（01）
パースの法則：（（Ａ→Ｂ）→Ａ）→Ａ
直観主義論理NJに、パースの法則を公理図式として加えると古典論理になるという話を聞いたので少し考えた。たしかに、（（Ａ→⊥）→Ａ）→Ａ を前提することで、（（Ａ→⊥）→⊥）→Ａ が導出できるっぽい。つまり、二重否定除去が導出できるから、これで古典になる。
（パースの法則 - Skinerrian's blog）
然るに、
（02）
私の論理学のレベルは、「直観主義論理NJに、パースの法則を公理図式として加えると古典論理になる。」といふことを考へるまでには、至っていません。
然るに、
（03）
４４├ ～Ｐ∨Ｐ
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １７＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、６６頁改）
然るに、
（04）
系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１４頁）
従って、
（03）（04）により、
（05）
①├ ～Ｐ∨Ｐ
といふ「排中律」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（06）
（１） ～Ｐ∨Ｐ ＴＩ（排中律）
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
２ （５） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ ２４＆Ｉ
２ （６）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ５ド・モルガンの法則
７ （７） （Ｐ→Ｑ）→ Ｐ Ａ
７ （８） ～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ ７含意の定義
２７ （９）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ）＆
（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ６８＆Ｉ
２ （ア） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ） ７９ＲＡＡ
２ （イ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ア∨Ｉ
ウ（ウ） Ｐ Ａ
ウ（エ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ウ∨Ｉ
（オ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ １２イウエ∨Ｅ
（カ） （（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ オ含意の定義
従って、
（05）（06）により、
（07）
①├ ～Ｐ∨Ｐ
②├ （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
① が「恒真式（トートロジー）」であるが故に、
② も「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（01）（07）により、
（08）
①「排中律」 が「恒真式（トートロジー）」であるが故に、
②「パースの法則」も「恒真式（トートロジー）」である。
といふ、ことになる。
然るに、
（09）
古典論理（こてんろんり, 英: classical logic）は形式論理の部類で、最も研究され最も広く使われている論理である。標準論理（英: standard logic）とも呼ばれる（ウィキペディア）。
従って、
（10）
私が知ってゐる「論理学（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳）」は、「古典論理（標準論理）」であるに、違ひない。
従って、
（06）（10）により、
（11）
②├ （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡（（ＰであるならばＱである）ならばＰである）ならばＰである。
といふ「定理（Theorem）」である所の「パースの法則」は、「古典論理（標準論理）」に属してゐる。
（12）
＞直観主義論理NJに、パースの法則を公理図式として加えると古典論理になる。
といふことは、
古典論理から、パースの法則を公理図式から除くと、直観主義論理NJになる。
といふ、「意味」なのだろうか（？）。
（13）
「命題計算」は、多分、「詰将棋」に似てゐます。
（１） ～Ｐ∨Ｐ ＴＩ（排中律）
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
２ （５） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ ２４＆Ｉ
といふ「５手」に、気付くことが出来れば、後は、
２ （６）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ５ド・モルガンの法則
７ （７） （Ｐ→Ｑ）→ Ｐ Ａ
７ （８） ～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ ７含意の定義
２７ （９）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ）＆
（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ６８＆Ｉ
２ （ア） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ） ７９ＲＡＡ
２ （イ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ア∨Ｉ
ウ（ウ） Ｐ Ａ
ウ（エ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ウ∨Ｉ
（オ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ １２イウエ∨Ｅ
（カ） （（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ オ含意の定義
といふ「やり方」が、「見えて来ます」。
（01）
［公理］
ルカジェヴィッツによる公理
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
これはフレーゲが提出した６つの公理を簡単にしたものである。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） ～Ｑ＆～Ｐ Ａ
４ （４） Ｑ Ａ
３ （５） ～Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｑ＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～Ｑ＆～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（～Ｑ＆～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｑ Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） ～Ｑ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（～Ｑ＆～Ｐ）＆
（～Ｑ＆～Ｐ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） ～Ｑ→Ｐ エケＣＰ
（サ）Ｐ→（～Ｑ→Ｐ） １コＣＰ
然るに、
（03）
（ⅰ）に於いて。
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
（ⅱ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） ～～Ｑ＆ ～Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） ～～Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆～～Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～～Ｑ＆ ～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｐ＆ ～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～～Ｑ＆ ～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（～～Ｑ＆ ～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～～Ｑ Ａ
オ （オ） ～Ｐ Ａ
エオ （カ） ～～Ｑ＆ ～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ （キ）～（～～Ｑ＆ ～Ｐ）＆
（～～Ｑ＆ ～Ｐ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） ～～Ｑ→ Ｐ エケＣＰ
（サ）Ｐ→（～～Ｑ→ Ｐ） １コＣＰ
シ （シ）Ｐ Ａ
シ （ス） ～～Ｑ→ Ｐ サシＭＰＰ
セ（ソ） Ｑ Ａ
セ（セ） ～～Ｑ ソＤＮ
シセ（ソ） Ｐ スセＭＰＰ
シ （タ） Ｑ→ Ｐ セソＣＰ
（チ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） シタＣＰ
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① Ｐ→（～Ｑ→Ｐ）
② Ｐ→（ Ｑ→Ｐ）
に於いて、
② は、
① に於いて、
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行った、「結果」であり、
① は、
② に於いて、
～Ｑ＝Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行った、「結果」であり、
尚且つ、
② は、「ルカジェヴィッツの公理１」である。
然るに、
（05）
１ 代入の規則
一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
従って、
（04）（05）により、
（06）
① Ｐ→（～Ｑ→Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱでないならばＰである）。
② Ｐ→（ Ｑ→Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
に於いて、
② は「恒真式（トートロジー）」であって、
① も「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（06）により、
（07）
（１）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
といふ「ルカジェヴィッツの公理１」は、要するに、
（１）Ｐであるならば（Ｑであろうと、Ｑでなかろうと、いづれにせよ、Ｐである）。
といふ「意味」である。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） ～Ｑ＆～Ｐ Ａ
４ （４） Ｑ Ａ
３ （５） ～Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｑ＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～Ｑ＆～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（～Ｑ＆～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｑ Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） ～Ｑ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（～Ｑ＆～Ｐ）＆
（～Ｑ＆～Ｐ） ウカ＆Ｉ
は、次（09）のやうに、「続ける」ことが出来る。
（09）
１ オ（ク） ～～Ｑ エキＲＡＡ
１ オ（ケ） Ｑ クＤＮ
１ （コ） ～Ｐ→Ｑ オケＣＰ
（サ）Ｐ→（～Ｐ→Ｑ） １コＣＰ
然るに、
（10）
系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１４頁）
従って、
（06）（08）（09）（10）により、
（11）
① Ｐ→（～Ｑ→Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱでないならばＰである）。
② Ｐ→（ Ｑ→Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
だけでなく、
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｑ）≡Ｐであるならば（ＰでないならばＱである）。
であっても、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（12）
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｑ）
が「偽」であるならば、
③ 真→（～Ｐ→Ｑ）
である。
（13）
③ 真→（～Ｐ→Ｑ）
であるならば、
③ 真→（～真→Ｑ）
である。
（14）
③ 真→（～真→Ｑ）
であるならば、
③ 真→（ 偽→Ｑ）
である。
然るに、
（15）
③ 真→（ 偽→Ｑ）
であるならば、
③ 真→（ 偽→真）
であっても、
③ 真→（ 偽→偽）
であっても、いづれにせよ、「真」である。
従って、
（12）～（15）により、
（16）
③ Ｐ→（～Ｐ→ Ｑ）
といふ「式」は、「偽」にはなれないし、同様に、
④ Ｐ→（～Ｐ→～Ｑ）
といふ「式」も、「偽」にはなれない。
ｃｆ.
③ 真→（ 偽→ Ｑ）
④ 真→（ 偽→～Ｑ）
は、両方とも、「Ｑの真・偽」に拘らず、「恒に、真」である。
従って、
（11）（16）により、
（17）
③ Ｐ→（～Ｐ→ Ｑ）≡Ｐであるならば（ＰでないならばＱである）。
④ Ｐ→（～Ｐ→～Ｑ）≡Ｐであるならば（ＰでないならばＱでない）。
といふ「式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（18）
（ａ）Ｐ→Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑ
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ｂ）～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ Ａ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ ８カＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（18）により、
（19）
（ａ） Ｐ→Ｑ
（ｂ）～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
（ａ）＝（ｂ）であって、この「等式」を「含意の定義」といふ。
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
（ⅲ）
１ （１）Ｐ→（～Ｐ→Ｑ） Ａ
２ （２）Ｐ Ａ
１２ （３） ～Ｐ→Ｑ １２ＭＰＰ
１２ （４） ～～Ｐ∨Ｑ ３含意の定義
５ （５） ～～Ｐ Ａ
５ （６） Ｐ ５ＤＮ
５ （７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） Ｐ∨Ｑ ４５７８９∨Ｉ
１ （イ） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ２アＣＰ
１ （ウ）～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ） イ含意の定義
１ （エ）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ 結合法則
（ⅳ）
１ （１）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ Ａ
１ （２）～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ） １結合法則
１ （３） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ２含意の定義
４ （４） Ｐ Ａ
１４ （５） Ｐ∨Ｑ ３４ＭＰＰ
６ （６） Ｐ Ａ
６ （７） ～～Ｐ ６ＤＮ
６ （８） ～～Ｐ∨Ｑ ７∨Ｉ
９（９） Ｑ Ａ
９（ア） ～～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１４ （イ） ～～Ｐ∨Ｑ ４６８９ア∨Ｅ
１４ （ウ） ～Ｐ→Ｑ イ含意の定義
１ （エ）Ｐ→（～Ｐ→Ｑ） ４ウＣＰ
従って、
（20）により、
（21）
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｑ）
④（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（22）
（ⅳ）
１（１）～Ｐ∨Ｐ Ａ
１（２） Ｐ→Ｐ １含意の定義
（ⅴ）
１（１） Ｐ→Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｐ １含意の定義
従って、
（21）（22）により、
（23）
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｑ）
④（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
⑤ （Ｐ→Ｐ）∨Ｑ
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
従って、
（23）により、
（24）
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｑ）
④（排中律）∨Ｑ
⑤（同一律）∨Ｑ
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
従って、
（24）により、
（25）
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｑ）
④（恒真式）∨Ｑ
⑤（恒真式）∨Ｑ
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
然るに、
（26）
④（恒真式）∨Ｑ
⑤（恒真式）∨Ｑ
に於いて、
④ は、「恒真式」であって、
⑤ は、「恒真式」である。
従って、
（26）により、
（27）
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｑ）≡Ｐであるならば（ＰでないならばＱである）。
④ 恒真式
⑤ 恒真式
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
従って、
（11）（17）（27）により、
（28）
① Ｐ→（～Ｑ→ Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱでないならばＰである）。
② Ｐ→（ Ｑ→ Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
③ Ｐ→（～Ｐ→ Ｑ）≡Ｐであるならば（ＰでないならばＱである）。
④ Ｐ→（～Ｐ→～Ｑ）≡Ｐであるならば（ＰでないならばＱでない）。
といふ「４通り」は、全て、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（29）
（ｃ）
１ （１）～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
６（６） Ｑ Ａ
６（７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
１ ６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １６＆Ｉ
１ （９） ～Ｑ ６８ＲＡＡ
１ （ア）～Ｐ＆～Ｑ ５９＆Ｉ
（ｄ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
従って、
（29）により、
（30）
（ｃ）～（Ｐ∨ Ｑ）
（ｄ） ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
（ｃ）＝（ｄ）であって、この「等式」を「ド・モルガンの法則」といふ。
然るに、
（31）
（ⅳ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
４ （４） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
４ （５） Ｐ→Ｑ ４含意の定義
３４ （６） ～（Ｐ→Ｑ）＆
（Ｐ→Ｑ） ３５＆Ｉ
３ （７）～（～Ｐ∨Ｑ） ４６ＲＡＡ
３ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
３ （９） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ８∨Ｉ
ア（ア） Ｐ Ａ
ア（イ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ア∨Ｉ
１ （ウ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ２３９アイ∨Ｅ
（ⅴ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ→ Ｑ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨ Ｑ ３含意の定義
３ （５）～（Ｐ＆～Ｑ） ４ド・モルガンの法則
２３ （６） （Ｐ＆～Ｑ）＆
～（Ｐ＆～Ｑ） ２５＆Ｉ
２ （７） ～（Ｐ→Ｑ） ３６ＲＡＡ
２ （８） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ ７∨Ｉ
９（９） Ｐ Ａ
９（ア） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ ９∨Ｉ
１ （イ） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ １２８９ア∨Ｅ
１ （ウ） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ イ含意の定義
従って、
（31）により、
（32）
⑤（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ
⑥（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
に於いて、
⑤＝⑥ である。
然るに、
（33）
⑥（真＆～Ｑ）∨真
であれば、
⑥（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
は、「真」であるが、
⑥（偽＆～Ｑ）∨偽
であれば、
⑥（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
は、「偽」である。
従って、
（32）（33）により、
（34）
⑤（Ｐ→Ｑ）→Ｐ
といふ「式」は、「偽」であることもあるため、「恒真式（トートロジー）」ではない。
従って、
（28）（33）により、
（35）
① Ｐ→（～Ｑ→ Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱでないならばＰである）。
② Ｐ→（ Ｑ→ Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
③ Ｐ→（～Ｐ→ Ｑ）≡Ｐであるならば（ＰでないならばＱである）。
④ Ｐ→（～Ｐ→～Ｑ）≡Ｐであるならば（ＰでないならばＱでない）。
⑤ （Ｐ→Ｑ）→Ｐ ≡（ＰであるならばＱである）ならばＰである。
に於いて、
⑤ だけが、「恒真式（トートロジー）」ではない。
従って、
（01）（35）により、
（36）
② Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
⑤（ＰであるならばＱである）ならばＰである。
に於いて、
② は、「ルカジェヴィッツの公理１」であって、「恒真式（トートロジー）」であるが、
⑤ は、「ルカジェヴィッツの公理１」ではなく、「恒真式（トートロジー）」ではない。
といふことに、なる。
従って、
（36）により、
② Ｐであるならば、ＱであるならばＰである。
⑤ ＰであるならばＱである、ならばＰである。
に於いて、
②＝⑤ ではない。
といふ、ことになる。