（01）
パースの法則
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）
然るに、
（02）
（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→ Ｐ
（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ
といふことは、
① ＰならばＱ を「仮定」し、その上、
② Ｐ を「仮定」するならば、
③ Ｐ を「演繹」出来る。
といふ「意味」である。
然るに、
（03）
［規則］
２ 推論の規則
論理式「Ｐ」と「Ｐ→Ｑ」が共に真ならば、論理式「Ｑ」も真である。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３・４頁）
然るに、
（04）
論理式「Ｐ」と「Ｐ→Ｑ」が共に真ならば、論理式「Ｑ」も真である。
といふことは、
② Ｐ を「仮定」し、その上、
① ＰならばＱ を「仮定」するならば、
③ Ｑ を「演繹」出来る。
といふ「意味」である。
然るに、
（05）
② Ｐ を「仮定」し、その上、
① ＰならばＱ を「仮定」するならば、
③ Ｑ を「演繹」出来る。
といふことは、
① ＰならばＱ を「仮定」し、その上、
② Ｐ を「仮定」するならば、
③ Ｑ を「演繹」出来る。
といふことである。
従って、
（02）～（04）により、
（06）
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
②（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＱ。
に於いて、
① は、「パースの法則」であって、
② は、「ラッセル・ホワイトヘッド、ヒルベルト・アッカーマン、ルカジェヴィッツ」が採用した「規則」である。
然るに、
（07）
① ＰならばＱ を「仮定」し、その上、
② Ｐ を「仮定」するならば、
③ Ｑ を「演繹」出来る。
といふ「規則」は、「少しも変」ではなく、むしろ、さうでない方が、「変」である。
従って、
（07）により、
（08）
① ＰならばＱ を「仮定」し、その上、
② Ｐ を「仮定」するならば、
③ Ｐと、 Ｑ も「演繹」出来る。
といふ「法則」も、「少しも変」ではなく、むしろ、さうでない方が、「変」である。
然るに、
（09）
① ＰならばＱ を「仮定」し、その上、
② Ｐ を「仮定」するならば、
③ Ｐと、 Ｑ も「演繹」出来るのであれば、もちろん、
④ Ｐ は「演繹」出来る。
従って、
（09）により、
（10）
そのやうに、
（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→ Ｐ
（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ
を「理解」する限り、
① パースの法則
は「思ったほど、変なもの」であるとは、言へない。
然るに、
（11）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が「真」である。といふことは、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
は「偽」ではない。
といふことである。
然るに、
（12）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が「偽」であるためには、必ず、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→偽
でなければ、ならない。
然るに、
（13）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→偽
であるためには、
①（（偽→Ｑ）→偽）→偽
でなければ、ならない。
然るに、
（14）
①（（偽→Ｑ）→偽）→偽
であれば、
①（（偽→真）→偽）→偽
であるか、
①（（偽→偽）→偽）→偽
である。
然るに、
（15）
①（（偽→真）→偽）→偽
①（（偽→偽）→偽）→偽
は、両方とも、
①（（真）→偽）→偽
であって、
①（（真）→偽）→偽
であれば、
① 偽→偽
である。
然るに、
（16）
① 偽→偽 は、
① ～偽∨偽 であって、
① ～偽∨偽 は、
① 真∨偽 であって、
① 真∨偽 は、
② 恒真（恒に真）である。
従って、
（11）～（16）により、
（17）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（18）
系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１４頁）
然るに、
（19）
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １７＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
従って、
（18）（19）により、
（20）
② ～Ｐ∨Ｐ
といふ「排中律」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（21）
１ 代入の規則
一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
従って、
（20）（21）により、
（22）
② ～Ｐ∨Ｐ
といふ「排中律」は「恒真式（トートロジー）」であり、その「代入例」である、
③ ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
といふ「排中律」も「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（23）
パースの法則（パースのほうそく）は哲学者であり論理学者であるチャールズ・サンダース・パースにちなむ論理学における法則である。彼の最初の命題論理の公理化において、この法則を公理に採用した。この公理は、含意と呼ばれるただひとつの結合子を持つ体系における排中律であると考えることもできる（ウィキペディア）。
従って、
（01）（22）（23）により、
（24）
③ ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
といふ「恒真式（トートロジー）」から、あるいは、
③ Ｐ
が、「演繹」出来るかも、知れない。
然るに、
（25）
（１） ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） 排中律（代入例）
２ （２） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
３ （４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
２３ （５） ～（Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→Ｑ） ＆Ｉ
２ （６）～（～Ｐ∨Ｑ） ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ＆～Ｑ ６ド・モルガンの法則
２ （８） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ７∨Ｉ
９ （９） （Ｐ→Ｑ） Ａ
９ （ア） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ９∨Ｉ
（イ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） １２８９ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ＆～Ｑ Ａ
ウ （エ） Ｐ ウ＆Ｅ
オ （オ） （Ｐ→Ｑ） Ａ
ウオ （カ） Ｑ エオＭＰＰ
ウオ （キ） ～Ｑ ウ＆Ｅ
ウオ （ク） ～Ｑ＆Ｑ カキ＆Ｉ
ウ （ケ） ～（Ｐ→Ｑ） オクＲＡＡ
コ（コ） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
コ（サ） Ｐ→Ｑ 含意の定義
ウ コ（シ） ～（Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→Ｑ） ケサ＆Ｉ
ウ （ス） ～（～Ｐ∨Ｑ） コシＲＡＡ
ウ （セ） Ｐ＆～Ｑ ス、ド・モルガンの法則
ウ （ソ） Ｐ セ＆Ｅ
（タ） Ｐ イウエオソ∨Ｅ
従って、
（24）（25）により、
（26）
③ ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
といふ「恒真式（トートロジー）」から、確かに、
③ Ｐ
が、「演繹」出来る。
然るに、
（27）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
１２ （３） Ｑ １２ＭＰＰ
１ （４） Ｐ→Ｑ ２３ＣＰ
（５） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４ＣＰ
（６） ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ５含意の定義（で、排中律の代入例）
従って、
（27）により、
（28）
① Ｐ→Ｑ
② Ｐ
から、
③ ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
が、「演繹」出来る。
従って、
（25）～（28）により、
（29）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
１２ （３） Ｑ １２ＭＰＰ
１ （４） Ｐ→Ｑ ２３ＣＰ
（５） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４ＣＰ
（６） ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ５含意の定義（で、排中律の代入例）
に対して、
７ （７） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
８ （８） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ→Ｑ ８含意の定義
７８ （ア） ～（Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→Ｑ） ７９＆Ｉ
７ （イ）～（～Ｐ∨Ｑ） ８アＲＡＡ
７ （ウ） Ｐ＆～Ｑ イ、ド・モルガンの法則
７ （エ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ウ∨Ｉ
オ （オ） （Ｐ→Ｑ） Ａ
オ （カ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） オ∨Ｉ
（キ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ６７エオカ∨Ｅ
ク （ク） Ｐ＆～Ｑ Ａ
ク （ケ） Ｐ ク＆Ｅ
コ （コ） （Ｐ→Ｑ） Ａ
クコ （サ） Ｑ ケコＭＰＰ
クコ （シ） ～Ｑ ク＆Ｅ
クコ （ス） ～Ｑ＆Ｑ サシ＆Ｉ
ク （セ） ～（Ｐ→Ｑ） コスＲＡＡ
ソ（ソ） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
ソ（タ） Ｐ→Ｑ ソ含意の定義
ク ソ（チ） ～（Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→Ｑ） セタ＆Ｉ
ク （ツ） ～（～Ｐ∨Ｑ） ソチＲＡＡ
ク （テ） Ｐ＆～Ｑ ツ、ド・モルガンの法則
ク （ト） Ｐ テ＆Ｅ
（ナ） Ｐ キクケコト∨Ｅ
を加へれば、以上のやうに、
① Ｐ→Ｑ
② Ｐ
から、
③ ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
が、「演繹」出来、
③ ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
からは、
③ Ｐ
が、「演繹」出来る。
従って、
（05）（06）（29）により、
（30）
① ＰならばＱ を「仮定」し、その上、
② Ｐ を「仮定」するならば、
③ Ｐ が「演繹」出来る。
といふこと、すなはち、
（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→ Ｐ
（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
といふこと、すなはち、「パースの法則」が、「証明」された。
ことになる。
然るに、
（31）
因みに、
（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→ Ｐ
（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
に対して、
Ｐ→ （Ｑ→ Ｐ）
Ｐならば（ＱならばＰ）。
は、「ルカジェビッツの公理（１）」であって、
Ｐ→ （Ｑ→ Ｐ）
Ｐならば（ＱならばＰ）。
の場合は、次（32）の通りである。
（32）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） Ｑ＆～Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（Ｑ＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｉ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（Ｑ＆～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（Ｑ＆～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） Ｑ Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） Ｑ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（Ｑ＆～Ｐ）
（Ｑ＆～Ｐ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オカＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） Ｑ→Ｐ エケＣＰ
（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １コＣＰ
然るに、
（33）
自然演繹論理のあるバージョンには、公理が存在しない。ジョン・レモンが開発した体系 L は、証明の構文規則に関する次のような１０個の基本的規則だけを持つ。
１.仮定の規則（Ａ）
２.肯定肯定式（ＭＰＰ）
３.否定否定式（ＭＴＴ）
４.二重否定律（ＤＮ）
５.条件的証明（ＣＰ）
６.＆-導入 （＆Ｉ）
７.＆-除去 （＆Ｅ）
８.∨-導入 （∨Ｉ）
９.∨-除去 （∨Ｅ）
10.背理法 （ＲＡＡ）
（ウィキペディア改）
従って、
（31）（32）（33）により、
（34）
Ｐ→ （Ｑ→ Ｐ）
Ｐならば（ＱならばＰ）。
といふ「ルカジェヴィッツの公理（１）」であれば、
１.仮定の規則（Ａ）
４.二重否定律（ＤＮ）
５.条件的証明（ＣＰ）
６.＆-導入 （＆Ｉ）
７.＆-除去 （＆Ｅ）
８.∨-導入 （∨Ｉ）
９.∨-除去 （∨Ｅ）
10.背理法 （ＲＡＡ）
といふ、「ジョン・レモンの規則」で、「証明」されることになる。
従って、
（35）
もちろん、「他の公理（Axioms）」も、「１０個の規則（Rules）」で、「証明」される。
然るに、
（01）（23）により、
（36）
パースは、彼の最初の命題論理の公理化において、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ法則を公理に採用した。
従って、
（34）（35）（36）により、
（37）
Ｐ→ （Ｑ→ Ｐ）
Ｐならば（ＱならばＰ）。
といふ「公理」は、「１０個の規則（Rules）」で「証明」出来るのに、その一方で、
（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→ Ｐ
（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
といふ「公理」は、「１０個の規則（Rules）」で「証明」出来ない。といふことは、有ってはならない。
といふ、ことになる。