フィルタ回路① LRとCR

図のVLとVcの値はどうなるでしょう。インピーダンス：ZL＝ωL （Ω）、Zc＝1/ωC（Ω）が、周波数に依存して抵抗値が変わることがポイントです。左の、抵抗分圧回路のVRなら話は簡単ですね。電源が直流であれ交流であれVRは次式で求められます。

VR={ R2/ (R1+R2) }×Vac

しかし、VLやVcの場合も、AC電源の周波数変化に対する応答の傾向をつかむだけであれば、抵抗分圧とまったく同様に考えて問題ありません。やってみましょう。

VL={ ωL/ (R+ωL) }×Vac　　　　{ } の中の分母分子をωLで割って、
VL={ 1/ (R/ωL +1) }×Vac　　

この式より周波数：ωが限りなく大きくなるとVL= Vacとなり、限りなく小さくなるとVL=0となることが分かります。次、Vcにいきましょう。

VC={ ( 1/ωC) / (R+1/ωC) }×Vac　　　{ } の中の分母分子にωCを掛けて、
VC={ ( 1/ (ωC R+1 ) }×Vac　

この式より周波数：ω が限りなく大きくなるとVc= 0となり、限りなく小さくなるとVc= Vac となることが分かります。（まあ、このように計算しなくても、ZL=ωL 、Zc=1/ωCからおおよその検討をつけることもできますが。）

そもそもフィルタとは必要なものを通し、不要なものを除去するものです。上のコイル回路は入力(Vac)の周波数が高ければ出力のVLは大きくなり、入力の周波数が低ければ出力のVLは小さくなります。これは高い周波数を通し低い周波数を除去していると考えられるので、これはフィルタといえます。そして、高い周波数を通すものを「ハイパスフィルタ」（Hi Pass）といい、低い周波数を通すものを「ローパスフィルタ」（Lo Pass）といいます。

図の回路の場合、コイル回路がハイパスフィルタ、コンデンサ回路がローパスフィルタということですね。蛇足ですが抵抗回路はフィルタではありません。

では少しくわしくフィルタ回路を見ていきましょう。RLフィルタ回路とRCフィルタ回路を一般化して描くと下図のようになります。だいぶ違うようにも見えますが、IN－GND間にAC電源をいれてみてください。さっきの回路と同じであることがじわじわ見えてくると思います。

さて、ではINにAC電圧を加えてみましょう。周波数は、まずはf0 (ω0)で表される共振周波数とします。共振周波数はCRの場合ω0＝1/CR （rad/sec）でした。LRの場合は時定数＝L/Rですから、ω0＝R/L （rad/sec）となります。よってf0＝R/2πL(Hz)です。この共振周波数ではRとLが同じインピーダンスになるのですから、直感的にVOUT＝VIN/2になるのではないかという気がします。ところがどっこい、交流回路ではそうは問屋が卸してくれません。位相の問題があるからです。

Rの場合は両端の電圧と流れる電流の位相は同位相ですが、Lの場合は電圧に対して電流の位相は90°遅れます。Cの場合は電圧に対して電流の位相は90°進みます。

よってLCを含む交流回路は位相を扱うために、ベクトルで考える必要があるのです。ではRLのハイパスフィルタでやってみましょう。RとLは直列ですから電流ｉ がRにもLにも流れます。ｉ によってRの両端に発生する電圧VRはｉ と同位相ですから、ベクトル図ではｉ に重なります。しかしLの両端に発生する電圧VLはｉ に対し90°位相が進みますので、大きさはVRと同じですがｉ に直交して上向きになります。VR＋VL＝Vinですからベクトル和は赤矢印で示すVinのようになります。（左のベクトル図）

VinとVoutで構成される三角形は二等辺直角三角形ですから、Vinを基準（0°）とすると、VLは45°の位相進みであり、Vinに対する大きさはVL＝Vin×（1/√2）となります。Vout＝VLであり、1/√2 ≒0.707ですから、VoutはVinの約70%となります。直感的にVinの半分ではないかと思ったVoutですが、実際にはかなり大きな値でしたね。CRのローパスフィルタの場合は、ハイパスフィルタの逆になるだけですから、ベクトル図と結果のみを示します。

また、これは複素インピーダンス（ベクトルインピーダンス）：jωL、1/jωC を使えば簡単な代数計算で解くことができます。下の「関連記事」を参照してください。　

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