（01）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
然るに、
（02）
１（１）Ｐ Ａ
であれば、「仮定の数」は、１個であり、
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
であれば、「仮定の数」は、０個である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～～Ｐ １ＤＮ
１ （３） ～～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１ （４） ～Ｐ→Ｑ ３含意の定義
（５）Ｐ→（～Ｐ→Ｑ） １４ＣＰ
６（６）Ｐ＆ ～Ｐ Ａ
６（７）Ｐ ６＆Ｅ
６（８） ～Ｐ→Ｑ ６７ＭＰＰ
６（９） ～Ｐ ６＆Ｅ
６（ア） Ｑ ８９ＭＰＰ
（イ）Ｐ＆～Ｐ→ Ｑ ６アＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） ～～Ｐ ３ＤＮ
３ （５） ～～Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
６ （６） Ｑ Ａ
６ （７） ～～Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
１ （８） ～～Ｐ∨Ｑ ２３５６７∨Ｅ
１ （９） ～Ｐ→Ｑ ８含意の定義
（ア）Ｐ→（～Ｐ→Ｑ） １９ＣＰ
イ（イ）Ｐ＆ ～Ｐ Ａ
イ（ウ）Ｐ イ＆Ｅ
イ（エ） ～Ｐ→Ｑ アウＭＰＰ
イ（オ） ～Ｐ イ＆Ｅ
イ（カ） Ｑ エオＭＰＰ
（キ）Ｐ＆～Ｐ→ Ｑ イカＣＰ
（ⅲ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） Ｐ∨ Ｑ １∨Ｉ
３ （３） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
４ （４） Ｐ Ａ
３ （５） ～Ｐ ３＆
３４ （６） Ｐ＆～Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７） ～（～Ｐ＆～Ｑ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｑ Ａ
３ （９） ～Ｑ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｑ＆～Ｑ ８９＆Ｉ
８ （イ） ～（～Ｐ＆～Ｑ） ３アＲＡＡ
１ （ウ） ～（～Ｐ＆～Ｑ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｐ Ａ
オ （オ） ～Ｑ Ａ
エオ （カ） ～Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ エオ （キ） ～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ４カ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｑ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｑ クＤＮ
１ （コ） ～Ｐ→ Ｑ エケＣＰ
（サ）Ｐ→（～Ｐ→ Ｑ） １コＣＰ
シ（ス）Ｐ＆ ～Ｐ Ａ
シ（セ）Ｐ シ＆Ｅ
シ（ソ） ～Ｐ→ Ｑ サセＭＰＰ
シ（タ） ～Ｐ シ＆Ｅ
シ（チ） Ｑ ソタＭＰＰ
（ツ）Ｐ＆ ～Ｐ→ Ｑ ツチＣＰ
従って、
（02）（03）により、
（04）
（ⅰ）Ｐ＆～Ｐ→Ｑ ６アＣＰ
（ⅱ）Ｐ＆～Ｐ→Ｑ イカＣＰ
（ⅲ）Ｐ＆～Ｐ→Ｑ ツチＣＰ
に於いても、「仮定の数」は、０個である。
然るに、
（05）
定理（theorem）とは、仮定の数がゼロ個の証明可能な連式の結論である。
（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学入門、６５頁）
従って、
（02）（04）（05）により、
（06）
① Ｐ→Ｐ≡ＰならばＰである。
② Ｐ＆～Ｐ→Ｑ≡ＰであってＰでない（矛盾）ならばＱである。
に於いて、
① は「定理（theorem）」であり、
② も「定理（theorem）」である。
然るに、
（07）
普通に考えると、素朴な恒真式（トートロジー）である。
Ｐ→Ｐ（ＰならばＰである）
とか、あるいは、
Ｐ∨￢Ｐ（Ｐであるか、またはＰでない）
などをいつでも使える出発点（公理）として準備したほうがいいのではないか、と思うでしょう。
（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１４０頁）
従って、
（06）（07）により、
（08）
① Ｐ→Ｐ≡ＰならばＰである。
② Ｐ＆～Ｐ→Ｑ≡ＰであってＰでない（矛盾）ならばＱである。
に於いて、
① だけでなく、
② も、「恒に真（本当）」である。
然るに、
（09）
② Ｐ＆～Ｐ→Ｑ≡ＰであってＰでない（矛盾）ならばＱである。
に於いて、
② Ｐ＆～Ｐ≡ＰであってＰでない。
といふこと（矛盾）は、「絶対に、起こらない」。
然るに、
（10）
② ＡならばＢである。
といふことと、
② Ａならば、そのときに限って、Ｂである。
といふことは、「同じ」ではない。
ｃｆ.
② Ａならば、そのときに限って、Ｂである。
として、
② Ａでない。ならば、Ｂでない。
従って、
（10）により、
（11）
② ＡならばＢであるが、Ａであることは、絶対にない。
といふことは、
② ＡならばＢであるが、Ａであることは、絶対にないので、Ｂであるかどうかは、分からない。
といふ、ことである。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
② ＰであってＰでない（矛盾）ならばＱである。
といふことは、
② ＰであってＰでない（矛盾）ならばＱであるが、ＰであってＰでない（矛盾）といふことは、絶対に無いので、Ｑであるかどうかは、分からない。
といふ、ことである。
従って、
（02）（12）により、
（13）
（ⅱ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） ～～Ｐ ３ＤＮ
３ （５） ～～Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
６ （６） Ｑ Ａ
６ （７） ～～Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
１ （８） ～～Ｐ∨Ｑ ２３５６７∨Ｅ
１ （９） ～Ｐ→Ｑ ８含意の定義
（ア）Ｐ→（～Ｐ→Ｑ） １９ＣＰ
イ（イ）Ｐ＆ ～Ｐ Ａ
イ（ウ）Ｐ イ＆Ｅ
イ（エ） ～Ｐ→Ｑ アウＭＰＰ
イ（オ） ～Ｐ イ＆Ｅ
イ（カ） Ｑ エオＭＰＰ
（キ）Ｐ＆～Ｐ→ Ｑ イカＣＰ
（〃）ＰであってＰでない（矛盾）ならばＱである。 ６アＣＰ
に於いても、
（キ）ＰであってＰでない（矛盾）ならばＱであるが、ＰであってＰでない（矛盾）といふことは、絶対に無いので、Ｑであるかどうかは、分からない。
といふ、ことになる。
従って、
（13）により、
（14）
１（１）Ｐ Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
に於ける、
１（２） Ｑ
であっても、
Ｐではあるが（２） Ｑであるか、どうかは、分からない。
といふ、ことなる。
然るに、
（15）
この規則（選言導入）は、推論の中で意識されることがおおよそないといえます。「彼女は背が高い」という主張をＰとしましょう。すると、このＰから「彼女は背が高い または 彼女は美人だ」が導けます。この場合、主張Ｑは「彼女は美人だ」に対応しています。しかし、「彼女は背が高い」がわかっているのに、わざわざ、「彼女は背が高い または 彼女は美人だ」とつなげる場面は普通の会話ではあまりないでしょう。数学の証明でも、これが使われる場面はほとんど見かけないような気がします。
（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１５６頁改）
従って、
（14）（15）により、
（16）
１（１）彼女は背が高い。 Ａ
１（２）彼女は背が高い または 美人である。 １∨Ｉ
に於ける、
１（２） 美人である。
であっても、「正確」に言へば、
彼女は背が高いが（２） 美人であるか、どうかは、分からない。
といふ「意味」である。
然るに、
（17）
（ⅳ）
１ （１） Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３）～～Ｐ ２ＤＮ
２ （４）～～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２ （５） ～Ｐ→Ｑ ４含意の定義
６ （６） Ｑ Ａ
６ （７）～～Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
６ （８） ～Ｐ→Ｑ ７含意の定義
１ （９） ～Ｐ→Ｑ １２５６８∨Ｅ
（ア） （Ｐ∨Ｑ）→～Ｐ→Ｑ １９ＣＰ
イ（イ） （Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ Ａ
イ（ウ） （Ｐ∨Ｑ） イ＆Ｅ
イ（エ） ～Ｐ→Ｑ アウＭＰＰ
イ（オ） ～Ｐ イ＆Ｅ
イ（カ） Ｑ エオＭＰＰ
（キ） （Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ→Ｑ イカＣＰ
従って、
（05）（17）により、
（18）
③（Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ→Ｑ≡ＰかＱであって、Ｐでないならば、Ｑである。
は、「定理（theorem）」である。
然るに、
（13）（17）により、
（19）
１ （１）Ｐ Ａ
１ （２）Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
からは、
② Ｐ＆～Ｐ→Ｑ≡ＰであってＰでない（矛盾）ならばＱである。
を、得ることは出来ても、
１ （１）Ｐ∨Ｑ Ａ
２（２）Ｐ Ａ
から、
② Ｐ＆～Ｐ→Ｑ≡ＰであってＰでない（矛盾）ならばＱである。
を、得ることは出来ない。
従って、
（19）により、
（20）
１ （２）Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１ （１）Ｐ∨Ｑ Ａ
に於いて、
（２）Ｐ∨Ｑ と、
（１）Ｐ∨Ｑ は、「同じ」ではない。