気になる等式（？）。

ある本にこんな数式が載っていた (P.Halmos, I want to be a mathematician, p.335) 。

2√π=π/2+2.

ぱらぱらめくっていて出会った式なのでまだ詳細はわからないが，見たことのない等式である。

この等式が成り立つとすると，両辺に2を掛けた後，両辺を2乗すると 16π=π²+8π+16 を得る。
ゆえに円周率 π は2次方程式 x²-8x+16=0 の解になることになるが，そんなわけはない。

どうやら，いつの時代も職業数学者の楽しみの種であると同時に頭痛の種でもある mathematical cranks の一人が『数学のたくさんの難問 ("headeques") を解決する』手法で導いた等式だそうだ。

著者のHalmos氏が味わったのと同じ楽しみを味わえたような気がした。

ちょいと数えてみる。

大・中・小の3つのサイコロを振ったとき，出た目の数の組は全部で 6³=216 通りある。

そこで問題。

3つのサイコロの区別がないときはどうか。

僕の考えた答えは51通りである。【訂正】56通り。
実際に全部数え上げたわけではないから，あまり自信はない。

自分なりに考えた方法を下に白字で書いておく。

僕の答えが間違っていたり，僕の数え方よりうまい数え方を知っていたらコメントでご一報いただけるとありがたいです。


「いくつ同じ目が出たか」で場合分けをし，これら排反な場合の数を和の法則で足し合わせることにする。

ゾロ目は全部で6通り。

2つの目が同じで1つの目が異なる場合は，等しい2つの目の数の選び方が6通りで，1つの目の数がそれとは異なるから5通りある。
よって積の法則により 6×5=30 通り。

目が3つとも異なる場合は，1 から 6 までの数字から 3 つを選ぶ組み合わせの数に等しいから，₆C₃=15 通り。

【訂正】₆C₃=20.

以上により，求める場合の数は 6+30+15=51 通り。

【訂正】6+30+20=56 通り。



興味があるのは，目が n 種類あり，互に区別のつかないサイコロが r 個あったときの目の出方の総数を a(n,r) とおくとき，a(n,r) が n と r を用いた式でどのように表せるか，ということである。

組み合わせ論の専門家に聞けばすぐに答えがわかるだろうが，別に差し迫った事情があるわけではないので，自分でのんびり考えてみようと思う。

【付記】2009-12-10
このブログの読者の一人，友人のK君が正しい解答が56通りであることを教えてくれた。
そればかりか，a(n,r) を求める一般式まで考案し，レポートを作成してくれた。
ここに感謝の意を表します。