（01）
① ～Ｐ∨Ｑ
①いふ「式」は、
①（～Ｐと、Ｑが、同時に、真である。）といふことは有っても、
①（～Ｐと、Ｑが、同時に、偽である。）といふことは無い。
といふ「意味」である。
従って、
（01）により、
（02）
① ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
② ～Ｐが「偽」であるならば、 Ｑは「偽」ではなく、「真」であり、
③ Ｑが「偽」であるならば、～Ｐが「偽」ではなく、「真」である。
然るに
（03）
② Ｐが「真」であるならば、～Ｐは「偽」であり、
③ ～Ｑが「真」であるならば、 Ｑが「偽」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
② Ｐが「真」であるならば、 Ｑが「真」であり、
③ ～Ｑが「真」であるならば、～Ｐが「真」である。
（05）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
といふ「式」は、
①（Ｐと、～Ｑが、同時に、偽である。）といふことは有っても、
①（Ｐと、～Ｑが、同時に、真である。）といふことは無い。
といふ「意味」である。
従って、
（05）により、
（06）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
② Ｐが「真」であるならば、～Ｑは「真」ではなく、「偽」であり、
③ ～Ｑが「真」であるならば、 Ｐは「真」ではなく、「偽」である。
然るに、
（07）
② ～Ｑが「偽」であるならば、 Ｑが「真」であり、
③ Ｐが「偽」であるならば、～Ｐが「真」である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
② Ｐが「真」であるならば、 Ｑが「真」であり、
③ ～Ｑが「真」であるならば、～Ｐが「真」である。
従って、
（04）（08）により、
（09）
① ～Ｐ∨ Ｑ
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、両方とも、
② Ｐが「真」であるならば、 Ｑが「真」であり、
③ ～Ｑが「真」であるならば、～Ｐが「真」である。
然るに、
（10）
③ Ｐが「真」であるならば、 Ｑが「真」であり、
④ ～Ｑが「真」であるならば、～Ｐが「真」である。
といふことは、要するに、
③ Ｐであるならば、Ｑであり、
④ Ｑでないならば、Ｐでない。
といふ、ことである。
然るに、
（11）
③ Ｐであるならば、Ｑである。
④ Ｑでないならば、Ｐでない。
に於いて、両者は、「対偶（Contraposition）」であるため、
③＝④ である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
「番号」を付け直すと、
① Ｐ→ Ｑ ≡Ｐであるならば、Ｑである。
② ～Ｐ∨ Ｑ ≡Ｐでないか、 Ｑである。
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）≡Ｐであって、 Ｑでない。といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ であるが、特に、
②＝③ は、「ド・モルガンの法則」でもある。
然るに、
（13）
（ⅰ）Ｐ→Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑ
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ Ａ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ ７カＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（ⅲ）Ｐ→Ｑ├ ～（Ｐ＆～Ｑ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １３ＭＰＰ
１２（６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ⅳ）～（Ｐ＆～Ｑ）├ Ｐ→Ｑ
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
従って、
（13）により、
（14）
果たして、「命題計算」の「結果」としても、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｐ∨ Ｑ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
①＝②＝③ である
従って、
（12）（14）により、
（15）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
Ｐ＝Ｐ＆～Ｐ
といふ「代入」を行ふと、
① （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（16）
（ⅱ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ Ａ
２ （２）～（Ｐ＆～Ｐ） Ａ
２ （３） ～Ｐ∨ Ｐ ２ド・モルガンの法則
２ （４） ～Ｐ∨ Ｐ ∨Ｑ ３∨Ｉ
５（５） Ｑ Ａ
５（６） Ｐ ∨Ｑ ５∨Ｉ
５（７） ～Ｐ∨ Ｐ ∨Ｑ ６∨Ｉ
１ （８） ～Ｐ∨ Ｐ ∨Ｑ １２４５７∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｐ ∨Ｑ Ａ
１ （２）（～Ｐ∨ Ｐ）∨Ｑ １結合法則
３ （３）（～Ｐ∨ Ｐ） Ａ
３ （４）～（Ｐ＆～Ｐ） ２ド・モルガンの法則
３ （５）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ ４∨Ｉ
６（６） Ｑ Ａ
６（７）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ ５∨Ｉ
１ （８）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ ２３５６７∨Ｅ
従って、
（16）により、
（17）
② ～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ
③ ～Ｐ∨ Ｐ ∨Ｑ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
① （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ
③ ～Ｐ∨ Ｐ ∨Ｑ
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（19）
③ ～Ｐ∨Ｐ∨Ｑ
といふ「式」は、
③（～Ｐと、Ｐと、Ｑが、同時に、真である。）といふことは有っても、
③（～Ｐと、Ｐと、Ｑが、同時に、偽である。）といふことは無い。
といふ「意味」である。
従って、
（19）により、
（20）
③ ～Ｐ∨Ｐ∨Ｑ
に於いて、
～Ｐ≡Ｐでない。 が「偽」であり、
Ｐ≡Ｐである。 も「偽」であるならば、
Ｑ≡Ｑである。 は「偽」ではなく、「真」である。
然るに、
（21）
～Ｐ≡Ｐでない。 が「偽」であるならば、そのときに限って、 Ｐ≡Ｐである。 は「真」であり、
Ｐ≡Ｐである。 が「偽」であるならば、そのときに限って、～Ｐ≡Ｐでない。 は「真」である。
従って、
（20）（21）により、
（22）
③ ～Ｐ∨Ｐ∨Ｑ
に於いて、
Ｐ≡Ｐである。 が「真」であり、
～Ｐ≡Ｐでない。 も「真」であるならば、
Ｑ≡Ｑである。 は「偽」ではなく、「真」である。
従って、
（18）（22）により、
（23）
① （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ
③ ～Ｐ∨ Ｐ ∨Ｑ
に於いて、
Ｐ≡Ｐである。 が「真」であり、
～Ｐ≡Ｐでない。 も「真」であるならば、
Ｑ≡Ｑである。 は「偽」ではなく、「真」である。
然るに、
（24）
Ｐ≡Ｐである。 が「真」であるならば、
～Ｐ≡Ｐでない。 は「偽」である。
従って、
（23）（24）により、
（25）
Ｐ≡Ｐである。 が「真」であり、
～Ｐ≡Ｐでない。 も「真」である。
といふことは、「有り得ない」。
従って、
（23）（24）により、
（25）
① （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ
③ ～Ｐ∨ Ｐ ∨Ｑ
に於いて、
Ｐ≡Ｐである。 が「真」であり、
～Ｐ≡Ｐでない。 も「真」であるならば、
Ｑ≡Ｑである。 は「偽」ではなく、「真」である。
としも、「そのやうなこと」は、「有り得ない」。
従って、
（26）
（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ 然るに、
（Ｐ＆～Ｐ） 従って、
Ｑ。
といふ「三段論法（ＭＰＰ）」は、「有り得ない」。
従って、
（26）
Ｐ＝太陽は東から昇る。
Ｑ＝バカボンのパパは天才である。
として、
太陽が東から昇り、太陽が東から昇らないのであれば、バカボンのパパは天才である。 然るに、
太陽は東から昇り、太陽は東から昇らない。 従って、
バカボンのパパは天才である。
といふ「三段論法（ＭＰＰ）」は、「有り得ない」。
ｃｆ.
西から昇ったおひさまが東へ沈む。（あ、たいへーん！）
これでいいのだ。これでいいのだ。
（アニメ、天才バカボン、主題歌）
然るに、
（27）
③ ～Ｐ∨Ｐ∨Ｑ
といふ「式」は、
③ ～真∨真∨Ｑ
であるか、
③ ～偽∨偽∨Ｑ
であるかの、いづれかである。
然るに、
（28）
③ ～真∨真∨Ｑ
③ ～偽∨偽∨Ｑ
であれば、
③ 偽∨真∨Ｑ
③ 真∨偽∨Ｑ
であり、
③ 偽∨真∨Ｑ
③ 真∨偽∨Ｑ
は、「恒真式（トートロジー）」である。
（18）（26）（28）により、
（29）
① （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ
③ ～Ｐ∨ Ｐ ∨Ｑ
に於いて、
①＝②＝③ である。
とする限り、
①（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
① 太陽が東から昇り、太陽が東から昇らないのであれば、バカボンのパパは天才である。
といふ「仮言命題」は、「恒に真」であるが、
① 太陽が東から昇り、太陽が東から昇らない。
といふ「命題（矛盾）」は、「恒に偽」である。
（01）
①『命題Ｐと命題Ｑの、少なくとも、一方は、ウソ（偽）である。』
②『命題Ｐと命題Ｑの、その両方が、同時に、本当（真）である。』といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）
① ～Ｐ∨～Ｑ
② ～（Ｐ＆ Ｑ）
といふ「式」は、
①『命題Ｐと命題Ｑの、少なくとも、一方は、ウソ（偽）である。』
②『命題Ｐと命題Ｑの、その両方が、同時に、本当（真）である。』といふことはない。
といふ「意味」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ～Ｐ∨～Ｑ
② ～（Ｐ＆ Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
③ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
④ ～～（Ｐ＆ Ｑ）
といふ「式」は、
① ～Ｐ∨～Ｑ
② ～（Ｐ＆ Ｑ）
といふ「式」の「否定」である。
従って、
（05）
③ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
④ ～～（Ｐ＆ Ｑ）
に於いても、
③＝④ である。
然るに、
（06）
③ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
④ ～～（Ｐ＆ Ｑ）
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③ ～（～～Ｐ∨～～Ｑ）
④ ～～（～Ｐ＆ ～Ｑ）
然るに、
（07）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
③ ～（～～Ｐ∨～～Ｑ）
④ ～～（～Ｐ＆ ～Ｑ）
といふ「式」は、
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ
といふ「式」に「等しい」。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（03）（08）により、
（09）
① ～Ｐ∨～Ｑ
② ～（Ｐ＆ Ｑ）
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（09）により、
（10）
「番号」と付け直すと、
① ～（Ｐ∨ Ｑ）
② ～Ｐ＆～Ｑ
③ ～（Ｐ＆ Ｑ）
④ ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であるものの、これらの「等式」を、「ド・モルガンの法則」といふ。
然るに、
（11）
①『命題Ｐと命題Ｑと命題Ｒの内の、少なくとも、１つは、ウソ（偽）である。』
②『命題Ｐと命題Ｑと命題Ｒの、その３つが、同時に、本当（真）である。』といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
① ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）
② ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
③ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
④ ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であるものの、これらの「等式」を、「ド・モルガンの法則」といふ。
然るに、
（13）
① ～（Ｐ∨ Ｑ）
② ～Ｐ＆～Ｑ
③ ～（Ｐ＆ Ｑ）
④ ～Ｐ∨～Ｑ
に対する、「命題計算（Propositional calculation）」は、次（14）の通りである。
（14）
（ⅰ）
１ （１）～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
６（６） Ｑ Ａ
６（７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
１ ６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １６＆Ｉ
１ （９） ～Ｑ ６８ＲＡＡ
１ （ア）～Ｐ＆～Ｑ ５９＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
１ ４ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） １５ＲＡＡ
５（７） Ｑ Ａ
１ （８） ～Ｑ １＆Ｅ
１ ５（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
５（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２４６７ア∨Ｅ
１２ （ウ） （～Ｐ＆～Ｑ）＆
～（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ） ～（Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
（ⅲ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
２３ （６） （～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （７） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （８） Ｐ ７ＤＮ
９（９） ～Ｑ Ａ
９（ア） ～Ｐ∨～Ｑ ９∨Ｉ
２ ９（イ） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２ア＆Ｉ
２ （ウ） ～～Ｑ ９イＲＡＡ
２ （エ） Ｑ ウＤＮ
２ （オ） Ｐ＆ Ｑ ８エ＆Ｉ
１２ （カ） ～（ Ｐ＆ Ｑ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ）
１ （キ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２カＲＡＡ
１ （ク） ～Ｐ∨～Ｑ
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
然るに、
（15）
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
といふ「計算」に於ける、
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
といふ「行」は、
①『命題Ｐと命題Ｑの、少なくとも、一方は、ウソ（偽）である。』と「仮定」し、
②『命題Ｐと命題Ｑの、その両方が、同時に、本当（真）である。』と「仮定」する。
といふ「意味」である。
従って、
（15）により、
（16）
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
といふ「計算」は、
①『命題Ｐと命題Ｑの、少なくとも、一方は、ウソ（偽）である。』と「仮定」し、
②『命題Ｐと命題Ｑの、その両方が、同時に、本当（真）である。』と「仮定」すると、
⑤「矛盾」が生じ、
⑨「矛盾」が生じるため、
⑩『命題Ｐと命題Ｑの、その両方が、同時に、本当（真）である。』と「仮定」は、「否定」される。
といふことを、示してゐる。
然るに、
（16）により、
（17）
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
といふ「計算」は、
（ⅳ）
１２ （ウ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） ２イ＆Ｉ
２ （エ）～（～Ｐ∨～Ｑ） １ウＲＡＡ
といふ風に、「続ける」ことも出来る。
然るに、
（18）
（ⅰ）
１ （１）～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
６（６） Ｑ Ａ
６（７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
１ ６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １６＆Ｉ
１ （９） ～Ｑ ６８ＲＡＡ
１ （ア）～Ｐ＆～Ｑ ５９＆Ｉ
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふことが、出来る。
従って、
（17）（18）により、
（19）
⑤ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
⑥ ～～Ｐ＆～～Ｐ≡Ｐ＆Ｑ
に於いても、
⑤＝⑥ である。