CRCR 2次フィルタ

CR直列2段の特性計算は難しい、と尻込みすることはありません。
2次までなら淡々とやっていけば意外と簡単に解けたりします。

ではまず、CRCR2次フィルタの伝達関数を計算しましょう。
CRCRの2次フィルタは図のような回路ですね。2つの回路は同じもので視覚的に書換えてあるだけです。

それぞれの素子のインピーダンス（交流に対して電流を妨げる性質）は
R＝R（Ω）
C＝1/sC（Ω）
ついでに
L＝sL（Ω）

よって本回路の入力E0からグランドまでの合成インピーダンスは

R1＋(R2＋1/sC2)(1/sC1) / (R2＋1/sC2＋1/sC1 )
［抵抗の直・並列計算ですね］　

R1とR2の接続点電圧をE2とすると

E2＝E0［｛ (R2＋1/sC2)(1/sC1) / (R2＋1/sC2＋1/sC1 ) ｝
　　/｛R1＋(R2＋1/sC2)(1/sC1) / (R2＋1/sC2＋1/sC1 )｝］

分母分子に (R2＋1/sC2＋1/sC1 ) をかけます
E2＝E0｛(R2＋1/sC2)(1/sC1)｝/｛R1(R2＋1/sC2＋1/sC1 )＋(R2＋1/sC2)(1/sC1)｝
　
分母分子に (sC1) をかけます
E2＝E0 (R2＋1/sC2) /｛R1(sC1R2＋C1/C2＋1 )＋(R2＋1/sC2)｝

分母分子に (sC2) をかけます
E2＝E0 (sC2R2＋1) /｛R1(s^2 C1C2R2＋sC1＋sC2 )＋(sC2R2＋1)｝
E2＝E0 (sC2R2＋1) /｛(s^2 C1R1C2R2＋sC1R1＋sC2R1 )＋(sC2R2＋1)｝
E2＝E0 (sC2R2＋1) /｛s^2 C1R1C2R2＋s(C1R1＋C2R2＋C2R1)＋1｝----- ①

フィルタ出力電圧をE1とすると
E1＝E2 (1/sC2)/ (R2＋1/sC2)
E1＝E2 / (sC2R2＋1)

これに式①を代入します
E1＝E0 (sC2R2＋1) /｛s^2 C1R1C2R2＋s(C1R1＋C2R2＋C2R1)＋1｝/ (sC2R2＋1)
　
分母分子を (sC2R2＋1) でわると
E1＝E0 /｛s^2 C1R1C2R2＋s(C1R1＋C2R2＋C2R1)＋1｝
E1/E0＝1 /｛s^2 C1R1C2R2＋s(C1R1＋C2R2＋C2R1)＋1｝----- ②解

この式②が伝達関数で、周波数特性（振幅特性、位相特性）を示しています。

ここで　R1＝R2　C1＝C2　であれば
E1/E0＝1 /｛s^2 CRCR＋s(CR＋CR＋CR)＋1｝
E1/E0＝1 /｛s^2 (CR)^2＋s3CR＋1｝　----- ③解2

これは簡単になりましたね

振幅特性と位相特性を計算します。

s＝jωとしてフーリエ変換する
E1/E0＝1 /｛(jω)^2(CR)^2＋jω3CR＋1｝

このように複素数になりますから、絶対値を求めます。
E1/E0＝1 /｛－(ωCR)^2＋jω3CR＋1｝
E1/E0＝1 /｛1－(ωCR)^2＋jω3CR｝
[E1/E0]＝1 / √[ {1－(ωCR)^2 }^2＋(ω3CR)^2 ]　----- ④

これが振幅特性です。
式④をエクセルに入力すれば図のような特性カーブが得られます。
（C1＝C2＝0.01μF　R1＝R2＝35Ωとしています）


次に位相の計算（と言うほどのこともありませんが）

式④の分子が1の場合は
∠[E1/E0 ]＝－tan(-1)(虚数部/実数部)

よって
∠[E1/E0 ]＝－tan(-1)[ω3CR / {1－(ωCR)^2} ] ----- ⑤

これが位相特性です。
式⑤をエクセルに入力すれば図のような特性カーブが得られます。
（C1＝C2＝0.01μF　R1＝R2＝35Ωとしています）


位相＝-45°時点の周波数計算

-45°＝－tan(-1)[ω3CR / {1－(ωCR)^2} ]
tan45°＝ω3CR / {1－(ωCR)^2}
1＝ω3CR / {1－(ωCR)^2}
1－(ωCR)^2＝ω3CR
ω^2(CR)^2＋ω3CR－1＝0

2次方程式の、解の公式　{－b±√(b^2－4ac)}/ 2a より
ω＝[－3CR±√{9(CR)^2＋4(CR)^2}]/2(CR)^2

C＝0.01μF　R＝35Ω　であれば
ω＝865k (rad/sec)
f＝138k（Hz） ----- 解


カットオフ周波数（fc）の計算

fc における振幅倍率を-3dBとすると
1 / √[ {1－(ωCR)^2 }^2＋(ω3CR)^2 ]＝-3 (dB)　
1 / √[ {1－(ωCR)^2 }^2＋(ω3CR)^2 ]＝1/ √2　
√[ {1－(ωCR)^2 }^2＋(ω3CR)^2 ]＝√2　
{1－(ωCR)^2 }^2＋(ω3CR)^2 ＝2　
{ (CR)^2ω^2 }^2－2(CR )^2ω^2＋1＋9(CR)^2ω^2＝2
{ (CR)^2ω^2 }^2＋7(CR )^2ω^2－1＝0

解の公式　{－b±√(b^2－4ac)}/ 2a　より　
ω^2＝｛－7(CR )^2±√[{7(CR )^2}^2＋4(CR)^4 ]｝/2(CR)^4
ω^2＝[－7(CR )^2±√{49(CR )^4＋4(CR)^4 }] /2(CR)^4
ω^2＝[－7(CR )^2±√{53 (CR )^4 }] /2(CR)^4
ω^2＝{－7(CR )^2±(CR )^2 √53 } /2(CR)^4
ω^2＝{－7±√53 } /2(CR )^2

ω＝√(－7±√53 ) / (CR )√2

ωc＝0.375 / CR
fc＝0.375 / 2πCR 　----- ⑥

C＝0.01μ　R＝35　であれば

fc＝0.375 / 2π・0.01μ・35
fc＝170.5kHz ----- 解

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