(01)
―「以前(令和2年4月4日)」にも書いた通り、―
(ⅰ)
1 (1)∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&鼻xy→~長x)} A
1 (2) ∃y{(鼻ay&象y→長a)&(~象y&鼻ay→~長a)} 1UE
3 (3) (鼻ab&象b→長a)&(~象b&鼻ab→~長a) A
3 (4) 鼻ab&象b→長a 3&E
3 (5) ~象b&鼻ab→~長a 3&E
6 (6) 長a A
6 (7) ~~長a 6DN
36 (8) ~(~象b&鼻ab) 57MTT
36 (9) 象b∨~鼻ab 8ド・モルガンの法則
ア (ア) 象b A
ア (イ) ~~象a アDN
ア (ウ) ~~象a∨~鼻ab イ∨I
エ (エ) ~鼻ab A
エ (オ) ~~象b∨~鼻ab エ∨I
36 (カ) ~~象b∨~鼻ab 9アウエオ∨E
36 (キ) ~象b→~鼻ab カ含意の定義
3 (ク) 長a→(~象b→~鼻ab) 6キCP
ケ(ケ) 長a& ~象b A
ケ(コ) 長a ケ&E
3 ケ(サ) ~象b→~鼻ab クコMPP
ケ(シ) ~象b ケ&E
3 ケ(ス) ~鼻ab サシMPP
3 (セ) 長a&~象b→~鼻ab ケスCP
3 (ソ) (鼻ab&象b→長a)&(長a&~象b→~鼻ab) 4セ&I
3 (タ) ∃y{(鼻ay&象y→長a)&(長a&~象y→~鼻ay)} ソEI
1 (チ) ∃y{(鼻ay&象b→長a)&(長a&~象y→~鼻ay)} 23タEE
1 (ツ)∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(長x&~象y→~鼻xy)} チUI
(ⅱ)
1 (1)∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(長x&~象y→~鼻xy)} A
1 (2) ∃y{(鼻ay&象b→長a)&(長a&~象y→~鼻ay)} 1UE
3 (3) (鼻ab&象b→長a)&(長a&~象b→~鼻ab) A
3 (4) 鼻ab&象b→長a 3&E
3 (5) 長a&~象b→~鼻ab 3&E
6 (6) 鼻ab A
6 (7) ~~鼻ab 6DN
36 (8) ~(長a&~象b) 57MTT
36 (9) ~長a∨ 象b 8ド・モルガンの法則
36 (ア) 象a∨~長a 9交換法則
イ (イ) 象a A
イ (ウ) ~~象a イDN
イ (エ) ~~象a∨~長a ウ∨I
オ (オ) ~長a A
オ (カ) ~~象a∨~長a オ∨I
36 (キ) ~~象a∨~長a アイエオカ∨E
36 (ク) ~象a→~長a キ含意の定義
3 (ケ) 鼻ab→(~象a→~長a) 6クCP
コ(コ) ~象b&鼻ab A
コ(サ) 鼻ab コ&E
3 コ(シ) ~象a→~長a ケサMPP
コ(ス) ~象b コ&E
3 コ(セ) ~長a シスMPP
3 (ソ) ~象b&鼻ab→~長a コセCP
3 (タ) (鼻ab&象b→長a)&(~象b&鼻ab→~長a) 4ソ&I
3 (チ) ∃y{(鼻ay&象y→長a)&(~象y&鼻ay→~長a)} タEI
1 (ツ) ∃y{(鼻ay&象y→長a)&(~象y&鼻ay→~長a)} 23チEE
1 (テ)∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&鼻xy→~長x)} ツUI
従って、
(01)により、
(02)
① ∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&鼻xy→~長x)}
② ∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(長x&~象y→~鼻xy)}
に於いて、すなはち、
① すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが象ならば、xは長く、yが象ではなく、xがyの鼻ならば、xは長くない。
② すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが象ならば、xは長く、xが長くて、yが象でないならば、xはyの鼻ではない。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(02)により、
(03)
① ∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&鼻xy→~長x)}⇔
① すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが象ならば、xは長く、yが象ではなく、xがyの鼻ならば、xは長くない。
といふことは、
① 鼻は象は長く、象以外の鼻は長くない。
といふ「意味」である。
(04)
② ∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(長x&~象y→~鼻xy)}⇔
② すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが象ならば、xは長く、xが長くて、yが象でないならば、xはyの鼻ではない。
といふことは、
② 鼻は象は長く、象以外の動物(例へば兎)で、ある部分が長いならば、鼻以外の、耳が長い。
② 鼻は象は長く、象以外の動物(例へば馬)で、ある部分が長いならば、鼻以外の、顔が長い。
といふ「意味」である。
然るに、
(05)
{象、兎、馬}を、{変域(ドメイン)}とすると、
① 鼻は象が長く、
② 耳は兎が長く、
③ 顔は馬が長い。
といふ「日本語」は、「正しい」。
従って、
(01)~(05)により、
(06)
① 鼻は、象が長い。
② 鼻は、象は長く、象以外は長くない。
③ ∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&鼻xy→~長x)}。
④ すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが象ならば、xは長く、yが象ではなく、xがyの鼻ならば、xは長くない。
に於いて、
①=②=③=④ である。
然るに、
(07)
1 (1)∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&鼻xy→~長x)} A
1 (2) ∃y{(鼻ay&象y→長a)&(~象y&鼻ay→~長a)} 1UE
3 (3) (鼻ab&象b→長a)&(~象b&鼻ab→~長a) A
3 (4) 鼻ab&象b→長a 3&E
3 (5) ~象b&鼻ab→~長a 3&E
6 (6)∃x∃y(Py&兎y&鼻xy&~象y) A
7 (7) ∃y(Py&兎y&鼻ab&~象y) A
8(8) Pb&兎b&鼻ab&~象b A
8(9) Pb&兎b 8&E
8(ア) ~象b 8&E
8(イ) 鼻ab 8&E
8(ウ) ~象b&鼻ab アイ&I
3 8(エ) ~長a 5ウMPP
8(オ) Pb&兎b&鼻ab 9イ&I
3 8(カ) Pb&兎b&鼻ab&~長a オエ&I
3 8(キ) ∃y(Py&兎y&鼻ay&~長a) カEI
3 7 (ク) ∃y(Py&兎y&鼻ay&~長a) 78キEE
3 7 (ケ) ∃x∃y(Py&兎y&鼻xy&~長x) クEI
36 (コ) ∃x∃y(Py&兎y&鼻xy&~長x) 67ケEE
1 6 (サ) ∃x∃y(Py&兎y&鼻xy&~長x) 13コEE
従って、
(07)により、
(08)
∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&鼻xy→~長x)},∃x∃y(Py&兎y&鼻xy&~象y)├ ∃x∃y(Py&兎y&鼻xy&~長x)
といふ「連式(Sequent)」は「妥当(Valid)」である。
従って、
(08)により、
(09)
① すべてのxとあるyについて{xがyの鼻であって、yが象ならば、xは長く、yが象ではなく、xがyの鼻ならば、xは長くない}。然るに、
② あるxとあるyについて{yはピーター兎であって、xはyの鼻であって、yは象でない}。故に、
③ あるxとあるyについて{yはピータ―兎であって、xはyの鼻であって、xは長くない}。
といふ「推論(三段論法)」は「妥当(Valid)」である。
従って、
(09)により、
(10)
① 鼻は象が長い。然るに、
② ピーター兎の鼻は、象の鼻ではない。故に、
③ ピーター兎の鼻は、長くない。
といふ「推論(三段論法)」は「妥当(Valid)」である。
従って、
(01)~(10)により、
(11)
① 鼻は象が長い。然るに、
② ピーター兎の鼻は、象の鼻ではない。故に、
③ ピーター兎の鼻は、長くない。
といふ「推論(三段論法)」は「妥当(Valid)」であると、するのであれば、
① 鼻は象が長い。⇔
① 鼻は象が長く、象以外は長くない。⇔
① ∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&鼻xy→~長x)}⇔
① すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが象ならば、xは長く、yが象ではなく、xがyの鼻ならば、xは長くない。
といふ「等式」を、「否定」することは、出来ない。
然るに、
(12)
① 鼻は象が長い。然るに、
② ピーター兎の鼻は、象の鼻ではない。故に、
③ ピーター兎の鼻は、長くない。
といふ「推論(三段論法)」は、明らかに、「妥当(Valid)」である。
従って、
(11)(12)により、
(13)
① 鼻は象が長い。⇔
① 鼻は象が長く、象以外は長くない。⇔
① ∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&鼻xy→~長x)}⇔
① すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが象ならば、xは長く、yが象ではなく、xがyの鼻ならば、xは長くない。
といふ「等式」を、「否定」することは、出来ない。
従って、
(13)により、
(14)
{象、兎、馬}を、{変域(ドメイン)}とするならば、
① 鼻は象が長い。⇔ 鼻は象が長く、象以外(兎と馬)は長くない。
② 耳は兎が長い。⇔ 耳は兎が長く、兎以外(象と馬)は長くない。
③ 顔は馬が長い。⇔ 顔は馬が長く、馬以外(象と兎)は長くない。
といふ「等式」が、成立する。