さわかみ日記

さわかみ投信がんばり日記です。

ダークマター・ホーキングさんが考えたこと・12・マイナス質量のBHについて

2019-03-17 03:26:42 | 日記
相対論は座標変換の話、EMANの物理ではそういっています。
そうして、やっぱり頭が混乱します。
この状況は量子論の意味を考えると頭が混乱する事に似ています。
(量子論の意味=物理的実在というしろもの)

さて「ホーキングさんが考えたこと・6」で「そうして我々の宇宙は別にマイナス質量のBHの存在を禁止している様には思えないのです。」と書きました。
まあ言いっぱなし、というのも何ですから、それなりにこのBHの事を考えてみるとしましょう。

さて、我々がBHを作ろう、と言う時には通常は「ホライズンの内側に物質を閉じ込めればよい」のでした。
重力頼りでそれを行うには、太陽の3倍程の質量の星を用意して、重力崩壊させる。
それでBHの一丁上がり、という訳です。

もう一つは宇宙の始まりの時に、空間の揺らぎ、物質存在の揺らぎ、この関係で質量密度が一定値を超えるとBHになる、これを原始BHというのでした。
その場合は特にBHのトータル質量には制限はなく、軽いBHも誕生可能という事です。


それでここにマイナス質量の物質があったとしましょう。
その物質はお互い同士反発しあいますから、それをひとまとめにしておくには力が必要です。
そうして、その力を次第に強めていくことでマイナス質量物質の密度を高め、ホライズンの中に押し込めばマイナス質量BHの一丁上がり・・・となるかどうか、調べてみなくてはいけません。

さてそれでここは「シュワルツシルト解のお世話」になるとしましょう。<--リンク
ちなみにこの解を求める時に「質量MはM>0でなくてはならない」などと言う条件はどこにも書いてありません。
従いまして、M<0であってもこの解は有効である、と判断できそうです。
ご参考までに「この解の求め方がEMAN物理」にありますので、参照願います。<--リンク


まあこの解の結果としてホライズン半径RsがRs=2*G*M/C^2となるのでした。
さて、そうであればまずはここにマイナス質量物質を1kg、用意しましたのでそのホライズン半径を求めてみましょう。
Rs=-1.49*10^-27(m)

大きさの絶対値はプランク長よりだいぶ大きいので、「それなりの力持ちの方」であれば握りつぶせば何とかなりそう、ではあります。
しかしながら問題はそこではなく、Rsにマイナスが付いている事でありましょう。
この事はつまり「握りつぶし法」では「マイナス質量のBHには達成不可能である」という事を示している様です。
マイナス質量物質を「体積ゼロ、質量密度無限大」にまで握りつぶしてもその大きさは「ゼロ」でしかなく 0>-1.49*10^-27(m)でありますから。
別のやり方を探すのが賢明というものです。


そこで登場するのが「ホーキングさんが考えたこと・6」で示した「トンネル・ホーキング放射法」であります。
まずはBHの外形をプラス質量で確保しておく。
そのあとでBHの中心にある特異点の質量をプラスからマイナスへ一気にジャンプさせる、というものです。(注1)
この方法であれば、マイナス質量の物質を集めてきて握りつぶす、という方法を取らずにマイナス質量のBHが完成しそうです。

そしてもしこのBHにホライズンがあるとすれば、それは我々の暮らすこの3次元世界ではなく、どうやら別の世界にある、という事になりそうです。
それはつまり「このBHは我々の世界ではホライズンを持たない」という事でもあります。

PS
以下、マイナス質量のBHがホライズンを持たない、という事の別の表現になります。

通常はミンコフスキー空間はシグネチャー(-1、+1、+1、+1)を持つとされている様です。<--リンク
そうして、我々が暮らす空間はこのミンコフスキー空間であって、それゆえに空間軸と時間軸が区別できる様です。

そして通常はこの空間でのシュワルツシルト解の形はEMAN物理にある様にdw(=dt)の前の係数符号がマイナスでありdrのそれはプラスになっています。
しかしホライズンを超えてBHの中に入るとこの符号が逆転します。
それはつまり、BHの中はミンコフスキー空間ではない、ということであって、ホライズンはこの2つの空間を分ける役割をしている様です。

さて、マイナス質量をもつとされるBHの場合はこの関係はどうなるのでしょうか?
係数符号の動きを+∞から中心にある特異点まで、距離rを変えながら調べますとdw(=dt)の前は常にマイナス、drの係数は常にプラスである事がわかります。
それはつまり、「特異点に至るまでミンコフスキー空間が続いている」という事であり、したがって「そこにはホライズンは存在しない」という事になりそうです。

そして「トンネル・ホーキング放射」で特異点の質量がプラスからマイナスにジャンプすると同時にホライズンが消滅し、BH内の空間もまたミンコフスキー空間に切り替わるのであります。
そうして、ホライズンを持つことをBHと呼ぶ条件であるとするならば、このBHはもはやBHとは呼ぶ事は出来ず「マイナス質量をもつ裸の特異点」と呼ばれる事になりそうです。

(注1)
特異点質量のプラスからマイナスへのジャンプについて
我々の感覚からすると「質量がプラスからマイナスへジャンプする」などという事はなかなか受け入れる事が難しいのです。
「どうしてそんな事が出来るのだ」という疑問が先立ちます。
しかしながら、それでいてホーキング放射でBHの質量が順次減っていく事にはあまり疑問を持ちません。
「エネルギーが出て行ったのだから、その分質量が減るのは当然だ」ととらえています。

しかしながらよおく考えますれば、放射の前後で両方ともに質量がプラス領域にある、とはいえホーキング放射によって中心にある特異点の質量がMからM-αにジャンプするメカニズムは実の所、何もわかってはいないのであります。
ただそのような現象が起きている、という様に認めているにすぎません。
そうして、その時でさえ質量はMからM-αにジャンプしているのですから、そのようなジャンプはホーキング放射の結果としては当然起こるものであるとBHは思っている事でしょう。
そうして当該のBHにとっては、BH人生での最後のジャンプがたまたまプラス領域からゼロをまたいでマイナス領域へのジャンプであった、という事にすぎないのであります。


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2019-03-16 03:28:53 | 日記
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ダークマター・ホーキングさんが考えたこと・11・ブラックホールの寿命計算について(2)

2019-03-14 00:40:36 | 日記
以下の議論については「Hawking 輻射とブラックホールの蒸発」山内さんを参照しながらのものになります。
しかしながら、最初におことわりしておかなくてはならない事は、これは上記論文への批判ではない、と言う事であります。
ただ単にこの論文が「ホーキング放射とBHの寿命」についてよく分かる説明をしているから参照しているのであって、他に他意はございません。
その意味では論文著者の山内さんには感謝する次第であります。

さてまずは重力場での粒子生成についての部分です。
所定の重力がある場所では仮想粒子対の生成と消滅が、重力場のない空間よりも頻繁に起こっている、そう解釈できそうです。
但し通常は不確定性原理で許される存在時間しか、仮想とはいえ、存在できない様です。

しかしここにBHに起因するホライズンがあると、対生成した仮想粒子の一方が「必ず」ホライズンに飛び込むので、その相方の粒子は実粒子化しホライズンから離れてゆく、つまりこれがホーキング放射である、そう言っておられます。
そのようにして多くの粒子がホライズン近傍の空間から飛び出してくる、それをエネルギー別に数え上げてみるとなんと黒体放射スペクトルと一致するではないか、これがホーキングさんが見つけた事の様であります。
そうして、その際にプランクの法則と照らし合わせる事でプランク則の温度Tに相当する部分が
T=h*C^3/(8*pi*Kb*M*G)
こんな風に書ける、と言う事でした。

そうして、「それじゃあBHは黒体と見なせ、その温度が計算できたのだから、エネルギー放射も計算できるよね」と言う様にロジックがつながっていくのでした。
しかしながら、T=h*C^3/(8*pi*Kb*M*G)が本当に従来使われていた温度と同じものなのか、そこがどうも怪しい、と言うのが最初の疑問です。

確かにその量を温度としてプランク則を使えばホライズン近傍から出てくる粒子のエネルギー分布は求められるのでしょうが、そのエネルギー分布を得るのにどれくらいの時間が必要だったのか不明の様です。
1秒でそれだけの粒子が飛び出してきたのか、それとも1時間観測しないとエネルギー分布のグラフが「連続したグラフ」にならないのか、いいかえますと単位面積、単位時間当たりにホライズン近傍の空間から外に向かって(あるいは観測者に向かって)飛び出す粒子数が不明である様に見えます。

そこの所が不明のまま、「いやこれは温度と見なせるから云々」というのでは、どうにも納得がいかないのです。

そうして、2番目は「ホライズン近傍」というあいまいな場所の定義です。
一体その層の厚さはどれくらいなのか?
そうして、その層はいわゆる「ホーキング温度T」で厚みがかわるのかどうか、そこが不明です。
粒子が放出される真空層の厚みは、不確定性原理によって制限を受ける事になる仮想粒子の到達距離との関係で重要になる所です。


さて、以上の様に不明なところがあるのですが、まあある程度の前提をおきながらの概算計算を以下に示します。
但しこれは一応のめどであり、「こんな風になるかなあ」程度のものとお考え下さい。

前提としては、諸式運用は従来のやり方を踏襲する。
但しホライズン上空の粒子が発生する真空層の厚さは不確定性原理による制約をくわえるものとする、という事になります。

発生する平均的な粒子一つ当たりのエネルギー、これは温度Tに比例すると考えてよさそうですが、そのエネルギーが倍になれば存在時間は半分となり、従ってほぼ光速で移動すると考えられる仮想粒子の走行距離は半分となる。
そうなると、粒子が発生する事になる真空層の厚さは半分になると仮定するのが妥当の様に思われます。

計算のスタートとなるBHの質量をミニBHとしてずうっと取り上げてきたM=1.73*10^11Kgとします。
この質量は従来計算ですと「ビッグバン直後に作られ、今頃蒸発するはず」のBH質量になります。

このBHが出来た直後のBH温度TはT=7.09*10^11(K)です。
その時の典型的なニュートリの走行距離は3.25*10^-15(m)であり、これがホライズンへの到達限界距離となります。
(これは陽子直径の8分の1程度の距離になります。)

このBHの温度がホーキング放射を出す事によって質量がへり、温度上昇してちょうど2倍の値になると、仮想粒子の到達距離は半分になる事になりますが、これを計算式の中に含めなくてはなりません。
その比例係数をRkとしますと、それは従来の温度Tでの全放出エネルギーE(T)を表すもの、それはStefan-Boltzmann の法則そのものでありますが、それに掛け算され、Rk*E(T)が修正された全放出エネルギーを表す事になります。

そしてその比例係数Rkは、今回はRk=(7.09*10^11)/Tという形になります。
つまり、計算スタート時には修正式を使った放出エネルギー計算は修正前のものと同じ値になる、但し温度上昇に従ってその値は徐々に少なくなる、と言う様になります。

この修正をくわえて、以下の諸式運用は前掲の論文に従って行ってください。
以下結果のみを示します。

修正前のBHの寿命式:A
t=(8.41E-17)*M^3(Sec)

修正後のBHの寿命式:B
t=123800000/(7.09*10^11)*M^2(Sec)

M=1.73*10^11Kg(今回のスタート条件)の時の寿命。
A式ーー>t=435445999700000000sec=138億年(宇宙年齢と同じ)
B式ーー>t=5227314502983070000sec=1658億年
修正式BによればBHの寿命は12倍に伸びます。
ちなみに修正式Bによれば138億年で寿命となるBH質量は0.5*10^11Kgとなります。

M=250000Kg(250トン)に到達してから・・・寿命まで。
A式ーー>t=1.314sec
B式ーー>t=10916073sec=126.3日
A式では「爆発的」ですがB式では「それほどでもない」のです。

ちなみにB式で1.32秒経過後に寿命となる質量は87Kgです。
この質量が1秒強でエネルギーに変わるのですから、地球上では「すさまじい爆発」と言う事になりますが、さて宇宙規模で考えますと「線香花火」でしょうか。
とてもガンマー線バーストと呼べるような現象につながる様には思えません。


以上の計算は「まあこんな事も考えられるので、もう少し真面目にBHの寿命計算はしないといけないよね」という例題であり、参考資料と言う事になります。

注1)
上記の修正式Bは基準点にBH質量M=1.73*10^11Kgを使っていますので、この質量以下のBHの寿命推定は出来ますが、この質量をこえるBHについては新たにその質量を基準点として、上記の考え方でキャリブレーションし直す必要があります。
つまり、この修正方法は2つの計算方法のスタートラインを合わせる質量によって、いくらでも異なる修正式が生まれる、と言う事です。

この任意性をなくすためには、重力場がある真空での単位体積あたりに生じている仮想粒子対のエネルギー分布とその個数、つまりは単位体積当たり単位時間で生じる仮想粒子対についての量子論からの計算結果が必要である、と言う事になるのです。

それができていれば、後はホライズンからの距離を考慮してホーキング放射の全エネルギーをStefan-Boltzmann の法則を使う事なく決める事が出来ます。
つまりはBHの寿命を正確に決定できる、と言う事になると思われます。

注2)
そしてBHが消えるかどうかの瀬戸際、ホライズンの半径が100プランク長を切る辺りからは、このホーキング放射プロセスは古典論近似計算からはなれて、離散的、確率的に計算を進める事が必要だと思われます。
そうやって何が起こるのか、本当にBHが消える事が出来るのかどうか、確認する事が必要であります。


以上の内容についてのコメント、ご感想などは
・不確定性原理と仮想粒子の対生成までお願いします。<--リンク


http://archive.fo/bh930
http://archive.fo/GW7V0

ダークマター・ホーキングさんが考えたこと・10・ブラックホールの寿命計算について

2019-03-13 02:19:04 | 日記
現状では皆さん、BHを黒体として扱い、Stefan-Boltzmann の法則より温度T,半径r の物体が単位時間あたりに放つエネルギーE を
E=pi^2*kb^4*T^4*4*pi*4*G^2*M^2/(60*h^3*C^6)
となる事を使って計算されています。
(但し上記式には黒体半径にあたるホライズン半径RGはRG=2*G*M/C^2をすでに代入してあります。)

この式詳細については「Hawking 輻射とブラックホールの蒸発」山内さんを参照ねがいます。

この式を元にしてE=M*C^2を使ってBHの質量の減り方を計算し、元々あったBH質量Moがゼロになるまでの時間を求めて、「それがこのBHがホーキング放射により蒸発するまでの寿命である」と主張されています。

そうして、このやり方がどうやら一般的に認められている方法の様です。
但し、このやり方の前提となっている事については皆さん、あまり考察をされていない様です。


なるほど、BHを遠くから眺めていればホーキングさんが言う様に「黒体輻射スペクトルと似たエネルギー放射」が観測され、そうであればこのBHを黒体として扱う、と言うやり方は一見妥当の様に見えます。

しかしながらホーキング放射は仮想粒子がBHに飛び込む、BHと仮想粒子の衝突とその仮想粒子のBHによる吸収というプロセスの結果、生じてくるものであります。

そうでありますから、この相互作用プロセスでは当然のことながら、エネルギー保存則、そうして運動量保存則が満足されなくてはいけない、という指摘はすでに行ってきたとおりです。


さてそれで、ここではひとまずは運動量保存則の事は置いておきましょう。
そうして以下の話はBHの寿命推定で皆さんがつかっているロジック、それはエネルギー保存則でありますが、その考え方にそって見ていきます。


さてはじめに、この場合の基本の一つ目は「BHは黒体と見なせる。したがってStefan-Boltzmann の法則をそのまま適用できる。」という主張です。

それから二つ目が「BHから放出(されている様に見える)のエネルギーは連続的であって、時間やエネルギー量をいくらでも小さく微調整が出来る」という主張になります。
つまりこれは「BH寿命推定は古典論近似でよい」という主張です。

その事によってプランクスケールにまで至ったBHの質量をちょうどゼロにできる様に、最後にこのBHに飛び込む仮想粒子のエネルギーを調整できる、と、そのように主張している事になります。

しかしながら、最後の最後にこのプランクスケールのBHに飛び込む仮想粒子のエネルギーを「誰が一体そのように微調整する」のでありましょうか?

ホーキングさんによれば「ホーキング放射は完全にランダムである」との事です。

従って、最後の最後にこのプランクスケールBHに飛び込む事になる仮想粒子のエネルギーが、このBHの質量と丁度釣り合う、などと言う事は、量子論の常識からすると、まずあり得ない事になります。
・・・・・
2番目の指摘事項が先行してしまいましたが、御容赦ねがいます。


さて、最初の指摘事項についてですが、「4・不確定性原理と仮想粒子の対生成」と「5・プランクスケールBHの最終形態」で述べたように「対生成した仮想粒子の持っているエネルギーによって、その粒子の存在時間が規定される」と言うのが不確定性原理からの要請でした。

低いエネルギーの粒子は存在時間が長く、つまりホライズンのかなり上の方で発生してもホライズンに到達できますが、エネルギーの高い粒子はそうはいかない、ということです。

それはつまり「よりホライズンに近い所で発生する必要がある」と言う事です。

さてこの事は、BHの質量が減少し、それによりBHの温度が上昇し、発生する仮想粒子一つ当たりのエネルギーが高くなるのですが、それに従って、よりホライズンに近い所で発生した仮想粒子しかホライズンに到達できなくなる、と言う事でもあります。(注1)

それはエネルギーを放出できる真空層の厚さが、BHの温度が上がるに従って薄くなるという事でもあり、ここが従来の黒体放射とは異なる点になります。

そしてこれは一般の黒体輻射では考える必要のない事であります。
一般の黒体はその表面で放射がおこり、その状況は温度によって左右される事はない、というのが前提であります。
そうでありますから、Stefan-Boltzmann の法則はそのような、温度依存でエネルギーを放出する層の厚さが変化する、というような要因を含んでは定式化されていません。


さて次に概算ではありますが、上記効果がどれほどになっているか、見ていきます。
従来、宇宙年齢で今頃蒸発する、とされているBHの質量は質量M(=1.73*10^11)Kgと計算されています。
このBHの単位時間当たり放出するエネルギーEをStefan-Boltzmann則に従って求めますと1.17*10^10(J)となります。
このBHの典型的な放出ニュートリノの一個当たりの全エネルギーは質量換算で5.41*10^-28(Kg)になり、3.25*10^-15(m)がホライズンへの到達限界距離となります。

これがホークング放射をしながら質量を減らし、プランク質量に至った時の放出エネルギーを同様にして求めますと7.40*10^47(J)となります。
但しその時に放出されるニュートリで一番数がおおいものの一個当たりの質量換算での全エネルギーは4.32*10^-9(Kg)で、0.81*10^-34(m)がホライズンへの到達限界距離となります。


そして7.40*10^47(J)はスタート時のBHの放射エネルギーの6.32*10^37倍であり、ホライズンへの到達限界距離の変化を考慮しない、こうした計算結果に基づいて皆さん「BHの最後は爆発で終わる。」と言われるのでした。

しかしながら、上記で述べましたような「ホライズンへの到達限界距離の変化ーー>エネルギー放出層の厚さの変化」と言うものを考慮にいれますとこの比率は随分と下がり1.57*10^18倍になる事が分かります。

実に19ケタも小さくなるのです。
そうしてプランク質量のBHの単位時間当たりの放出エネルギーは「エネルギー放出層の厚さの変化」と言うものを考慮にいれますと7.40*10^47(J)から1.84*10^28(J)と変わります。

これは、確かにBHの質量が減るにしたがって放出エネルギーは増加しますが、それは爆発的ではなくなる、ということであります。
つまりはBH消滅に伴うガンマー線バーストなどという現象は起こらない可能性が大である、と言う事にもなります。

そしてその結果は、従来言われている寿命よりも随分とBHの寿命は延びる事になる、そう言う事になりそうです。


結論
さてそう言う訳で、以上の様な要因を考慮に入れたBHの寿命計算が必要であります。

特に100gr以下の質量に至ったBHのホーキング放射を求めるには、放射が離散的、確率的に起こる事を計算に反映させる為に数値計算によるシミュレーションが欠かせない様に思われます。


注1
実はこの事はホーキング放射のエネルギースペクトルが黒体輻射スペクトルからずれてくる、と言う事を示している可能性があります。

ある温度をBHが持った時に、それに一致した黒体輻射スペクトルで仮想粒子は対生成するのですが、エネルギーの高い粒子がBHに到達できる可能性が、エネルギーの低い方の粒子がBHに到達できる可能性よりも低くなる事が予想されるからであります。

そうなりますと、高エネネルギー側のスペクトルが低く抑えられる、というような事が起こりそうです。
その様な事もあり、代数的にBHの寿命を推定するというのは難しく、数値計算によるシミュレーションを回すのが妥当の様に思われます。

注2
ホーキング放射で放出されるエネルギーの上限はどうやらプランク質量をE=M*C^2で換算した値になる様です。
これは存在する光子1つが持ちうるエネルギーの最大値でもあります。<--リンク
他方でBHの温度は温度T=0.1227*10^(+24)/Mで計算され、BHの質量の減少につれていくらでも上昇が可能です。
そうして、ホーキングさんによれば「BHはその温度に応じた黒体放射スペクトルで放射を出す」との事ですが、放射される光子の上限振動数がプランク質量により制限を受ける為、それ以上の振動数は取る事ができず、高周波側がカットされる事になります。
つまりBHが小さくなると、あるいは消滅の直前まで行くとホーキング放射はもはや黒体放射スペクトルではなくなる、という事になりそうです。


以上の内容についてのコメント、ご感想などは
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ダークマター・それは形を作らないもの/

2019-03-11 06:59:22 | 日記
海の中に暮らす魚たちはきっとこう思っているでしょう。

「水なんていうものは、どこにもない。
だいたいそんなものは見た事はないのだから。」

そう言いながら水の中で一生を過ごすのでした。


プランクレベルのBHはお互いに衝突し合体する事は可能です。
しかしながら、その足し算は1+1=1であって、我々の物質世界のように1+1=2にはならないのです。

どれほどのプランクレベルのBHを、そうやって足していっても1個のBHにしかなりません。
つまり「ダークマターは形を作らない」と言う事になります。

他方で原子と言う形態は形を作る事が出来ます。
「あたりまえだ、そんなこと。」
まあ我々「形がある世界の住人」は当然そう思います。
しかしながら、これはこれでよく考えますと、非常に不思議な事でもあります。


形のある世界では「物をぶつければ、ぶつけられた対象物は壊れる」。
まあそれが常識と言うものです。
そうやって素粒子の世界にまで踏み込んでいきました。
しかしながら、それはどこまで行っても「形のある世界の話」でありました。

他方でプランクレベルのBHの世界では「お互いがぶつかればお互いがお互いを吸収する。」その結果は「BHは一つになる」のでした。

そうして「物質粒子はもはや大きすぎてプランクレベルのBHには吸収できない」、つまり「物質粒子とは衝突しない」、「単にその横を通り過ぎるだけ」なのです。

そうでありますから、従来常識の「未知の粒子は物質粒子との衝突で検出できる」というやり方はもはや通用しない、そう言う事になります。


ダークエネルギーの実体がマイナス質量のプランクレベルBHであるとすると、それが宇宙で一番多く存在する「質量を持つもの」になります。
そうして二番目がプラスの質量を持つプランクレベルのBH、別名を「ダークマター」といいますが、それになります。

それらの存在は質量をもちますが、ほとんど大きさをもちません。
そのことのおかげて宇宙の大半の空間は「空っぽのまま」であります。

さてそれで老子の出番になります。
「空間は空っぽであるから有用なのだ。」
老子はそのように看破しております。

まったくその通りでありましょう。
そのおかげで、バリオンからなる我々はまるで「この宇宙は我々形あるものが主人公」みたいな顔ができるという事になっている訳であります。


さて、今まで見てきた様に「ダークマターはプランクスケールのBHだ」が当たっているとしますと、我々はBHの海の中に住んでいる事になります。

そうしてこう言うのです。
「プランクスケールのBHなど見たこともない。
そんなものはどこにもないのだから。」

さあこれでは「我々は海の中で暮らす魚たちと大差はない」と言う事になってしまいます。


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