分数の割り算は、なぜ割る数をひっくり返して掛けるのか？

算数でしばしば“つまずきの石”となる項目の１つに、分数の割り算があると言われている。分数の割り算は、割る数（の分子と分母）をひっくり返して掛けることで行うが、なぜそうなるのか分からなくて算数嫌い、ひいては数学嫌いになってしまう児童、生徒が一定割合いるという。

私が数学科の学生だった時、代数学を担当されていたH先生は（私の記憶違いでなければ）授業の中でこの分数の割り算について「そういう風に習うんだから、そうすればいいんです」と言っておられた。数学者でさえ（あるいは数学者だから）そんなことをマジメに考えることはしないのだ。

けれど私は、最近そんなことをつらつら考えていて、ふと答えに辿り着いた。今回はそれについて述べたい。つまり

分数の割り算は、なぜ割る数をひっくり返して掛けるのか？

である。その答えは一番最後に明らかにしたいところだが、いたずらに結論を長引かせるのも何なので、ここで書いてしまおう。これを読んで「ああそうか！」と分かる人は、もうこの先を読む必要はない。

答：分数の表記自体がそうなっているから。

以下、このことについて説明しよう。

現在、広く使われている分数の表記について考えてみる。

「三分の一」という数を分数では１／３と表記する。この「三分の一」という数が表すのは、何か一つのものを３等分したものの１個、ということで、四則演算の記法を用いれば１÷３ということになる。つまり

１÷３＝１／３

ここで３とは分数の形で表記すると３／１になり、また１／３は１×１／３ということだから、結局

１÷３／１＝１×１／３

となる。つまり１／３という表記そのものが、「割り算は割る数をひっくり返して掛ける」というルールに基づいているのだ。

しかしこれだけだと「それは整数同士の割り算の話で、分数同士の割り算のことじゃないじゃん」などと反論してくる人がいるかもしれないので、もう少し続けよう。

上に述べた分数表記のルールについて、少し違う角度から見てみる。上で１÷３＝１／３ということが分かった。これは「割り算を分数表記するには、割られる数を分子に、割る数を分母にする」というルールがあることを示している。それに従えば、

（２／１７）÷（１１／３）＝（２／１７）／（１１／３）

であり、ａ、ｂ、ｃ、ｄがそれぞれ整数でｂ、ｃ、ｄがいずれも０でないとすると、

（ａ／ｂ）÷（ｃ／ｄ）＝（ａ／ｂ）／（ｃ／ｄ）

となるわけだ（そして実際、これで正しい）。ただ（ａ／ｂ）／（ｃ／ｄ）では形が複雑で使いづらいので、もう少し簡単な形にしたい。そこで分母を払うことにする。使うのは、分子と分母に同じ数を掛けても１を掛けるのと同じで数は変わらない、ということと、（ｃ／ｄ）×（ｄ／ｃ）＝１という分数の掛け算だ。（ａ／ｂ）／（ｃ／ｄ）の分子と分母にｄ／ｃを掛けると、

（ａ／ｂ）／（ｃ／ｄ）＝（（ａ／ｂ）×（ｄ／ｃ））／（（ｃ／ｄ）×（ｄ／ｃ））＝ａｄ／ｂｃ

ということで簡単な形になった。

ここで上の式の真ん中の部分を見てみる。分母は１だから分子だけに着目すると（ａ／ｂ）×（ｄ／ｃ）であり、これが最終的にａｄ／ｂｃになるわけだが、上の式は元々、（ａ／ｂ）÷（ｃ／ｄ）を計算しようとして出てきたのだった。つまり

（ａ／ｂ）÷（ｃ／ｄ）＝（ａ／ｂ）×（ｄ／ｃ）

何と「割り算を分数表記するには、割られる数を分子に、割る数を分母にする」というルールで進めてきた結果、やっぱり「割り算は割る数をひっくり返して掛ける」ということになってしまった！（つまり、この2つのルールは同じことを違う言い方で述べていただけだった、ということ。）

だから「分数の割り算は、なぜ割る数をひっくり返して掛けるのか？」を問うことは意味がない。だって「分数の表記（のルール）自体がそうなっているだけ」だから。それは例えば「野球は1チーム9人なのにサッカーはなぜ11人なのか？」を問うことにも似ている。そんなもの論理的に考えても分かるモンじゃない。答えは「そういうルールだから」だ（よって分数表記の仕方（＝ルール）が今と違うものになれば、計算方法もまた違うものになる。もちろん、それで計算結果が変わるわけではないが）。

そう考えると、H先生の「そういう風に習うんだから、そうすればいいんです」という言葉は、まさに本質を突いていたのである。