（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→ Ｐ） Ａ
２ （２） Ｑ＆～Ｐ Ａ
３（３） Ｑ→ Ｐ Ａ
２ （４） Ｑ ２＆Ｅ
２３（５） Ｐ ３４ＭＰＰ
２ （６） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３（７） Ｐ＆～Ｐ ５６＆Ｉ
２ （８） ～（Ｑ→ Ｐ） ３７ＲＡＡ
１２ （９）～Ｐ １８ＭＴＴ
１ （ア）（Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ ２９ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） （Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） ～～Ｐ ２ＤＮ
１２ （４） ～（Ｑ＆～Ｐ） １３ＭＴＴ
５ （５） Ｑ Ａ
６（６） ～Ｐ Ａ
５６（７） Ｑ＆～Ｐ ５６＆Ｉ
１２５６（８） ～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ４７＆Ｉ
１２５ （９） ～～Ｐ ６ＲＡＡ
１２５ （ア） Ｐ ９ＤＮ
１２ （イ） Ｑ→ Ｐ ５アＣＰ
１ （ウ）Ｐ→（Ｑ→ Ｐ） ２イＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
③（Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ
に於いて、
①＝③ は、「対偶（Contrapostion）」である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→（ Ｑ→Ｐ） Ａ
１ （２） ～Ｐ∨（ Ｑ→Ｐ） １含意の定義
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｐ） ３∨Ｉ
５（５） Ｑ→Ｐ Ａ
５（６） ～Ｑ∨Ｐ ５含意の定義
５（７） ～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｐ） ５∨Ｉ
１ （８） ～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｐ） ３４５７∨Ｅ
１ （９） ～Ｐ∨ ～Ｑ∨Ｐ ８結合法則
１ （ア） ～Ｐ∨Ｐ ∨～Ｑ ９交換法則
１ （イ）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ ア結合法則
（ⅱ）
１ （１）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨Ｐ ∨～Ｑ １結合法則
１ （３） ～Ｐ∨ ～Ｑ∨Ｐ ２交換法則
１ （４） ～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｐ） ３結合法則
５ （５） ～Ｐ Ａ
５ （６） ～Ｐ∨（ Ｑ→Ｐ） ５∨Ｉ
７（７） ～Ｑ∨Ｐ Ａ
７（８） Ｑ→Ｐ ７含意の定義
７（９） ～Ｐ∨（ Ｑ→Ｐ） ８∨Ｉ
１ （ア） ～Ｐ∨（ Ｑ→Ｐ） ４５６７９∨Ｅ
１ （イ） Ｐ→（ Ｑ→Ｐ） ア含意の定義
従って、
（03）により、
（04）
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
②（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
（ⅲ）
１ （１） （Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ Ａ
１ （２）～（Ｑ＆～Ｐ）∨～Ｐ Ａ
３ （３）～（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
３ （４） ～Ｑ∨ Ｐ ３ド・モルガンの法則
３ （５） ～Ｑ∨ Ｐ ∨～Ｐ ４∨Ｉ
３ （６） ～Ｑ∨（Ｐ∨～Ｐ） ５結合法則
７ （７） ～Ｑ Ａ
７ （８）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ ７∨Ｉ
９（９）（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
９（ア）（～Ｐ∨Ｐ） ９交換法則
９（イ）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ ３７８９イ∨Ｅ
（ⅳ）
１ （１）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ Ａ
１ （２）～Ｑ∨（～Ｐ∨Ｐ） １交換法則
１ （３） Ｑ→（～Ｐ∨Ｐ） ２含意の定義
４ （４） Ｑ Ａ
１４ （５） ～Ｐ∨Ｐ ３４ＭＰＰ
１４ （６） Ｐ∨～Ｐ ５交換法則
７ （７） Ｐ Ａ
７ （８） ～～Ｐ ７ＤＮ
７ （９） ～～Ｐ∨～Ｐ ７∨Ｉ
ア （ア） ～Ｐ Ａ
ア （イ） ～～Ｐ∨～Ｐ ア∨Ｉ
１４ （ウ） ～～Ｐ∨～Ｐ ６７９アイ∨Ｅ
１４ （エ） ～Ｐ→～Ｐ ウ含意の定義
１ （オ）Ｑ→（～Ｐ→～Ｐ） ４エＣＰ
カ（カ）Ｑ＆ ～Ｐ Ａ
カ（キ）Ｑ カ＆Ｅ
１ カ（ク） ～Ｐ→～Ｐ オキＭＰＰ
カ（ケ） ～Ｐ カ＆Ｅ
１ カ（コ） ～Ｐ クケＭＰＰ
１ （サ）（Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ カコＣＰ
従って、
（05）により、
（06）
③（Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ
④（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（02）（04）（06）により、
（07）
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
②（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
③（Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ
④（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（07）により、
（08）
「番号」を付け直すと、
①（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
② Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
③（Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ であって、特に、
②＝③ は、「対偶（Contrapostion）」である。
然るに、
（09）
①（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
に於いて、
①（～Ｐ∨Ｐ）は、
①（ 排中律 ）は、「恒に真（トートロジー）」である。
然るに、
（10）
①（恒真式）∨～Ｑ
の場合は、
①（恒真式）∨～真
であっても、
①（恒真式）∨～偽
であっても、「式全体」としては、「恒に真」である。
ｃｆ.
「真理値表（意味論・セマンティックス）」。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
①（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
② Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
③（Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ
に於いて、
① が「恒に真」であるが故に、
② Ｐ→（真→Ｐ） は、「恒に真」であり、
② Ｐ→（偽→Ｐ） も、「恒に真」であり、
③（真＆～Ｐ）→～Ｐ も、「恒に真」であり、
③（偽＆～Ｐ）→～Ｐ も、「恒に真」である。
従って、
（11）により、
（12）
Ｐ＝太陽は東から昇る。
Ｑ＝バカボンのパパは天才である。
として、
② Ｐ→（Ｑ→Ｐ）≡太陽が東から昇るならば（バカボンのパパが天才であるならば、太陽は東から昇る）。
② Ｐ→（Ｑ→Ｐ）≡太陽が東から昇るならば（バカボンのパパが天才でないならば、太陽は東から昇る）。
といふ「命題」は、「２つ」とも「真」であり、
③（Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ≡（バカボンのパパが天才であって、太陽が西から昇るならば）太陽は西から昇る。
③（Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ≡（バカボンのパパが天才でなくて、太陽が西から昇るならば）太陽は西から昇る。
従って、
（12）により、
（13）
② Ｐ→（Ｑ→Ｐ）≡ 太陽が東から昇るならば（バカボンのパパが天才であろうと、なかろうと、太陽は東から昇る）。
③（Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ≡（バカボンのパパが天才であろうと、なかろうと、太陽が西から昇るならば）太陽は西から昇る。
といふ「２つ命題」は、「２つ」とも、「恒に真（トートロジー）」である。
従って、
（02）（07）（13）により、
（14）
② Ｐ→（Ｑ→Ｐ）≡ 太陽が東から昇るならば（バカボンのパパが天才であろうと、なかろうと、太陽は東から昇る）。
③（Ｑ＆～Ｐ）→～Ｐ≡（バカボンのパパが天才であろうと、なかろうと、太陽が西から昇るならば）太陽は西から昇る。
といふ「２つ命題」は、「対偶（Contrapositon)」であって、「恒に真（tautology）」である。
ｃｆ.
「天才バカボンの歌」。
―「昨日（令和０２年０６月０６日）の記事」を「補足」します。―
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（ Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ（これも、含意の定義）
８ （８） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ（含意の定義の否定）
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨ Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ７ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨ Ｑ オ∨Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ７カ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（ Ｐ＆～Ｑ）＆
（ Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ８コＲＡＡ（含意の定義の否定の、否定）
１ （シ） ～Ｐ∨ Ｑ サＤＮ（含意の定義）
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ（含意の定義）
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨ＥＥ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→Ｑ≡Ｐならば、Ｑである。
② ～Ｐ∨Ｑ≡Ｐでないか、または、Ｑである。
に於いて、
①＝② であって、この「等式」を「含意の定義」とする。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→（ Ｑ→Ｐ） Ａ
１ （２） ～Ｐ∨（ Ｑ→Ｐ） １含意の定義
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｐ） ３∨Ｉ
５（５） Ｑ→Ｐ Ａ
５（６） ～Ｑ∨Ｐ ５含意の定義
５（７） ～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｐ） ５∨Ｉ
１ （８） ～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｐ） ３４５７∨Ｅ
１ （９） ～Ｐ∨ ～Ｑ∨Ｐ ８結合法則
１ （ア） ～Ｐ∨Ｐ ∨～Ｑ ９交換法則
１ （イ）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ ア結合法則
（ⅱ）
１ （１）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨Ｐ ∨～Ｑ １結合法則
１ （３） ～Ｐ∨ ～Ｑ∨Ｐ ２交換法則
１ （４） ～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｐ） ３結合法則
５ （５） ～Ｐ Ａ
５ （６） ～Ｐ∨（ Ｑ→Ｐ） ５∨Ｉ
７（７） ～Ｑ∨Ｐ Ａ
７（８） Ｑ→Ｐ ７含意の定義
７（９） ～Ｐ∨（ Ｑ→Ｐ） ８∨Ｉ
１ （ア） ～Ｐ∨（ Ｑ→Ｐ） ４５６７９∨Ｅ
１ （イ） Ｐ→（ Ｑ→Ｐ） ア含意の定義
従って、
（03）により、
（04）
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
②（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
②（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
に於いて、
②（～Ｐ∨Ｐ）は、
②（ 排中律 ）は、「恒に真（トートロジー）」である。
然るに、
（06）
②（恒真式）∨～Ｑ
の場合は、
②（恒真式）∨～真
であっても、
②（恒真式）∨～偽
であっても、「式全体」としては、「恒に真」である。
ｃｆ.
「真理表（意味論・セマンティックス）」。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
②（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
②（～Ｐ∨Ｐ）∨～真
であっても、
②（～Ｐ∨Ｐ）∨～偽
であっても、
② は「恒に真」であるが故に、
① Ｐ→（真→Ｐ） は、「恒に真」であり、
① Ｐ→（偽→Ｐ） も、「恒に真」である。
従って、
（07）により、
（08）
Ｐ＝太陽は東から昇る。
Ｑ＝バカボンのパパは天才である。
として、
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）≡太陽が東から昇るならば（バカボンのパパが天才であるならば、太陽は東から昇る）。
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）≡太陽が東から昇るならば（バカボンのパパが天才でないならば、太陽は東から昇る）。
といふ「命題」は、「２つ」とも「真」である。
従って、
（08）により、
（09）
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）≡ 太陽が東から昇るならば（バカボンのパパが天才であろうと、なかろうと、太陽は東から昇る）。
といふ「命題」は、「恒に真（トートロジー）」である。