日本語の「は」と「が」について。

象は鼻が長い=∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
とりあえず「三上文法」を「批判」します。

(643)「ヒルベルト・アッカーマンの公理」の「対偶」。

2020-06-08 10:52:46 | 論理

(01)

(トップエスイー講座「基礎理論」講座第1回の「命題理論」のPart4の映像です)
(02)
(ⅰ)
1  (1)A∨A   仮定
 2 (2)A     仮定
  3(3)  A   仮定
1  (4)A     12233∨E
   (5)A∨A→A 14CP
(ⅱ)
1(1)A     仮定
1(2)A∨B   1∨I
 (3)A→A∨B 12CP
(ⅲ)
1  (1)A∨B 仮定
 2 (2)A   仮定
 2 (3)B∨A 2∨I
  4(4)  B 仮定
  4(5)B∨A 4∨I
1  (6)B∨A     12345∨I
   (7)A∨B→B∨A 16CP
(ⅳ)
1   (1)              A→B   仮定
 2  (2)              C∨A   仮定
  3 (3)              C     仮定
  3 (4)              C∨B   3∨I
   5(5)                A   A
1  5(6)                B   15MPP
1  5(7)              C∨B   6∨I
12  (8)              C∨B   13457∨E
1   (9)       (C∨A)→(C∨B)  28CP
    (ア)(A→B)→((C∨A)→(C∨B)) 19CP
(ⅴ)
1  (1)              A→B   仮定
 2 (2)              C→A   仮定
  3(3)              C     仮定
 23(4)                A   23MPP
123(5)                B   14MPP
12 (6)              C→B   35CP
1  (7)       (C→A)→(C→B)  26CP
   (8)(A→B)→((C→A)→(C→B)) 17CP
従って、
(01)(02)により、
(03)
「ヒルベルト・アッカーマンの公理」、すなはち、
①  A∨A→A
②  A→A∨A 
③  A∨B→B∨A 
④(A→B)→((C∨A)→(C∨B))
⑤(A→B)→((C→A)→(C→B))
といふ「公理」は、「自然演繹の規則」によって、「演繹」出来る。
(04)
(ⅰ)
1 (1)     A∨A→A 仮定
 2(2)        ~A 仮定
12(3)   ~(A∨A)  12MTT
12(4)   ~A&~A   3ド・モルガンの法則
1 (5)~A→~A&~A     24CP
(ⅱ)
1 (1)   A→A∨A  仮定
 2(2)  ~A&~A    仮定
 2(3)  ~(A∨A) 2ド・モルガンの法則
12(4)~A       13MTT
1 (5)~A&~A→~A 24CP
(ⅲ)
1 (1)  A∨B→B∨A   仮定
 2(2)     ~B&~A  仮定
 2(3)    ~(B∨A)  2ド・モルガンの法則
12(4)~(A∨B)      13MTT
12(5)~A&~B       4ド・モルガンの法則
1 (6)~B&~A→~A&~B 25CP
然るに、
(05)
(ⅶ)
1        (1)~(P→ Q)  A
 2       (2) ~P∨ Q   A
  3      (3)  P&~Q   A
   4     (4) ~P      A
  3      (5)  P      3&E
  34     (6) ~P&P    45&I
   4     (7)~(P&~Q)  36RAA
    8    (8)     Q   A
  3      (9)    ~Q   3&E
  3 8    (ア)  Q&~Q   89&I
    8    (イ)~(P&~Q)  3アRAA
 2       (ウ)~(P&~Q)  2478イ∨E
     エ   (エ)  P      A
      オ  (オ)    ~Q   A
     エオ  (カ)  P&~Q   エオ
 2   エオ  (キ)~(P&~Q)&
             (P&~Q)  ウカ&I
 2   エ   (ク)   ~~Q   オキRAA
 2   エ   (ケ)     Q   クDN
 2       (コ)  P→ Q   エケCP
12       (サ)~(P→ Q)&
             (P→ Q)  1コ&I
1        (シ)~(~P∨Q)  2サRAA
       ス (ス)  ~P     A
       ス (セ)  ~P∨Q   ス∨I
1      ス (ソ)~(~P∨Q)&
             (~P∨Q)  シセ&I
1        (タ) ~~P     スソRAA
1        (チ)   P     タRAA
        ツ(ツ)     Q   A
        ツ(テ)  ~P∨Q   ツ∨I
1       ツ(ト)~(~P∨Q)&
             (~P∨Q)  シテ&I
1        (ナ)    ~Q   ツトRAA
1        (ニ)  P&~Q   チナ&I
(ⅷ)
1 (1)  P&~Q  A
 2(2)  P→ Q  A
1 (3)  P     1&E
12(4)     Q  23MPP
 2(5)    ~Q  1&E
12(6)  Q&~Q  45&I
1 (7)~(P→ Q) 26RAA
従って、
(05)により、
(06)
⑦ ~(P→ Q) 
⑧   P&~Q
に於いて、
⑦=⑧ であるが、この「等式」を、「含意の否定」とする。
然るに、
(07)
(ⅳ)
1 (1) (A→B)→((C∨A)→(C∨B)) 仮定
 2(2)       (C∨A)&(~C&~B) 仮定
 2(3)       (C∨A)         2&E
 2(4)             (~C&~B) 2&E
 2(5)             ~(C∨ B) 4ド・モルガンの法則
 2(6)       (C∨A)&~(C∨ B) 35&I
 2(7)      ~((C∨A)→(C∨B)) 6含意の否定
12(8)~(A→B)               17MTT
12(9) A&~B                8含意の否定
1 (ア)(C∨A)&(~C&~B)→(A&~B) 29CP
(ⅶ)
1 (1) (A→B)→((C→A)→(C→B))  仮定
 2(2)       (~C∨A)&(C&~B)  仮定
 2(3)       (~C∨A)         2&E
 2(4)        (C→A)         3含意の定義
 2(5)              (C&~B)  A
 2(6)              ~(C→B)  5含意の否定
 2(7)        (C→A)&~(C→B)  46&I
 2(8)       ~((C→A)→(C→B)) 7含意の否定
12(9)~(A→B)                18MTT
12(ア) A&~B                 9含意の否定
1 (イ)(~C∨A)&(C&~B)→(A&~B)  2ACP
従って、
(01)~(07)により、
(08)
①  A∨A→A
②  A→A∨A 
③  A∨B→B∨A 
④(A→B)→((C∨A)→(C∨B))
⑤(A→B)→((C→A)→(C→B))
といふ「ヒルベルト・アッカーマンの公理」は、その「対偶」である所の、
① ~A→~A&~A 
② ~A&~A→~A
③ ~B&~A→~A&~B
④(C∨A)&(~C&~B)→(A&~B)
⑤(~C∨A)&(C&~B)→(A&~B)
といふ「論理式」に、「等しい」。
(09)
④(C∨A)&(~C&~B)→(A&~B)
⑤(~C∨A)&(C&~B)→(A&~B)
といふ「式」は、
④(Cであるか、またはAである)が(CでなくてBでない)ので(AであってBでない)。
⑤(Cでないか、またはAである)が(CであってBでない)ので(AであってBでない)。
といふ「意味」である。
然るに、
(10)
④(Cであるか、またはAである)が(CでなくてBでない)ので(AであってBでない)。
⑤(Cでないか、またはAである)が(CであってBでない)ので(AであってBでない)。
といふ「推論」は、明らかに、「妥当(Valid)」である。