（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ Ａ
（２） Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（３） ～Ｐ∨Ｐ ２含意の定義
４ （４） ～Ｐ Ａ
４ （５） ～Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
４ （６） Ｐ→Ｑ ５含意の定義
４ （７）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ６∨Ｉ
８ （８） Ｐ Ａ
８ （９） ～～Ｐ ８ＤＮ
８ （ア）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ９∨Ｉ
（イ）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ３４７８ア∨Ｅ
（ウ） ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ） イ含意の定義
エ（エ） ～Ｐ＆ Ｐ Ａ
エ（オ） ～Ｐ エ＆Ｅ
エ（カ） Ｐ→Ｑ ウオＭＰＰ
エ（キ） Ｐ エ＆Ｅ
エ（ク） Ｑ カキＭＰＰ
（ケ）（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ エクＣＰ
といふ「計算」に於いて、「左側」に書かれた「数字と片仮名」は、「仮定」が行はれた際の、「その行」を表してゐる。
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）に於ける、「仮定」そのものを、「左側」に書くならば、
（ⅰ）は、
Ｐ （１） Ｐ Ａ
（２） Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（３） ～Ｐ∨Ｐ ２含意の定義
～Ｐ （４） ～Ｐ Ａ
～Ｐ （５） ～Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
～Ｐ （６） Ｐ→Ｑ ５含意の定義
～Ｐ （７）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ６∨Ｉ
Ｐ （８） Ｐ Ａ
Ｐ （９） ～～Ｐ ８ＤＮ
Ｐ （ア）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ９∨Ｉ
（イ）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ３４７８ア∨Ｅ
（ウ） ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ） イ含意の定義
～Ｐ＆Ｐ（エ） ～Ｐ＆ Ｐ Ａ
～Ｐ＆Ｐ（オ） ～Ｐ エ＆Ｅ
～Ｐ＆Ｐ（カ） Ｐ→Ｑ ウオＭＰＰ
～Ｐ＆Ｐ（キ） Ｐ エ＆Ｅ
～Ｐ＆Ｐ（ク） Ｑ カキＭＰＰ
（ケ）（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ エクＣＰ
といふ風に、書くことになる。
従って、
（02）により、
（03）
（２） Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（３） ～Ｐ∨Ｐ ２含意の定義
（イ）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ３４７８ア∨Ｅ
（ウ） ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ） イ含意の定義
（ケ）（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ エクＣＰ
とふいふ「５行」に関しては、「仮定」の数が「０個」である。
然るに、
（04）
「仮定」の数が「０個」である。
といふことは、「特定の仮定」に「依存」しなくとも「真」である。
といふことである。
然るに、
（05）
「特定の仮定」に「依存」しなくとも「真」である。
といふことは、「恒に真である」といふことである。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
（２） Ｐ→Ｐ（同一律）
（３）～Ｐ∨Ｐ（排中律）
（イ）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
（ウ） ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）
（ケ）（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ
といふこれらの「５つ式」は、５つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（07）
（ⅱ）
１ （１） Ｑ→ Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
３（３） Ｑ Ａ
１ ３（４） Ｐ １３ＭＰＰ
１２３（５） ～Ｐ＆Ｐ ２４＆Ｉ
１２ （６）～Ｑ ３５ＲＡＡ
１ （７）～Ｐ→～Ｑ ２６ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ→～Ｑ Ａ
２ （２） Ｑ Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
１ ３（４） ～Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｑ＆～Ｑ ２４＆Ｉ
１ ３（６）～～Ｐ ２ＲＡＡ
１ ３（７） Ｐ ６ＤＮ
１ （８） Ｑ→ Ｐ ２７ＣＰ
従って、
（07）により
（08）
② Ｑ→ Ｐ
③ ～Ｐ→～Ｑ
に於いて、すなはち、「対偶（Contraposition）」に於いて、
②＝③ である。
従って、
（08）により、
（09）
Ｐ≡太陽は西から、昇る。
～Ｐ≡太陽は西からは昇らない。
Ｑ≡バカボンのパパは天才である。
～Ｑ≡バカボンのパパは天才ではない。
であるとして、
① Ｑ→ Ｐ≡バカボンのパパが天才であるならば、太陽が西から昇る。
② ～Ｐ→～Ｑ≡太陽が西から昇らないならば、バカボンのパパは天才ではない。
といふ「仮言命題」に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（10）
「常識」として、
～Ｐ≡太陽は西から昇らない（東から昇る）。
然るに、
（11）
（ⅱ）
１ （１） Ｑ→Ｐ Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
１２（３）～Ｑ １２ＭＴＴ
従って、
（08）～（11）により、
（12）
② Ｑ→Ｐ≡バカボンのパパが天才であるならば、太陽が西から昇る。
といふ「言ひ方」は、
② ～Ｑ≡バカボンのパパは天才ではない。
といふ「言ひ方」に「等しい」。
然るに、
（13）
（ⅱ）
１ （１） Ｑ→Ｐ Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
１２（３）～Ｑ １２ＭＴＴ
に対して、
（ⅲ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２）～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１ （３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
４（４） ～Ｐ Ａ
１４（５）～Ｑ ３４ＭＴＴ
である。
然るに、
（02）（13）により、
（14）
（ⅱ）
１ （１） Ｑ→Ｐ Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
１２（３）～Ｑ １２ＭＴＴ
（ⅲ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２）～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１ （３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
４（４） ～Ｐ Ａ
１４（５）～Ｑ ３４ＭＴＴ
は、「仮定」そのものを、「左側」に書くならば、
（ⅱ）
Ｑ→Ｐ （１） Ｑ→Ｐ Ａ
～Ｐ（２） ～Ｐ Ａ
Ｑ→Ｐ，～Ｐ（３）～Ｑ １２ＭＴＴ
（ⅲ）
Ｐ （１） Ｐ Ａ
Ｐ （２）～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
Ｐ （３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
～Ｐ（４） ～Ｐ Ａ
Ｐ，～Ｐ（５）～Ｑ ３４ＭＴＴ
従って、
（14）により、
（15）
（ⅱ）Ｑ→Ｐ，～Ｐ（３）～Ｑ １２ＭＴＴ
（ⅲ） Ｐ，～Ｐ（５）～Ｑ ３４ＭＴＴ
は、それぞれ、「結論」としては、
② ～Ｑ≡バカボンのパパは天才ではない。
③ ～Ｑ≡バカボンのパパは天才ではない。
で「同じ」であっても、
② バカボンのパパが天才であるならば、太陽が西から昇る。然るに、太陽は西からは昇らない。故に、バカボンのパパは天才ではない。
③ 太陽は西から昇る。然るに、太陽は西からは昇らない。故に、バカボンのパパは天才ではない。
となるため、「論証」としては、「同じ」ではない。
然るに、
（16）
③ 太陽は西から昇り、尚且つ、太陽は西からは昇らない。
といふことは、「矛盾（Contradiction）」に他ならない。
然るに、
（17）
矛盾からは何でも証明できる
⊥（矛盾）がかかわる推論規則がもう一つあります。それは、という内容を持った推論規則で、その名も「矛盾」です。
（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１６４頁）
従って、
（16）（17）により、
（18）
（ⅱ）Ｐ，～Ｐ├ Ｑ
（ⅱ）太陽は西から昇る。然るに、太陽は西からは昇らない。故に、バカボンのパパは天才ではない。
といふ「連式（推論）」は、「健全（sound）」ではないが、「妥当（valid）」である。
然るに、
（06)(09)により、
（19）
③（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ
③（太陽が西から昇らず、尚且つ、太陽が西から昇る）ならば、バカボンのパパは天才である。
は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（20）
③（～Ｐ＆Ｐ）
③（太陽が西から昇らず、尚且つ、太陽が西から昇る）
といふ「矛盾」は、「恒に偽である」所の、「恒偽式（contradiction）」である。
然るに、
（21）
２ 推論の規則
論理式 Ａ と、論理式 Ａ→Ｂ が共に真ならば、論理式 Ｂ も真である。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７４頁）
然るに、
（19）（20）により、
（22）
③（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ
③（太陽が西から昇らず、尚且つ、太陽が西から昇る）ならば、バカボンのパパは天才である。
は「恒に真」であっても、
③（～Ｐ＆Ｐ）
③（太陽が西から昇らず、尚且つ、太陽が西から昇る）
は「恒に偽」であるため、
Ａ ≡（～Ｐ＆Ｐ）
Ａ→Ｂ≡（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ
であるとして、
論理式 Ａ と、
論理式 Ａ→Ｂ が共に真なる。
といふことは、「絶対に無い」。
従って、
（18）～（22）により、
（23）
（ⅱ）～Ｐ，Ｐ├ Ｑ
（ⅱ）太陽は西からは昇らない。然るに、太陽は西から昇る。故に、バカボンのパパは天才である。
といふ「連式（推論）」は、「妥当（valid）」であるが、だからと言って、この「推論」からは、
（ⅱ）バカボンのパパが天才である。
といふことには、ならない。
（01）
①「風邪を引いた」ので、「会社を休む」。
と言へるのであれば、
②「風邪を引いた」ならば「会社を休む」。
といふことが、言へなければならない。
従って、
（01）により、
（02）
①「Ｐである」ので、「Ｑである」。
と言へるのであれば、
②「Ｐである」ならば「Ｑである」。
といふことが、言へなければならない。
従って、
（02）により、
（03）
①「Ｐである」ので、「Ｐである」。
と言へるのであれば、
②「Ｐである」ならば「Ｐである」。
といふことが、言へなければならない。
然るに、
（04）
２９ Ｐ├ Ｐ
１（１）Ｐ Ａ
これ以上短い連式は証明できないし、またその証明は可能な最も短い証明である。
No shorter sequent than this can be proved, and its proof is the shortest possible proof.
（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学入門、４４頁と、原文）
然るに、
（05）
「・・・・・という仮定が与えられるならば、・・・・・と正しく結論することができる」という煩雑な表現の略記法があれば好都合であろう。このためわたしは、論理学の文献のなかでしばしば、しかし誤解を招きやすい仕方で、断定記号（assertion-sign）、
├
を導入する。これは「故に」（therefore）と読むのが便利であろう。
（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学入門、１６頁）
従って、
（04）（05）により、
（06）
① Ｐ├ Ｐ
といふ「連式（sequent）」は、
①「Ｐである」ので「Ｐである」。
といふ「意味」である。
然るに、
（07）
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
といふ「計算（calculus）」は、
① Ｐ├ Ｐ
② ├ Ｐ→Ｐ
といふ「連式（sequents）」に、相当する。
然るに、
（08）
② ├ Ｐ→Ｐ
といふ「連式」は、
②「Ｐである」ならば「Ｐである」。
といふ「意味」である。
従って、
（03）（07）（08）により、
（09）
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
といふ「計算」は、
①「Ｐである」ので、「Ｐである」。
と言へるのであれば、
②「Ｐである」ならば「Ｐである」。
といふことが、言へなければならない。
といふことを、示してゐる。
然るに、
（10）
（ⅱ）Ｐ→Ｐ├ ～Ｐ∨Ｐ
１ （１） Ｐ→Ｐ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｐ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｐ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｐ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｐ イＤＮ
（ⅲ）～Ｐ∨Ｐ├ Ｐ→Ｐ
１ （１） ～Ｐ∨ Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｐ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｐ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｐ Ａ
２ （８） ～Ｐ Ａ
２ ７ （９） Ｐ＆～Ｐ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｐ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｐ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｐ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｐ）＆
（Ｐ＆～Ｐ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｐ ７カＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｐ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｐ ウクＣＰ
従って、
（10）により、
（11）
② Ｐ→Ｐ
③ ～Ｐ∨Ｐ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
といふ「計算」は、「途中」を「省略」して、
１（１） Ｐ Ａ
（２） Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（３）～Ｐ∨Ｐ ２含意の定義
といふ風に、書くこと出来る。
然るに、
（13）
１（１） Ｐ Ａ
（２） Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（３）～Ｐ∨Ｐ ２含意の定義
といふ「計算」は、
① Ｐ├ Ｐ
② ├ Ｐ→Ｐ（同一律）
③ ├ ～Ｐ∨Ｐ（排中律）
といふ「連式」に相当する。
然るに、
（14）
③ ├ ～Ｐ∨Ｐ（排中律）
といふ「連式」は、
③ Ｐでないか、または、Ｐである。
といふ、「意味」である。
然るに、
（15）
（３）～Ｐ∨Ｐ
であるならば、
（３）～真∨真 であるか、
（〃）～偽∨偽 であるかの、いづれかである。
然るに、
（16）
（３）～真∨真
（〃）～偽∨偽
であれば、
（３） 偽∨真
（〃） 真∨偽
である。
然るに、
（17）
（３） 偽∨真
（〃） 真∨偽
は、「真理表（Truth table）」により、両方とも、「真」である。
従って、
（14）～（17）により、
（18）
② Ｐ→Ｐ すなはち、
③ ～Ｐ∨Ｐ は、
③ ～真∨真 であるか、あるいは、
③ ～偽∨偽 であるが、いづれにせよ、「真」である。
然るに、
（19）
② Ｐ→Ｐ すなはち、
③ ～Ｐ∨Ｐ は、
③ ～真∨真 であるか、あるいは、
③ ～偽∨偽 であるが、いづれにせよ、「真」である。
といふことは、
② ├ Ｐ→Ｐ（同一律）
③ ├ ～Ｐ∨Ｐ（排中律）
に於いて、 Ｐの「真偽」は、「未定」である。
といふことに、他ならない。
従って、
（06）（12）～（19）により、
（20）
① Ｐ├ Ｐ
② ├ Ｐ→Ｐ（同一律）
③ ├ ～Ｐ∨Ｐ（排中律）
に於いて、
① Ｐの「真」は、「確定」であって、
② Ｐの「真」は、「未定」であって、
③ Ｐの「真」は、「未定」である。
然るに、
（21）
１（１） Ｐ Ａ
（２） Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（３）～Ｐ∨Ｐ ２含意の定義
といふ「計算」が、仮に、
１（１） Ｐ Ａ
１（２） Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
１（３）～Ｐ∨Ｐ ２含意の定義
と書かれるとするならば、その場合は、
② Ｐの「真」は、「確定」であって、
③ Ｐの「真」は、「確定」である。
といふことを、示してゐる。
（22）
例へば、
（ⅲ）～Ｐ∨Ｐ├ Ｐ→Ｐ
１ （１） ～Ｐ∨ Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｐ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｐ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｐ Ａ
２ （８） ～Ｐ Ａ
２ ７ （９） Ｐ＆～Ｐ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｐ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｐ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｐ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｐ）＆
（Ｐ＆～Ｐ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｐ ７カＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｐ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｐ ウクＣＰ
といふ「計算」に於ける、
１ （１）
２ （２）
３ （３）
２ （４）
２３ （５）
３ （６）
７ （７）
２ （８）
２ ７ （９）
７ （ア）
１ （イ）
ウ （ウ）
エ（エ）
ウエ（オ）
１ ウエ（カ）
１ ウ （キ）
１ ウ （ク）
１ （ケ）
といふ「部分」は、
１ ウエ（カ）
であれば、 （〃）の「行」では、
１ （１） ～Ｐ∨ Ｐ Ａ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｐ Ａ
といふ「３つの仮定」が「真」である。といふことが、その時点に於いて、「確定」である。
といふことを、示してゐる。
従って、
（20）（21）（22）により、
（23）
（ⅰ）
① Ｐ├ Ｐ
② ├ Ｐ→Ｐ（同一律）
③ ├ ～Ｐ∨Ｐ（排中律）
に於いて、
① Ｐの「真」は、「確定」であって、「未定」ではなく、逆に、
② Ｐの「真」は、「未定」であって、「確定」ではなく、同じく、
③ Ｐの「真」は、「未定」であって、「確定」ではないのであれば、
といふのであれば、
１（１） Ｐ Ａ
（２） Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（３）～Ｐ∨Ｐ ２含意の定義
といふ「計算」を、
（１） Ｐ Ａ
１（２） Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
１（３）～Ｐ∨Ｐ ２含意の定義
といふ風に、書くことは、出来ない。
然るに、
（24）
困難さの第二の理由には、自然演繹には「仮定の解消」（最初に仮定しておいて、あとでなかったことにする）という手続きがあり、それがなかなか理解しづらいことです。自然演繹は、「仮定の解消」のおかげで公理なしに演繹システムになり得ており、その意味で「仮定の解消」は自然演繹の本質だと言っても過言ではありません（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１４４頁）。
従って、
（23）（24）により、
（25）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
といふ「計算」に於ける、「仮定の解消」とは、
① Ｐ├ Ｐ
② ├ Ｐ→Ｐ（同一律）
に於いて、
① Ｐの「真」は、「確定」であって、「未定」ではなく、逆に、
② Ｐの「真」は、「未定」であって、「確定」ではないからである。
といふ風に、「説明」することが出来る。
従って、
（03）（25）により、
（26）
①「Ｐである」ので、「Ｐである」。
と言へるのであれば、
②「Ｐである」ならば「Ｐである」。
といふことが、言へなければならない。
といふことと、
① Ｐ├ Ｐ
② ├ Ｐ→Ｐ（同一律）
に於いて、
① Ｐの「真」は、「確定」であって、「未定」ではなく、逆に、
② Ｐの「真」は、「未定」であって、「確定」ではない。
といふことによって、
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
といふ「計算」に於ける、「仮定の解消」を、「説明」することが出来る。
然るに、
（27）
① 未然形
（ｃ）
「ば」に続いて「仮定条件」を表す。
＊未然―「未だ然からず」、すなわち「まだ、そうなっていない」の意である。
⑤ 已然形
（ａ）「ば」「ども」に続いて「確定条件」を表す。
＊已然―前の「未然」の反対で、「已に然り」、すなわち、「すでにそうなっている」の意である。
（中村菊一、基礎からわかる古典文法、1978年、２３・２４頁）
従って、
（26）（27）により、
（28）
①「Ｐである」ので、「Ｐである」。
と言へるのであれば、
②「Ｐである」ならば「Ｐである」。
といふことが、言へなければならない。
といふことは、「古文」で言ふと、
① Ｐなれ（已然形）ば、Ｐなり。
と言へるのであれば、
② Ｐなら（未然形）ば、Ｐなり。
といふことが、言へなければならない。
といふことに、相当する。
従って、
（26）（27）（28）により、
（29）
① Ｐ├ Ｐ
② ├ Ｐ→Ｐ（同一律）
といふ「連式」は、
① Ｐなれ（已然形）ば、Ｐなり。
② Ｐなら（未然形）ば、Ｐなり。
といふ「日本語」に、相当する。