（01）
「乗法（連言）の交換法則」により、
①（Ｐであって、Ｑでない。）
②（Ｑでなくて、Ｐである。）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐであって、Ｑでない。）といふことはない。
②（Ｑでなくて、Ｐである。）といふことはない。
に於いても、
①＝② である。
然るに、
（03）
①（Ｐであって、Ｑでない。）といふことはない。
②（Ｑでなくて、Ｐである。）といふことはない。
といふことは、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふことに、他ならない。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
①（Ｐであって、Ｑでない。）といふことはない。
②（Ｑでなくて、Ｐである。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。が故に、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
に於いても、
①＝② であるものの、この「論証」を、「素朴・対偶論」とする。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
「素朴・対偶論」の「妥当性」は、
「乗法（連言）の交換法則」の「妥当性」に由来する。
然るに、
（06）
「乗法（連言）の交換法則」ではなく、
「加法（選言）の交換法則」により、
①（Ｐであるか、Ｑである。）
②（Ｑであるか、Ｐである。）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
① Ｐであるか、Ｑである。然るに、Ｐでない。故に、Ｑである。
② Ｑであるか、Ｐである。然るに、Ｑでない。故に、Ｐである。
といふ「選言三段論法（消去法）」は、「妥当」である。
然るに、
（08）
① Ｐでない。故に、Ｑである。
② Ｑでない。故に、Ｐである。
といふことは、
③ Ｐでないならば、Ｑである。
④ Ｑでないならば、Ｐである。
といふことを、「前提」とする。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
① Ｐであるか、Ｑである。
② Ｑであるか、Ｐである。
といふ「選言命題」は、「順番」に、
③ Ｐでないならば、Ｑである。
④ Ｑでないならば、Ｐである。
といふ「仮言命題」に、「等しい」。
従って、
（09）により、
（10）
「記号」で書くと、
① Ｐ∨Ｑ
② Ｑ∨Ｐ
といふ「選言命題」は、「順番」に、
③ ～Ｐ→Ｑ
④ ～Ｑ→Ｐ
といふ「仮言命題」に、「等しい」。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） ～Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） ～Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ６オ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ ウＲＡＡ
１ ウ （ケ） Ｑ キＤＮ
１ （コ） ～Ｐ→ Ｑ ウケＣＰ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １４＆Ｉ
２ （５） ～Ｐ ３ＲＡＡ
１２ （６） Ｑ １５ＭＰＰ
１２ （７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
１２ （８） ～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） ２７＆Ｉ
１ （９）～～（Ｐ∨Ｑ） ２８＆ＲＡＡ
１ （ア） Ｐ∨Ｑ ９ＤＮ
従って、
（11）により、
（12）
「命題計算（Propositional calculus）」の結果も、
① Ｐ∨Ｑ
③ ～Ｐ→Ｑ
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（12）により、
（13）
① Ｐ∨Ｑ
③ ～Ｐ→Ｑ
に於いて、
Ｐ＝Ｑ
Ｑ＝Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
② Ｑ∨Ｐ
④ ～Ｑ→Ｐ
に於いて、
②＝④ である。
ｃｆ.
（Ｓ１）証明された定理の任意の代入例に対して、証明が見出され得る。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、６９頁）
然るに、
（14）
「加法（選言）の交換法則」により、
① Ｐ∨Ｑ
② Ｑ∨Ｐ
に於いて、
①＝② である。
ｃｆ.
（ⅰ）
１ （１）Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２）Ｐ Ａ
２ （３）Ｑ∨Ｐ ２∨Ｉ
３（４） Ｑ Ａ
３（５）Ｑ∨Ｐ ４∨Ｉ
１ （６）Ｑ∨Ｐ １２３４５∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）Ｑ∨Ｐ Ａ
２ （２）Ｑ Ａ
２ （３）Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
３（４） Ｐ Ａ
３（５）Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
１ （６）Ｐ∨Ｑ １２３４５∨Ｅ
従って、
（13）（14）により、
（15）
① Ｐ∨Ｑ
② Ｑ∨Ｐ
③ ～Ｐ→Ｑ
④ ～Ｑ→Ｐ
に於いて、
①＝② であって、
①＝③ であって、
②＝④ である。
従って、
（15）により、
（16）
③ ～Ｐ→Ｑ
④ ～Ｑ→Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（16）により、
（17）
③ ～Ｐ→Ｑ
④ ～Ｑ→Ｐ
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～～Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（17）により、
（18）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（18）により、
（19）
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③ ～Ｐ→ ～Ｑ
④ ～～Ｑ→～～Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（19）により、
（20）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
③ ～Ｐ→～Ｑ
④ Ｑ→ Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（18）（19）（20）により、
（21）
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
③ ～Ｐ→～Ｑ
④ Ｑ→ Ｐ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（22）
Ｐ＝～Ｐ
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふ。といふことは、
言はば、『裁判の途中で、証人が、自分の証言を、自分で否定してゐる場合』に、「譬へ」ることが出来る。
従って、
（19）（21）（22）により、
（23）
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
③ ～Ｐ→～Ｑ
④ Ｑ→ Ｐ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であるが、
①＝③ ではないし、
②＝④ でもない。
従って、
（24）
「日本語」で言ふならば、
① Ｐであるならば、Ｑである。
② Ｑでないならば、Ｐでない。
③ Ｐでないならば、Ｑでない。
④ Ｑであるならば、Ｐである。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であるが、
①＝③ ではないし、
②＝④ でもない。
従って、
（25）
「論理学の用語」で言ふと、
①「順」
②「対偶」
③「裏」
④「逆」
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であるが、
①＝③ ではないし、
②＝④ でもない。
従って、
（01）～（25）により、
（26）
論理学で「ある命題が真であるとすると、対偶は真であるが、逆と裏は必ずしも真ではない」とされています（弁護士と理数系の知識 - 西野法律事務所）。
といふことに、付け加へて、言ふならば、「逆と裏」の関係も、「対偶」である。といふ、ことになる。