキメデスの教えでもあるのだ。

例えば a がほとんど 0 で b と c がほとんど 1/2 であるような極端な状況を想像すれば，
9abc≦1/3≦ab+bc+ca≦a³+b³+c³
となるだろうことが推定される。
あとはこの予想が正しいことをどうにかして示せばよい。

実はまだ僕自身がこの問題を解いていないので，今回はここまでとしよう。