（01）
（トップエスイー講座「基礎理論」講座第1回の「命題理論」のPart4の映像です）
（02）
（ⅰ）
１ （１）Ａ∨Ａ 仮定
２ （２）Ａ 仮定
３（３） Ａ 仮定
１ （４）Ａ １２２３３∨Ｅ
（５）Ａ∨Ａ→Ａ １４ＣＰ
（ⅱ）
１（１）Ａ 仮定
１（２）Ａ∨Ｂ １∨Ｉ
（３）Ａ→Ａ∨Ｂ １２ＣＰ
（ⅲ）
１ （１）Ａ∨Ｂ 仮定
２ （２）Ａ 仮定
２ （３）Ｂ∨Ａ ２∨Ｉ
４（４） Ｂ 仮定
４（５）Ｂ∨Ａ ４∨Ｉ
１ （６）Ｂ∨Ａ １２３４５∨Ｉ
（７）Ａ∨Ｂ→Ｂ∨Ａ １６ＣＰ
（ⅳ）
１ （１） Ａ→Ｂ 仮定
２ （２） Ｃ∨Ａ 仮定
３ （３） Ｃ 仮定
３ （４） Ｃ∨Ｂ ３∨Ｉ
５（５） Ａ Ａ
１ ５（６） Ｂ １５ＭＰＰ
１ ５（７） Ｃ∨Ｂ ６∨Ｉ
１２ （８） Ｃ∨Ｂ １３４５７∨Ｅ
１ （９） （Ｃ∨Ａ）→（Ｃ∨Ｂ） ２８ＣＰ
（ア）（Ａ→Ｂ）→（（Ｃ∨Ａ）→（Ｃ∨Ｂ）） １９ＣＰ
（ⅴ）
１ （１） Ａ→Ｂ 仮定
２ （２） Ｃ→Ａ 仮定
３（３） Ｃ 仮定
２３（４） Ａ ２３ＭＰＰ
１２３（５） Ｂ １４ＭＰＰ
１２ （６） Ｃ→Ｂ ３５ＣＰ
１ （７） （Ｃ→Ａ）→（Ｃ→Ｂ） ２６ＣＰ
（８）（Ａ→Ｂ）→（（Ｃ→Ａ）→（Ｃ→Ｂ）） １７ＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
「ヒルベルト・アッカーマンの公理」、すなはち、
① Ａ∨Ａ→Ａ
② Ａ→Ａ∨Ａ
③ Ａ∨Ｂ→Ｂ∨Ａ
④（Ａ→Ｂ）→（（Ｃ∨Ａ）→（Ｃ∨Ｂ））
⑤（Ａ→Ｂ）→（（Ｃ→Ａ）→（Ｃ→Ｂ））
といふ「公理」は、「自然演繹の規則」によって、「演繹」出来る。
（04）
（ⅰ）
１ （１） Ａ∨Ａ→Ａ 仮定
２（２） ～Ａ 仮定
１２（３） ～（Ａ∨Ａ） １２ＭＴＴ
１２（４） ～Ａ＆～Ａ ３ド・モルガンの法則
１ （５）～Ａ→～Ａ＆～Ａ ２４ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ａ→Ａ∨Ａ 仮定
２（２） ～Ａ＆～Ａ 仮定
２（３） ～（Ａ∨Ａ） ２ド・モルガンの法則
１２（４）～Ａ １３ＭＴＴ
１ （５）～Ａ＆～Ａ→～Ａ ２４ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） Ａ∨Ｂ→Ｂ∨Ａ 仮定
２（２） ～Ｂ＆～Ａ 仮定
２（３） ～（Ｂ∨Ａ） ２ド・モルガンの法則
１２（４）～（Ａ∨Ｂ） １３ＭＴＴ
１２（５）～Ａ＆～Ｂ ４ド・モルガンの法則
１ （６）～Ｂ＆～Ａ→～Ａ＆～Ｂ ２５ＣＰ
然るに、
（05）
（ⅶ）
１ （１）～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
２ （２） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ＆～Ｑ Ａ
４ （４） ～Ｐ Ａ
３ （５） Ｐ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｐ＆Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｑ Ａ
３ （９） ～Ｑ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｑ＆～Ｑ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） ３アＲＡＡ
２ （ウ）～（Ｐ＆～Ｑ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） Ｐ Ａ
オ （オ） ～Ｑ Ａ
エオ （カ） Ｐ＆～Ｑ エオ
２ エオ （キ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ウカ＆Ｉ
２ エ （ク） ～～Ｑ オキＲＡＡ
２ エ （ケ） Ｑ クＤＮ
２ （コ） Ｐ→ Ｑ エケＣＰ
１２ （サ）～（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｐ→ Ｑ） １コ＆Ｉ
１ （シ）～（～Ｐ∨Ｑ） ２サＲＡＡ
ス （ス） ～Ｐ Ａ
ス （セ） ～Ｐ∨Ｑ ス∨Ｉ
１ ス （ソ）～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） シセ＆Ｉ
１ （タ） ～～Ｐ スソＲＡＡ
１ （チ） Ｐ タＲＡＡ
ツ（ツ） Ｑ Ａ
ツ（テ） ～Ｐ∨Ｑ ツ∨Ｉ
１ ツ（ト）～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） シテ＆Ｉ
１ （ナ） ～Ｑ ツトＲＡＡ
１ （ニ） Ｐ＆～Ｑ チナ＆Ｉ
（ⅷ）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（２） Ｐ→ Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ ２３ＭＰＰ
２（５） ～Ｑ １＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ→ Ｑ） ２６ＲＡＡ
従って、
（05）により、
（06）
⑦ ～（Ｐ→ Ｑ）
⑧ Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
⑦＝⑧ であるが、この「等式」を、「含意の否定」とする。
然るに、
（07）
（ⅳ）
１ （１） （Ａ→Ｂ）→（（Ｃ∨Ａ）→（Ｃ∨Ｂ）） 仮定
２（２） （Ｃ∨Ａ）＆（～Ｃ＆～Ｂ） 仮定
２（３） （Ｃ∨Ａ） ２＆Ｅ
２（４） （～Ｃ＆～Ｂ） ２＆Ｅ
２（５） ～（Ｃ∨ Ｂ） ４ド・モルガンの法則
２（６） （Ｃ∨Ａ）＆～（Ｃ∨ Ｂ） ３５＆Ｉ
２（７） ～（（Ｃ∨Ａ）→（Ｃ∨Ｂ）） ６含意の否定
１２（８）～（Ａ→Ｂ） １７ＭＴＴ
１２（９） Ａ＆～Ｂ ８含意の否定
１ （ア）（Ｃ∨Ａ）＆（～Ｃ＆～Ｂ）→（Ａ＆～Ｂ） ２９ＣＰ
（ⅶ）
１ （１） （Ａ→Ｂ）→（（Ｃ→Ａ）→（Ｃ→Ｂ）） 仮定
２（２） （～Ｃ∨Ａ）＆（Ｃ＆～Ｂ） 仮定
２（３） （～Ｃ∨Ａ） ２＆Ｅ
２（４） （Ｃ→Ａ） ３含意の定義
２（５） （Ｃ＆～Ｂ） Ａ
２（６） ～（Ｃ→Ｂ） ５含意の否定
２（７） （Ｃ→Ａ）＆～（Ｃ→Ｂ） ４６＆Ｉ
２（８） ～（（Ｃ→Ａ）→（Ｃ→Ｂ）） ７含意の否定
１２（９）～（Ａ→Ｂ） １８ＭＴＴ
１２（ア） Ａ＆～Ｂ ９含意の否定
１ （イ）（～Ｃ∨Ａ）＆（Ｃ＆～Ｂ）→（Ａ＆～Ｂ） ２ＡＣＰ
従って、
（01）～（07）により、
（08）
① Ａ∨Ａ→Ａ
② Ａ→Ａ∨Ａ
③ Ａ∨Ｂ→Ｂ∨Ａ
④（Ａ→Ｂ）→（（Ｃ∨Ａ）→（Ｃ∨Ｂ））
⑤（Ａ→Ｂ）→（（Ｃ→Ａ）→（Ｃ→Ｂ））
といふ「ヒルベルト・アッカーマンの公理」は、その「対偶」である所の、
① ～Ａ→～Ａ＆～Ａ
② ～Ａ＆～Ａ→～Ａ
③ ～Ｂ＆～Ａ→～Ａ＆～Ｂ
④（Ｃ∨Ａ）＆（～Ｃ＆～Ｂ）→（Ａ＆～Ｂ）
⑤（～Ｃ∨Ａ）＆（Ｃ＆～Ｂ）→（Ａ＆～Ｂ）
といふ「論理式」に、「等しい」。
（09）
④（Ｃ∨Ａ）＆（～Ｃ＆～Ｂ）→（Ａ＆～Ｂ）
⑤（～Ｃ∨Ａ）＆（Ｃ＆～Ｂ）→（Ａ＆～Ｂ）
といふ「式」は、
④（Ｃであるか、またはＡである）が（ＣでなくてＢでない）ので（ＡであってＢでない）。
⑤（Ｃでないか、またはＡである）が（ＣであってＢでない）ので（ＡであってＢでない）。
といふ「意味」である。
然るに、
（10）
④（Ｃであるか、またはＡである）が（ＣでなくてＢでない）ので（ＡであってＢでない）。
⑤（Ｃでないか、またはＡである）が（ＣであってＢでない）ので（ＡであってＢでない）。
といふ「推論」は、明らかに、「妥当（Valid）」である。