（01）
（ⅰ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） １４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） ～Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） １９＆Ｉ
２ （イ） ～～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
２ （エ） Ｐ＆ Ｑ ７ウ＆Ｉ
１２ （オ） ～（ Ｐ＆ Ｑ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
② ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
② ～Ｐ∨～Ｑ
に於ける、
①＝② の「両辺」を「否定」すると、
③ ～～（Ｐ＆ Ｑ）
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（03）により、
（04）
「二重否定（ＤＮ）」により、
③ Ｐ＆ Ｑ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
② ～Ｐ∨～Ｑ
③ Ｐ＆ Ｑ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（05）により、
（06）
「順番」を変へると、
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
② ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
④ Ｐ＆ Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（07）
③ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
④ Ｐ＆ Ｑ
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③ ～（～～Ｐ∨～～Ｑ）
④ ～Ｐ＆ ～Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（07）により、
（08）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（01）～（08）により、
（09）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
② ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（10）
①（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
② Ｐでないか、Ｑでないか、または、ＰでなくてＱでない。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、「日本語」として、「当然」である。
（11）
③（Ｐであるか、 Ｑである。）といふことはない。
④ Ｐではないし、Ｑでもない。
に於いて、
③＝④ である。
といふことは、「当然」である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
（Ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ）≡～Ｐ∨～Ｑ
（Ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ）≡～Ｐ＆～Ｑ
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」は、「日本語」としても、「当然」である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１ （１）～｛Ｐ＆ （Ｑ∨ Ｒ）｝ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ） １ド・モルガンの法則
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ３∨Ｉ
５（５） ～（Ｑ∨ Ｒ） Ａ
５（６） （～Ｑ＆～Ｒ） ５ド・モルガンの法則
５（７） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ６∨Ｉ
１ （８） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ２３４５７∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ） ２∨Ｉ
４（４） ～Ｑ＆～Ｒ Ａ
４（５） ～（Ｑ∨ Ｒ） ４ド・モルガンの法則
４（６） ～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ） ５∨Ｉ
１ （７） ～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ） １２３４６∨Ｅ
１ （８）～｛Ｐ＆ （Ｑ∨ Ｒ）｝ ７ド・モルガンの法則
従って、
（13）により、
（14）
① ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
（15）
（ⅲ）
１（１）～｛（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｒ｝ Ａ
１（２） ～（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ １ド・モルガンの法則
１（３） ～（Ｐ＆Ｑ） ２＆Ｅ
１（４） ～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
１（５） ～Ｒ ２＆Ｅ
１（６）（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ ４５＆Ｉ
（ⅳ）
１（１）（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ Ａ
１（２）（～Ｐ∨～Ｑ） １＆Ｅ
１（３） ～（Ｐ＆Ｑ） ２ド・モルガンの法則
１（４） ～Ｒ １＆Ｅ
１（５） ～（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ ３４＆Ｉ
１（６）～｛（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｒ｝ ５ド・モルガンの法則
従って、
（15）により、
（16）
③ ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（14）（16）により、
（17）
① ～｛Ｐ＆ （Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（18）
② ～偽∨（～Ｑ ＆～真）
④（～偽∨ ～Ｑ）＆～真
に於いて、
② は、「式全体」として「真」であるが、
④ は、「式全体」として「偽」である。
従って、
（17）（18）により、
（19）
① ～｛Ｐ＆ （Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であるが、
②＝④ ではない。
然るに、
（17）により、
（20）
① ～｛Ｐ＆ （Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
といふ「論理式」を、
① ～｛Ｐ＆ Ｑ∨ Ｒ｝
② ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
③ ～｛Ｐ＆ Ｑ∨ Ｒ｝
④ ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
といふ風に、書いては、ならない。
然るに、
（21）
⑤ ～｛Ｐ＆ Ｑ∨ Ｒ｝
⑥ ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
と書けば、
① ～｛Ｐ＆ （Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
であるか、
③ ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
であるかの、どちらかである。
従って、
（17）（21）により、
（22）
⑤ ～（Ｐ＆ Ｑ∨ Ｒ）
⑥ ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
⑤＝⑥ といふ「等式」自体は、「正しい」。
従って、
（09）（22）により、
（23）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
② ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆ Ｑ∨ Ｒ）
⑥ ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
⑤＝⑥ である。
従って、
（23）により、
（24）
（Ｐ，Ｑ）が、
｛Ｐ，Ｑ，Ｒ）に変ったとしても、「ド・モルガンの法則」は、成立する。