（01）
① Ｐならば、Ｑである。
② ＰでないかＱである。
に於いて、
①＝② である。
といふこと（含意の定義）を、「日本語」で示したい。
（02）
① Ｐならば、Ｑである。
② ＰでないかＱである。
ではなく、
① Ｐならば、Ｑである。
② ＰでないかＱである。といふことはない。
に於いて、
①＝② であると、「仮定」する。
然るに、
（03）
② ＰでないかＱである。といふことはない。
といふことは、
③ Ｐでない。ではないし、
④ Ｑである。でもない。
といふことである。
ｃｆ.
「ド・モルガンの法則」が「正しい」のであれば、さうである。
然るに、
（04）
③ Ｐでない。ではないし、
④ Ｑである。でもない。
といふことは、
③ Ｐである。
④ Ｑでない。
といふことである。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
① Ｐならば、Ｑである。
② ＰでないかＱである。といふことはない。
に於いて、
①＝② であると、「仮定」すると、
① Ｐならば、Ｑである。
③ Ｐである。
④ Ｑでない。
といふ、ことになる。
然るに、
（06）
① Ｐならば、Ｑである。
③ Ｐである。
④ Ｑでない。
といふことは、
① Ｐならば、Ｑである。が、
③ ＰであってＱでない。
といふ、ことである。
然るに、
（07）
① Ｐならば、Ｑである。が、
③ ＰであってＱでない。
といふのであれば、「矛盾」する。
従って、
（02）～（07）により、
（08）
「背理法（ＲＡＡ）」により、
① Ｐならば、Ｑである。
② ＰでないかＱである。といふことはない。
に於いて、
①＝② ではなく、
①≠② である。
従って、
（08）により、
（09）
「二重否定（ＤＮ）」により、
① Ｐならば、Ｑである。
② ＰでないかＱである。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（10）
「記号」で書くと、
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
① Ｐ→Ｐ≡Ｐならば、Ｐである。
② ～Ｐ∨Ｐ≡ＰでないかＰである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（12）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ Ａ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ ７カＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（12）により、
（13）
① Ｐ→Ｐ≡Ｐならば、Ｐである。
② ～Ｐ∨Ｐ≡ＰでないかＰである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（14）
命題計算の規則は、本質的にゲンツェン（G.Gentzen）に由来するものである。
（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学入門、序ⅲ）
（15）
論理の演繹システムは、おおまかにいって、３種類あります。１つ目は、数学者ヒルベルトの提出したもの、２つ目は、数学者ゲンツェンの提出したシークエント計算、３つ目は、同じくゲンツェンが提出した自然演繹です（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１３６頁）。
従って、
（01）～（15）により、
（16）
「日本語」で考へても、「自然演繹」で計算しても、
① Ｐ→Ｐ≡Ｐならば、Ｐである。
② ～Ｐ∨Ｐ≡ＰでないかＰである。
に於いて、
①＝② であるし、「自然演繹」に慣れてゐる私にとっては、「自然演繹（命題計算）」は、「日本語で、論理的に考へること」と、「同じくらひの、分かり易さ」である。
然るに、
（17）
「ならば」の推論規則
最初に→（ならば）の推論規則を説明します。実は、この→（ならば）の推論規則が、自然演繹の中で最も特徴的な規則であり、それゆえ難しいものです。したがって、この最難関を最初にもってくることにしました。ここを乗り越えれば。他の論理記号の推論規則の理解は多少楽になると思います（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１４６頁）。
従って、
（17）により、
（18）
小島先生の言によれば、「自然演繹（Natural deduction）」と言へども、それなりに、「不自然（unnatural）」である。といふ、ことになる。
（19）
この規則（選言導入）は、推論の中で意識されることがおおよそないといえます。「彼女は背が高い」という主張をＰとしましょう。すると、このＰから「彼女は背が高い または 彼女は美人だ」が導けます。この場合、主張Ｑは「彼女は美人だ」に対応しています。しかし、「彼女は背が高い」がわかっているのに、わざわざ、「彼女は背が高い または 彼女は美人だ」とつなげる場面は普通の会話ではあまりないでしょう。数学の証明でも、これが使われる場面はほとんど見かけないような気がします。しかし、あとで解説しますが、この推論規則は、他の大事な規則を導く礎になります（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１５６頁）。
然るに、
（20）
（ａ）
１ （１） Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） Ａ
１ （２） Ｐ １＆Ｅ
１ （３） Ｑ∨Ｒ １＆Ｅ
４ （４） Ｑ Ａ
１４ （５） Ｐ＆Ｑ ２４＆Ｉ
１４ （６）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） ５∨Ｉ
７（７） Ｒ Ａ
１ ７（８） Ｐ＆Ｒ ２７＆Ｉ
１ ７（９）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） ８∨Ｉ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） ３４６７９∨Ｅ
（ｂ）
１ （１）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） Ａ
２ （２）（Ｐ＆Ｑ） Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
２ （４） Ｑ ２＆Ｅ
２ （５） Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
２ （６） Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） ３５＆Ｉ
７（７） （Ｐ＆Ｒ） Ａ
７（８） Ｐ ７＆Ｅ
７（９） Ｒ ７＆Ｅ
７（ア） Ｑ∨Ｒ ９∨Ｉ
７（イ） Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） ８ア＆Ｉ
１ （ウ） Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） １２６７イＶＥ
従って、
（20）により、
（21）
例へば、高校生も知ってゐる「分配法則」も、「選言導入（∨Ｉ）」が無ければ、「証明」出来ない。
従って、
（19）（20）（21）により、
（22）
小島先生の言によれば、「選言導入（∨Ｉ）」が、数学の証明では、これが使われる場面はほとんど見かけないような気がします。
といふのであれば、数学者といへども、「定理」を「証明」する際には、「自然演繹（Natural deduction）」そのものを、用ひてゐるわけではない。
といふ風に、思はれる。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ Ａ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ ７カＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→Ｑ≡Ｐならば、Ｑである。
② ～Ｐ∨Ｑ≡ＰでないかＱである。
に於いて、
①＝② であるものの、この「等式」を「含意の定義」といふ。
従って、
（02）により、
（03）
「含意の定義」により、
① Ｐ→Ｐ≡Ｐならば、Ｐである。
② ～Ｐ∨Ｐ≡ＰでないかＰである。
に於いて、
①＝② である。
（04）
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１） ～（ Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
２３ （６） （～Ｐ∨ Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （７） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （８） Ｐ ７ＤＮ
９（９） Ｑ Ａ
９（ア） ～Ｐ∨ Ｑ ９∨Ｉ
２ ９（イ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２ア＆Ｉ
２ （ウ） ～Ｑ ９イＲＡＡ
２ （エ） Ｐ＆～Ｑ ８ウ＆Ｉ
１２ （オ） ～（ Ｐ＆～Ｑ）＆
（ Ｐ＆～Ｑ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （ク） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
従って、
（04）により、
（05）
② ～Ｐ∨ Ｑ ≡ＰでないかＱである。
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）≡ＰであってＱでない、といふことはない。
に於いて、
②＝③ であるものの、この「等式」を「ド・モルガンの法則」といふ。
従って、
（05）により、
（06）
「ド・モルガンの法則」により、
② ～Ｐ∨ Ｐ ≡ＰでないかＰである。
③ ～（Ｐ＆～Ｐ）≡ＰであってＰでない、といふことはない。
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（03）（06）により、
（07）
① Ｐ→ Ｐ ≡Ｐならば、Ｐである。
② ～Ｐ∨ Ｐ ≡ＰでないかＰである。
③ ～（Ｐ＆～Ｐ）≡ＰであってＰでない、といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（07）により
（08）
① Ｐ→ Ｐ ≡同一律（Principle of identity）。
② ～Ｐ∨ Ｐ ≡排中律（Principle of excluded middle）。
③ ～（Ｐ＆～Ｐ）≡矛盾律（Principle of contradiction）。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １７＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
（ⅲ）
１（１） Ｐ＆～Ｐ Ａ
（２）～（Ｐ＆～Ｐ） １１ＲＡＡ
然るに、
（10）
仮定の規則（Ａ）
第一に導入されるべき導出規則は仮定の規則（Rule of asuumption）であり、これをＡと名づける。この規則は、論証の任意の段階において、論証の仮定として選ばれた命題を導入することを許す。われわれはたんにその命題をひとつの新しい行として記入し、その右側に「Ａ」と書き、その左側にはその命題自身の番号を記して、それが仮定としてそれ自体に依存することを示す。
（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学入門、１３頁）
従って、
（10）により、
（11）
１（１）Ｐ Ａ
といふことは、
仮定１により、（１）Ｐである。 と仮定する。
といふことである。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
（２） Ｐ→ Ｐ １１ＣＰ
（ア） ～Ｐ∨ Ｐ ９ＤＮ
（２）～（Ｐ＆～Ｐ） １１ＲＡＡ
には、「仮定」が「無い」。
従って、
（12）により、
（13）
（２） Ｐ→ Ｐ
（９） ～Ｐ∨ Ｐ
（２）～（Ｐ＆～Ｐ）
は、「仮定に依らず、真（本当）である。」
然るに、
（14）
「仮定に依らずとも、真（本当）である。」といふことは、
「いつでも、どこでも、恒に、真である。」といふことである。
従って、
（08）（13）（14）により、
（15）
① Ｐ→ Ｐ ≡同一律（Principle of identity）。
② ～Ｐ∨ Ｐ ≡排中律（Principle of excluded middle）。
③ ～（Ｐ＆～Ｐ）≡矛盾律（Principle of contradiction）。
に於いて、
①＝②＝③ であって、尚且つ、
これらの「３通り」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（01）～（15）により、
（16）
① 同一律（Principle of identity）。
② 排中律（Principle of excluded middle）。
③ 矛盾律（Principle of contradiction）。
は、３つとも、「自然演繹の規則」によって、「演繹」されるため、所謂、「公理（axioms）」ではない。
従って、
（16）により、
（17）
普通に考えると、素朴な恒真式（トートロジー）である、
Ｐ→Ｐ（ＰならばＰである）
とか、あるいは、
Ｐ∨～Ｐ（Ｐであるか、またはＰでない）
などをいつでも使える出発点（公理）として準備したほうがいいのではないか、と思うでしょう。しかし、そんな必要はないのです。なぜなら、どちらの恒真式も自然演繹で演繹できてしまうからなのです（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１４０頁）。
といふ、ことになる。
従って、
（18）
「自然演繹」の場合は、「規則（Rules）」が有って、「公理（axioms）」が無い。