(01)
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題P, Qについて、
((P→Q)→P)→P
が成り立つ
『「PならばQ」ならばP』ならばP
なんか、パズルのような命題ですね。
さっぱりわけわからないですが。排中律を使って、つまり、Pが真の場合と偽の場合に場合分けすることで、これが成り立つことを示すことができます。
(排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita)
然るに、
(02)
(1) P→P TI(同一律:PならばPである。)
(2) ~P∨P 1含意の定義
3 (3) ~P A
3 (4) ~P∨Q 3∨I
3 (5) P→Q 4含意の定義
3 (6) (P→Q)&~P 34&I
3 (7)~(~(P→Q)∨ P) 6ド・モルガンの法則
8 (8) (P→Q)→ P A
8 (9) ~(P→Q)∨ P 8含意の定義
38 (ア)~(~(P→Q)∨ P)&
(~(P→Q)∨ P) 79&I
3 (イ) ~((P→Q)→ P) 8アRAA
3 (ウ) ~((P→Q)→ P)∨P イ∨I
エ(エ) P A
エ(オ) ~((P→Q)→ P)∨P エ∨I
(カ) ~((P→Q)→ P)∨P 13ウエオ∨E
(キ) ((P→Q)→ P)→P カ含意の定義
(〃) ((PならばQ)ならばPならば)Pである。 カ含意の定義
然るに、
(03)
系Ⅰ:任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
(E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、114頁)
従って、
(01)(02)(03)により、
(04)
①((P→Q)→P)→P
①((PならばQ)ならばPならば)Pである。
といふ、「パースの法則」は、「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(05)
(ⅰ)
1 (1) ((P→Q)→P)→P A
2 (2) ~P A
12 (3) ~((P→Q)→P) 12MTT
4 (4) ~(P→Q)∨P A
4 (5) (P→Q)→P 4含意の定義
124 (6) ~((P→Q)→P)&
((P→Q)→P) 35&I
12 (7)~(~(P→Q)∨P) 46RAA(背理法)
12 (8) (P→Q)&~P 7ド・モルガンの法則
12 (9) (P→Q) 8&E
12 (ア) ~P∨Q 9含意の定義
12 (イ) Q∨~P ア交換法則
ウ (ウ) Q A
ウ (エ) ~~Q ウDN
ウ (オ) ~~Q∨~P エ∨I
カ(カ) ~P A
カ(キ) ~~Q∨~P カ∨I
12 (ク) ~~Q∨~P イウオカキ∨E
12 (ケ) ~Q→~P ク含意の定義
1 (コ)~P→(~Q→~P) 2CP
(ⅱ)
1 (1) ~P→(~Q→~P) A
2 (2) (P→ Q)→P A
2 (3) ~(P→ Q)∨P 2含意の定義
4 (4) ~(P→ Q) A
5 (5) ~Q→~P A
6 (6) P A
6 (7) ~~P 6DN
56 (8) ~~Q 57MTT
56 (9) Q 8DN
5 (ア) P→ Q 69CP
45 (イ) ~(P→ Q)&
(P→ Q) 4ア&I
4 (ウ) ~(~Q→~P) 5イRAA(背理法)
エ(エ) P A
エ(オ) ~~P エDN
5 エ(カ) ~~Q 5オMTT
5 エ(キ) Q カDN
5 (ク) P→ Q エキCP
45 (ケ) ~(P→ Q)&
(P→ Q) 4ク&I
4 (コ) ~(~Q→~P) 5ケRAA(背理法)
2 (サ) ~(~Q→~P) 34ウエコ∨E
12 (シ)~~P 1サMTT
12 (ス) P シDN
1 (セ)((P→Q)→P)→P 2スCP
従って、
(05)により、
(06)
①((P→Q)→P)→P
② ~P→(~Q→~P)
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、① である。
従って、
(06)により、
(07)
①((P→Q)→P)→P
② ~P→(~Q→~P)
に於いて、
①=② である。
然るに、
(08)
(ⅰ)
1 (1) ((P→Q)→P)→P A
2 (2) ~P A
12 (3) ~((P→Q)→P) 12MTT
から、
1 (コ)~P→(~Q→~P) 2CP
といふ「結果」を得た。といふことは、
①((P→Q)→P)→P
② ~P→(~Q→~P)
に於いて、
①=② は、「対偶(Contraposition)」である。
といふことに、他ならない。
従って、
(04)(08)により、
(09)
①((P→Q)→P)→P
② ~P→(~Q→~P)
に於いて、
① が、「恒真式(トートロジー)」である以上、当然、
② も、「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(10)
② ~P→(~Q→~P)
に於いて、
A=~P
B=~Q
といふ「代入(Substitution)」を行ふと、
③ A→(B→A)
といふ「式」になる。
然るに、
(11)
1 代入の規則
一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である。
(沢田允、現代論理学入門、1962年、173頁)
従って、
(09)(10)(11)により、
(12)
③ A→(B→A)
③ Aならば(BならばAである)。
は、「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(13)
1 (1) A 仮定
1 (2) ~B∨ A 1∨I
3 (3) B&~A 仮定
4 (4) ~B 仮定
3 (5) B 3&E
34 (6) ~B&B 45&I
4 (7)~(B&~A) 36RAA(背理法)
8 (8) A 仮定
3 (9) ~A 3&E
3 8 (ア) A&~A 89&I
8 (イ)~(B&~A) 3アRAA(背理法)
1 (ウ)~(B&~A) 2478イ∨E
エ (エ) B 仮定
オ(オ) ~A 仮定
エオ(カ) B&~A エオ&I
1 エオ(キ)~(B&~A)&
(B&~A) ウカ&I
1 エ (ク) ~~A オDN
1 エ (ケ) A ク
1 (コ) B→A エケCP
(サ)A→(B→A) 1コCP
(〃)Aならば(BならばAである)。 1コCP
従って、
(03)(12)(13)により、
(14)
③ A→(B→A)
③ Aならば(BならばAである)。
は、果たして、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(09)~(14)により、
(15)
①((P→Q)→P)→P
② ~P→(~Q→~P)
③ A→(B→A)
に於いて、
①と② は、「 対偶 」として、「同じ」であって、
②と③ は、「代入例」として、「同じ」である。
従って、
(15)により、
(16)
①((P→Q)→P)→P
①((PならばQ)ならばPならば)Pである。
③ A→(B→A)
③ Aならば(BならばAである)。
に於いて、
①と③ は、「論理的」には、「同じ」である。
従って、
(16)により、
(17)
①((P→Q)→P)→P
①((PならばQ)ならばPならば)Pである。
③ A→(B→A)
③ Aならば(BならばAである)。
に於いて、
①と③ は、「論理的」には、「同じ」である。
従って、
(17)により、
(18)
①((P→Q)→P)→P
①((PならばQ)ならばPならば)Pである。
③ P→(Q→P)
③ Pならば(QならばPである)。
に於いて、
①と③ は、「論理的」には、「同じ」である。
然るに、
(19)
[公理]
ルカジェヴィッツによる公理
(1) P→(Q→P)
(2)[P→(Q→R)]→[(P→Q)→(P→R)]
(3)(~P→~Q)→(Q→P)
これはフレーゲが提出した6つの公理を簡単にしたものである。
(沢田允、現代論理学入門、1962年、173頁)
従って、
(01)(18)(19)により、
(20)
①((P→Q)→P)→P
①((PならばQ)ならばPならば)Pである。
③ P→(Q→P)
③ Pならば(QならばPである)。
に於いて、
①「パースの法則」と、
③「ルカジェヴィッツによる公理(1)」は、「論理的」には、「同じ」である。
然るに、
(21)
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、「パースの法則」があります。
といふのであれば、
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、「ルカジェヴィッツによる公理(1)」があります。
といふことになる。
然るに、
(22)
背理法を絶対に認めない人たちの会
背理法ってありますよね。高校あたりで習ったような気がする。
Pでないと仮定する。そしたら、矛盾が生じた。
矛盾が生じたのは、Pでないと仮定したからだ。
なのでPである。
……いいんじゃないでしょうか。何が問題なんでしょうか?
ここで言っているのは、
"「Pではない」ではないならば、Pである"
つまり、否定を~で表すと「~~PならばP」だと言ってます。
……何か問題が?
けどこれ「二重否定の除去」といって、成り立つことが示せないんですよ。
(排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita)
然るに、
(23)
(a)P→Q├ ~P∨Q
1 (1) P→Q A
2 (2) ~(~P∨Q) A
3(3) ~P A
3(4) ~P∨Q 3∨I
23(5) ~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 24&I
2 (6) ~~P 35RAA(背理法)
2 (7) P 6DN(二重否定の除去)
12 (8) Q 17MPP
12 (9) ~P∨Q 8∨I
12 (ア) ~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 29&I
1 (イ)~~(~P∨Q) 2アRAA(背理法)
1 (ウ) ~P∨Q イDN(二重否定の除去)
(b)~P∨Q├ P→Q
1 (1) ~P∨ Q A
2 (2) P&~Q A
3 (3) ~P A
2 (4) P 2&E
23 (5) ~P& P 34&I
3 (6)~(P&~Q) 25RAA(背理法)
7 (7) Q A
2 (8) ~Q A
2 7 (9) Q&~Q 78&I
7 (ア)~(P&~Q) 29RAA(背理法)
1 (イ)~(P&~Q) 1367ア∨E
ウ (ウ) P A
エ(エ) ~Q A
ウエ(オ) P&~Q エオ&I
1 ウエ(カ)~(P&~Q)&
(P&~Q) イオ&I
1 ウ (キ) ~~Q 8カRAA(背理法)
1 ウ (ク) Q キDN(二重否定の除去)
1 (ケ) P→ Q ウクCP
(c)~P∨Q├ ~(P&~Q)
1 (1) ~P∨ Q A
2 (2) P&~Q A
3 (3) ~P A
2 (4) P 2&E
23 (5) ~P& P 34&I
3 (6)~(P&~Q) 25RAA(背理法)
7(7) Q A
2 (8) ~Q 2&E
2 7(9) Q&~Q 78&I
7(ア)~(P&~Q) 29RAA
1 (イ)~(P&~Q) 1367ア∨E
(d)~(P&~Q)├ ~P∨Q
1 (1) ~(P&~Q) A
2 (2) P A
3 (3) ~Q A
23 (4) P&~Q 23&I
123 (5) ~(P&~Q)&
(P&~Q) 14&I
12 (6) ~~Q 35RAA(背理法)
12 (7) Q 6DN(二重否定の除去)
1 (8) P→Q 27CP
9 (9) ~(~P∨Q) A
ア (ア) ~P A
ア (イ) ~P∨Q ア∨I
9ア (ウ) ~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 9イ&I
9 (エ) ~~P アウRAA(背理法)
9 (オ) P エDN(二重否定の除去)
1 9 (カ) Q 8オMPP
1 9 (キ) ~P∨Q カ∨I
1 9 (ク) ~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 9キ&I
1 (ケ)~~(~P∨Q) 9クRAA(背理法)
1 (コ) ~P∨Q ケDN(二重否定の除去)
従って、
(23)により、
(24)
(ⅰ) P→Q ⇔ ~P∨ Q
(ⅱ)~P∨Q ⇔ ~(P&~Q)
である。
従って、
(24)により、
(25)
(ⅰ) P→Q ⇔ ~P∨ Q
(ⅱ)~P∨Q ⇔ ~(P&~Q)
に於いて、
Q=P
といふ「代入(Substitution)」を行ふと、
(ⅰ) P→P ⇔ ~P∨ P
(ⅱ)~P∨P ⇔ ~(P&~P)
といふことなる。
従って、
(25)により、
(26)
「同一律」とは、「排中律」であって、
「排中律」とは、「矛盾律」である。
従って、
(22)(23)(26)により、
(27)
「背理法を絶対に、認めない人たちの会」の方たちは、
「二重否定の除去を認めない人たちの会」の会員であり、
「同一律・矛盾律を認めない人たちの会」の会員である。
といふ、ことになる。
(28)
排中律を否定したからといって、数学そのものがなくなるわけではありません。有限集合については排中律は依然として正しいので、「否定」というよりもむしろ「制限」というべきかもしれませんが、そのような仮定の下では、パラドックスが発生しないばかりか、数学の論証根拠はより堅固ものになるのです(吉永良正、ゲーデル・不完全定理、1992年、166頁)。
といふことなので、私自身は、「背理法・二重否定の除去」に関しては、これまで通り、「何らの疑問」を待たないままで、ゐることにする。