ダークマター・ホーキングさんが考えたこと・１５・ホーキング放射のシミュレーション（３）

さて、提示したホーキング放射のモデルで寿命の計算は一応出来るようになりました。
しかしながら、ずうっと言ってきた問題「仮想粒子の到達距離の話」の決着がまだついていない様です。
それでこのページではその事について今回提示したモデルを使って検討してみます。

まずはエネルギーと時間の不確定性関係。
ΔＥ＊Δｔ＝ｈ/２程度というのが厳しめの数値の模様です。＜－－リンク
ちなみにこのページではｈはすでにプランク定数を２＊Ｐｉで割っているものとします。

さて例によって中心から距離ｒの位置にある粒子生成点を取り上げます
まずはｒをホライズン半径Ｒｓで割ってＸとします。

その位置の温度Ｔｒはホライズン温度Ｔｓを使ってＴｒ＝Ｔｓ＊（１/Ｘ^２）と書けます。
Ｔｓが出ましたので、プランクの放射則にその値をいれると、Ｔｓでのスペクトルが出てくるのでした。
そのスペクトルのピークの位置はΔＥ/2＝ hν = 2.82 Ｋｂ・Ｔ です。＜－－リンク
ただしここで、真空から借りたエネルギーはΔＥですが、２つの仮想粒子に等分に分けられるので、粒子一つ当たりのエネルギーはΔＥ／２となります。

そうなりますと仮想粒子の存在時間ΔｔはΔｔ＝（ｈ/2)/ΔＥ＝（ｈ/2)/(2*2.82・Ｋｂ・Ｔｒ）＝（ｈ/2)/(2*2.82・Ｋｂ＊Ｔｓ／Ｘ^２）。
ホライズン側に飛んだ粒子の飛行距離Δｌは速度を光速とするとΔｌ＝Ｃ＊（ｈ・Ｘ^２）/(４・２．８２・ｋｂ・Ｔｓ）

Ｔｓ＝（ｈ・Ｃ^３）／（８・Ｐｉ・Ｋｂ・Ｍ・Ｇ）を入れて整理すると
Δｌ＝（（２・Ｐｉ・Ｘ^２）／２．８２）＊（Ｍ・Ｇ／Ｃ^２）
Ｒｓ＝２・（Ｍ・Ｇ／Ｃ^２）を使って
Ｙ＝Δｌ/Rsを求めます。
ここでＹはＲｓ単位系（勝手にそう呼んでいるのです。）で表した飛行継続距離となり、
Ｙ＝（Ｐｉ／２．８２）・Ｘ^２＝1.114＊X^2となります。

これで温度Ｔｒで一番多く生成される仮想粒子の飛行距離が計算できました。

次に例のＢＨ到達可能性を示す円錐を考えます。
ＢＨまでの一番長い距離はその円錐を作っている接線であり、その接線の長さはＸをつかってｓｑｒｔ（Ｘ＾２－１）となります。

それで、Ｙの値がこのｓｑｒｔ（Ｘ＾２－１）より大きければ仮想粒子はＢＨに到達可能なのだが、短いと到達する前に仮想粒子は消滅する、そういう事になります。
それで、比率１．１１４Ｘ^２／ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）の値を調べる事になります。

ここでまたしてもWolfram|Alphaさんの出番です。＜－－リンク
上記の式をコピペして極小値と書いてリターン。
Ｘ＝１．４１４２１の時に２．２２８と返ってくるはずです。
２．２２８が最悪条件ですので、幸いなことに一番多く発生する仮想粒子は円錐の側面を含み、円錐の中のエリアに飛んでいればＢＨに到達できると、そう判断できます。

しかしながら、この粒子のエネルギー量の２．２２８倍となった仮想粒子の存在可能時間は１/2.228倍となり、つまり円錐側面に沿った飛行距離がＢＨ到達ぎりぎりという事になります。
そして、それを超えたエネルギーを持った仮想粒子はこの円錐側面に沿って飛行した場合はＢＨに到達できない、という事になります。
つまり、一番多く発生する粒子の振動数の２．２２８倍を超える振動数に対応したエネルギーを持つ仮想粒子が発生した場合はＢＨに到達するのはより難しくなる、という事になります。
それらの仮想粒子は所定の飛行コースには入っているのですが、飛行時間が足りない、航続距離が足りないという事が起こりえます。

この部分の効果、エネルギーがある値より高い、高周波側の仮想粒子がＢＨに到達しにくくなる、と言う要素は前回・１４で提示した計算式には反映されていません。
したがってその効果を考慮にいれますと、ＢＨの寿命は前回提示した計算式よりは多少は延びるであろう、という事になります。


以下、最悪条件Ｘ＝１．４１４２１の時の状況を確認しておきましょう。
Wolframを使います。
プランクの放射則を簡略化した式x^3/(e^(x/100)-1)を使います。（注２）
ここでｘは振動数を表しています。
「x^3/(e^(x/100)-1) ,０＜ｘ＜1500」＜－－こんな風に書いて入力するとスペクトルグラフが出てきます。

ｘ＝２８２にグラフのピークがあります。
この振動数の２．２２８倍ですと６２８になります。
０からその値まで積分します。
「0から628の範囲でx^3/(e^(x/100)-1)を積分」を入力、
答えは５．７２６＊１０^８です。
ちなみに２０００あたりまでの積分でこのグラフは飽和し、値は６．４９４＊１０＾８です。
ですので振動数６２８までですと８８．２％ほどは問題なしですが、のこり１２％程度は予想したエネルギー放射に届かないという事になります。

このような状況はＸが１の方に、あるいは２の方に移動するにつれて改善されていくのは、「1から３の範囲で１．１１４Ｘ^２／ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）の極小値」と入力したグラフ形状から読み取る事が出来ます。
そうして付け加えますれば、もしそのグラフの値が１＜ｘ＜３の範囲でどこでも４以上であったとすれば「ホーキングさんが考えたこと・１４」で提示した式が何の修正をする必要もなく使えたという事であります。（注１）

円錐の側面にそった場合の評価は以上ですが、円錐の中心線に沿った場合はどうなるのでしょうか？
その場合は、比率１．１１４Ｘ^２／（Ｘ－１）の極小値を調べればよい事になります。
WolframによればＸ＝２で４．４５６がその値です。
つまり中心線近傍であればグラフは１＜Ｘ＜３にて４以上を十分にキープできている事になります。

振動数ｘ＝２８２＊４．４５６＝１２５６で同様に０から積分してみます。
「0から１２５６の範囲でx^3/(e^(x/100)-1)を積分」
答えは６．４８５＊１０＾８で飽和値の９９．８６％をカバーしますので、中心線近傍では実質上の問題はなくなります。


以上、見てきましたようにＸ＝１．４１付近で条件が最悪となり、スペクトルグラフの高周波側に相当する仮想粒子群にロスが発生する事が分かりました。
これは結局ホーキング放射の出力を下げる事につながり、ひいてはＢＨの寿命が前回掲示した式での計算よりも多少延びるであろう事が予想されます。

注１
さて、当方の感覚からしますと、ここでは自然は、宇宙は妙に渋ちんに見えます。
真空が貸し出すエネルギーと時間の積の値が中途半端に見えます。
中途半端に周波数カットをしている様に思えて仕方がないのです。

「ΔＥ＊Δｔ＝ｈ/２程度」では「太っ腹」ではありません。
ですからきっと宇宙はこの場合は「ΔＥ＊Δｔ＝ｈ程度」と対応してくれているに違いないものと、密かに思っております。

注２
元々のプランクの式にはｈとＫｂが入っていますが、それを１にします。
そうしてこの場合はホーキング温度、ではなく仮想温度Ｔを１００に設定しています。
そうすると hν = 2.82 Ｋｂ・Ｔの式からピーク周波数が２８２となる事が分かります。

この層の１０倍の温度を持つ仮想粒子発生層でも同様に考えます。
ピーク周波数は２８２０となりますが、後の議論は上記本文の繰り返しとなります。
そして各積分の値そのものは変わりますが、％で表された数値は変わる事はありません。
それが「プランクの式は温度に対しては形は変わらない」という事の意味になります。

ちなみに上記式に現れている hνのｈは生のプランク定数であって、２＊Piでは割られていませんが、幸いな事にこの部分のｈが式の変形の所に現れる、という事はないのです。


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ダークマター・ホーキングさんが考えたこと・１４・ホーキング放射のシミュレーション（２）

「ホーキングさんが考えたこと・１３」でより具体的なホーキング放射のモデルを作る事ができましたので、離散的なホーキング放射のシミュレーションが可能になりました。
そうではありますが、ＢＨ質量が放射の量子性、離散性をを考量する必要がある前の段階では、従来の様な「古典的な連続放射モデル」がパフォーマンスに優れています。
それで以下、このシミュレーションモデルに従った場合の放射計算について述べていきます。

質量ＭのＢＨが単位時間に放射するエネルギーＥは従来はこのように書かれていました。
Ｅ＝σ・Ｔ^４＊４・Ｐｉ・Ｒｓ^２
Ｒｓは当該ＢＨのホライズン半径、σがシュテファン=ボルツマン定数でありＴは通常は熱力学温度ですが、ここにホーキング温度を代入します。
そして、σ・Ｔ^４の部分がStefan-Boltzmann の法則でありそれに放射体の表面積をかける事で全放出エネルギーＥが求まる、そのように想定しています。

それに対して、ホライズン上空に多層に重なる仮想粒子放出層を想定するのが今回のやり方になります。
一番下の層は従来通りの記述になります。
そこから微小距離Δｒだけ上に上がった放出層を考えます。
この層は上に上がった分だけ重力が弱まり、従ってその分ホーキング温度Ｔが下がる事になる、と言うのは前回の説明でした。
そうやってこうした放出層を何段にも積み重ねる事で、たとえばホライズン半径の２倍の地点にまで到達する事が可能です。

さてＮ番目の層までのＢＨ中心からの距離をｒとします。
このＮ番目の層の全放出エネルギーＥを考えます。
それはStefan-Boltzmann の法則に従ってＥｒ＝σ・Ｔｒ^４＊４・Ｐｉ・ｒ^２と書くことができます。

ここで必要になるのはＮ番目の層の温度Ｔｒの値です。
そこで思い出す必要がある事は、ホーキング温度Ｔはその場所の重力の強さに比例する、という関係です。
ＢＨ中心から距離ｒの位置の重力の強さＡｒはＡｒ＝Ｇ＊Ｍ/r^2となります。
そしてその場所の温度Ｔｒは比例定数Ｂを使って、Ｔｒ＝Ｂ＊Ａｒと書けます。

ホライズンでの温度をＴｓとし、その場所での重力の強さをＡｓとします。
ここでも当然Ｔｓ＝Ｂ＊Ａｓが成立しています。
そしてＡｓ＝Ｇ＊Ｍ/Rs^2です。

そうなりますとＡｒ/As=(G*M/r^2)/(G*M/Rs^2)=Rs^2/r^2.
Ａｒ＝Ａｓ＊（Rs^2/r^2）.
Ｔｒ＝Ａｒ＊Ｂ＝Ａｓ＊（Rs^2/r^2）＊Ｂ＝Ｔｓ＊（Rs^2/r^2）である事がわかります。

その結果は
Ｅｒ＝σ・Ｔr^４＊４・Ｐｉ・ｒ^２＝σ・（Ｔｓ＊（Rs^2/r^2））^４＊４・Ｐｉ・ｒ^２になります。
ここで変数ＸをＸ＝ｒ/Rsとして導入し、上記をＸを使って書き直します。
ｒ＝Ｘ・Ｒｓであることに注意して
Ｅｒ＝σ・Ｔｓ^４・(１/Ｘ^2)^４＊４・Ｐｉ・Ｒｓ^２＊（X^2).
この式の前半が温度に関する部分で後半が仮想粒子放出層の表面積になります。

ところで、一番下の層では発生した仮想粒子の片方は必ずホライズンに飛び込むのでした。
しかしながら実はホライズンの接平面方向に飛んだ場合に限って、この粒子ペアはＢＨに吸収される事はないのです。
まあそれはそれとして、ホライズンから少しでも上空に離れますと、仮想粒子生成点を頂点として、ＢＨホライズンに接線を引き、それをぐるっと一回しして出来上がる円錐の内部方向に発生した仮想粒子である場合のみ、ＢＨはそれを吸収する事が可能となります。
その円錐を外れますと、仮想粒子はＢＨに吸収されることなく消える、という事になります。

さてこの円錐の一回しした接線と円錐の中心線のなす角度をΘとしますとこの円錐の立体角ωは以下のようになります。
ω＝2π(1−cosθ)＜－－リンク

Ｎ番めの層を考えているので、その層までの距離はｒです。
そうして半径Ｒｓのホライズン球に対して距離ｒから接線を引き、円錐を作る事になります。
そうやってΘが決まりωを決める事が出来ます。

その状況全体を値Ｒｓで割る事で球の半径は１となり、距離ｒはＸとなりますが、Θとωの値は変わりません。
この状況でcosθはｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘとなる事は絵をかいて確認をお願いします。
最終的にωはω＝2π(1−cosθ)＝２・Ｐｉ・（１－ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘ）となります。

仮想粒子はペアで反対方向に飛び去る事を考慮してＢＨに飛び込める有効な粒子の割合はこの立体角を２・Ｐｉで割った値になります。
これが粒子発生を想定する球の表面積にかかる補正係数となりますから、Ｎ番めの層の表面積は最終的に
４・Ｐｉ・Ｒｓ＾２＊（X^2)ーー＞４・Ｐｉ・Ｒｓ^２＊（X^2)＊（１－ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘ）
に変わります。

以上からＥｒは
Ｅｒ＝σ・Ｔｓ＾４・(１/Ｘ^2)＾４＊４・Ｐｉ・Ｒｓ^２＊（X^2)＊（１－ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘ）
↑＝σ・Ｔｓ＾４＊４・Ｐｉ・Ｒｓ^２＊(１/Ｘ^2)＾４＊（X^2)＊（１－ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘ）
↑＝σ・Ｔｓ＾４＊４・Ｐｉ・Ｒｓ^２＊(１/Ｘ^６)＊（１－ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘ）
↑＝Ｅｓ＊(１/Ｘ^６)＊（１－ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘ）

こうして一番下の層、それは従来は全放出エネルギーを表す、とされていたものですがそれに所定の補正値をかける事でＮ番めの層の放出エネルギーを表す事が出来ます。
さて、それぞれの層の厚さはΔｒとしましたがこれもＲｓで割る事によりΔｘとなり、あとはこの層を足し合わせる、積分すれば補正値が求まる、という事になります。

「ホーキングさんが考えたこと・１３」で示しました様に、ホライズン上空に２倍のホライズン半径にあたる距離までの放出層を考えればまずは十分であろうとしました。

ここでWolfram|Alphaさんの出番です。＜－－リンク
「微積分と解析 」を選んで「定積分」に行きましょう。
クリックすると何やら出てきます。
積分範囲と式(１/Ｘ^６)（１－ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘ）を入力（コピペ）しましょう。
少々苦労するやもしれませんが、頑張ってみて下さい。

積分範囲１から２では　　　０．１０１２４
積分範囲１から３では　　　０．１０１７９
積分範囲１から無限では　　０．１０１８３
積分は発散ぜず、ホライズンからホライズン半径の２倍、Ｘ＝３まで層を積み重ねれば十分である事が分かります。

従来方法ではＥｓ＝σ・Ｔｓ^４＊４・Ｐｉ・Ｒｓ^２が単位時間当たりＢＨが放出する全放出エネルギーである、とされていました。
提案方法では補正係数０．１０１７９を掛けたＥ＝０．１０１７９＊Ｅｓが妥当であろう、という事になります。

こうして、ＢＨの寿命は従来の約１０倍にのびる事になった、とそういうお話であります。

注１
しかしながら、いずれにしましてもホーキング温度Ｔが熱力学温度Ｔと同等である、という証明はなされておりません。
そうでありますから、相対比較はこうして可能にはなりましたが、絶対値としての寿命はどうなんだ、という事については、「ＢＨの放射を実測せよ」、あるいは「ほかの方法でホーキング温度Ｔが熱力学温度Ｔと同等である事を証明せよ」が答えになるかと思われます。
↑
観測ロボットさんへ
ホライズン上のホーキング放射強さを１．０としたときＸ＝１．１では０．３２９、Ｘ＝１．２では０．１５０、Ｘ＝１．２５では０．１０５、Ｘ＝１．５では０．０２２４となります。
上記の計算結果からわかる様に「ホーキング放射の起きている現場」はホライズンすれすれの所だけではなく、例えばホライズン上空の距離がＸ＝１．２５という場所でも放射現象は起きておりそれを観測するのはそれほどに「命がけ」という事でもない、ということであります。

ちなみにＢＨの発光の様式、空間発光でしかも指向性を持つような発光体と言うものは人類は今までに遭遇した事が無く、非常に特異的な発光パターンが観測できると予測されます。
それはホライズン中心部からはとても強い光のビームが出ている、それはまるでこちらに照準を合わせているかの様にも見えますが、それに対してホライズン周辺部からはあまり光が出てこない、そういう特異的なパターンを示しますので、まず見間違うという事は起こらないと予想できますので、以上の事をご確認の上測定をされますようによろしくお願いします。

注２
Wolframで１から１．０００１を積分範囲として指定し、実行して「積分の視覚的表現」を見てみると、それぐらいホライズンに近くて薄い層を指定すれば「補正係数は１と出来る」という事が一目瞭然、とても良く分かります。
そしてそれがホーキングさんが世界で最初に見た状況であると思われます。


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ＰＳ
イチロウが引退したみたいだ。
少しショックだけれど「お疲れさん」のコトバを贈りましょう。


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ダークマター・ホーキングさんが考えたこと・１３・ホーキング放射のシミュレーション

論文と言うのはちゃんとまじめに読まなくてはいけません。
「Hawking 輻射とブラックホールの蒸発」山内さんに書いてありました。
『Schwarzschild ブラックホールの表面重力は κ = 1/4M であるので，T = 1/ 8πM となる．
今まで１として扱ってきたプランク定数ｈ と光速 c，重力定数 Gを復活させるとＴ＝ｈｃ＾３／8πkBMGとなる．（kB はボルツマン定数）』
↑
ホライズンの位置での重力の強さを κと書いてκ = 1/4Mとしています。
ホライズン半径Ｒｓ＝２＊G＊M/C^2、そうしてその場所でのＢＨの質量Ｍによる重力加速度をｋとするならばｋ＝Ｇ＊Ｍ／Ｒｓ＾２となります。
従ってホライズンでのｋをｋｓとするとそれは結局ｋs＝Ｃ＾４／４ＧＭとなります。

つまりホーキングさんがやったのは、本当にホライズン上の無限小上空での微小な厚さΔでの解析結果であります。
そこでの解析結果として「黒体放射スペクトルを得た」と言っているのです。
そうして、そうであるならばＢＨは黒体と見なせ、その表面温度はＴ（Ｋ）である、従って後は「Stefan-Boltzmann の法則より云々」とそうなったのでした。


しかしながら実際はその上の層も重力を受けて仮想粒子の対生成をしており、またさらにその上もそうなっていて、そうして発生した仮想粒子がその存在時間中にホライズンにまで到達できる位置まで、ホライズン上空にそうやっていくつもの層が重層的に重なっており、本来はそれらの全ての層からの放射を足しこまなくては、積分しなくては全放射エネルギーは求まらないのでした。

そうして、そのように考えますれば、ＢＨから離れて放射を観測する観察者にとっては、それはもはや「黒体放射スペクトルとはとても呼べないようなスペクトル」になる事は明らかな事であります。
何故ならばホーキング温度Ｔは所定の比例係数とその場所のでの重力の強さｋとの積で表され、ｋはそれぞれの層が存在する位置がＢＨ中心からどれほど離れているか、その距離をｒとすれば、ｒの関数ｋ＝Ｇ＊Ｍ/ｒ＾２となるからであります。
ちなみにホライズン半径Ｒｓでの重力強さはｋｓでしたがホライズン半径の倍の位置の重力強さは（１/2)^2＊ks、距離が３倍ですと（１/3)^2＊ksとなります。
（ＢＨの質量Ｍによらないので、この表現方法は便利です。）

さてそうなりますと、ホーキング放射を出している一番下の層の温度が一番高く、その上の層の温度はそれよりも少し低く、その上はもっと低く・・・そうやっていくつもの層の重なりでのそれぞれの温度を算出し、その温度での放射スペクトルを仮想粒子がホライズンに届くかどうかを確認しながら、その各層のスペクトルを全部足しこんで、ようやく質量Ｍの時のＢＨの放射スペクトルが求まる、そういう事の様です。
そして、その放出層の積分に似た和分を取る範囲はホライズンからちょうどホライズン半径分だけ上空まで行えば実用上は問題がなさそうであり、厳密に、というのでもホライズン半径の２倍までの上空で十分の様に思われます。

各層のスペクトルを足しこむ際には、その層が持っている表面積がホライズンの表面積の何倍にあたるか、それを比例乗数としてその層のスペクトルにかける事を忘れてはいけません。
加えて粒子発生層がホライズンから離れるに従って、対生成した仮想粒子の片方が何時もすべてホライズンに向かう、とは限らず、ロスが発生する事も考慮する必要があります。

このような各層ごとのスペクトルの足し合わせ、と言うのは当該のＢＨには常にホーキング放射で失われたエネルギーが外部から補給される、つまり外部と熱平衡状態にある、という事を前提にしています。
実際にはそのような状況は例の２．７Ｋの宇宙放射とつり合いにあるＢＨでしか実現されていませんが、質量ＭのＢＨの実際のホーキング放射スペクトルを求める、というのであれば、そのようにするのが妥当であります。

そうして、そのようにして足しあわされたスペクトルはもはや黒体放射スペクトルの形状ではなくなり、そうしてそのスペクトルの持つ意味も本来の分光放射輝度Ｉ（ｖ、Ｔ）と言う意味ではなく、ＢＨのホーキング温度Ｔに対応した周波数別の放射の相対確率と見なすべきものへと変わります。＜－－リンク
そうやってＢＨの質量Ｍの数値ごとにスペクトルで表された周波数別の放射確率を決定する事ができます。
それができましたら、あとは仮想粒子の対生成が起こる位置、そして放射の起こる方向、それから周波数（つまり仮想粒子が持つことになるエネルギーの大きさ）それについてはスペクトルとして表された相対確率の大きさを考慮しながら、モンテカルロ法を使ってホーキング放射をシミュレートする、という事が可能になると思われます。

注１
上記でも述べましたが、各層のスペクトルを足し合わせた形状は温度Ｔの黒体放射スペクトルに対してピーク位置は周波数が低い方にずれ、また周波数の高い方のスペクトルは低い値に抑制された形になります。
つまり、温度Ｔの黒体放射を想定した場合よりも全放射エネルギーは抑えられる、したがってＢＨの寿命はその分だけのびる、という事になります。

注２
スペクトルを足し合わせたものが相対確率になる、と書きましたが、これは質量Ｍ１の時のスペクトルと質量Ｍ２の時のスペクトルを比較すれば相対的にどちらの場合の方が放射が起こりやすいかは決める事ができる、つまり放射効率の比較はできる、という意味になります。
しかしながら、絶対値としてのＢＨのホーキング放射効率、質量ＭのＢＨの時間当たりのホーキング放射での全放射エネルギーについては実測値は存在せず、したがって計算で得られた相対確率に時間をいれて放射効率（Ｗ）とする事は今のところは出来ない、という事になります。
それでも量子論で「あからさまにＷが明示されたホーキング放射の計算」が出来るのであれば話は変わってくるのでしょうけれど。
それもなかなか難しいものと思われます。

注３
以下、ご参考までに。
「重力崩壊するダスト時空の量子化による 厳密な Hawking 輻射の導出」＜－－リンク
『・・・先ほどは地平面付近で近似をしたが、厳密な積分は級数展開することによって求められる。
最も優勢な項が (23) 式を与え、その他の項は補正項となる。
|β| 2 に対する最もの単純な補正項を計算すると、 |βωω′ | 2 ( 1 + 4 (3 + 10E) 2 ) (24) などとなる。
これは Graybody factor と言われる Planck 分布に対する補正因子となる。』
↑
ホライズン上空に多層に重なる放射層を考えると、ホーキング放射は黒体放射スペクトルからずれる、というお話の様です。


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ダークマター・ホーキングさんが考えたこと・１２・マイナス質量のＢＨについて

相対論は座標変換の話、ＥＭＡＮの物理ではそういっています。
そうして、やっぱり頭が混乱します。
この状況は量子論の意味を考えると頭が混乱する事に似ています。
（量子論の意味＝物理的実在というしろもの）

さて「ホーキングさんが考えたこと・６」で「そうして我々の宇宙は別にマイナス質量のＢＨの存在を禁止している様には思えないのです。」と書きました。
まあ言いっぱなし、というのも何ですから、それなりにこのＢＨの事を考えてみるとしましょう。

さて、我々がＢＨを作ろう、と言う時には通常は「ホライズンの内側に物質を閉じ込めればよい」のでした。
重力頼りでそれを行うには、太陽の３倍程の質量の星を用意して、重力崩壊させる。
それでＢＨの一丁上がり、という訳です。

もう一つは宇宙の始まりの時に、空間の揺らぎ、物質存在の揺らぎ、この関係で質量密度が一定値を超えるとＢＨになる、これを原始ＢＨというのでした。
その場合は特にＢＨのトータル質量には制限はなく、軽いＢＨも誕生可能という事です。


それでここにマイナス質量の物質があったとしましょう。
その物質はお互い同士反発しあいますから、それをひとまとめにしておくには力が必要です。
そうして、その力を次第に強めていくことでマイナス質量物質の密度を高め、ホライズンの中に押し込めばマイナス質量ＢＨの一丁上がり・・・となるかどうか、調べてみなくてはいけません。

さてそれでここは「シュワルツシルト解のお世話」になるとしましょう。＜－－リンク
ちなみにこの解を求める時に「質量ＭはＭ＞０でなくてはならない」などと言う条件はどこにも書いてありません。
従いまして、Ｍ＜０であってもこの解は有効である、と判断できそうです。
ご参考までに「この解の求め方がＥＭＡＮ物理」にありますので、参照願います。＜－－リンク


まあこの解の結果としてホライズン半径ＲｓがＲｓ＝２＊Ｇ＊Ｍ／Ｃ＾２となるのでした。
さて、そうであればまずはここにマイナス質量物質を１ｋｇ、用意しましたのでそのホライズン半径を求めてみましょう。
Ｒｓ＝－１．４９＊１０＾－２７（ｍ）

大きさの絶対値はプランク長よりだいぶ大きいので、「それなりの力持ちの方」であれば握りつぶせば何とかなりそう、ではあります。
しかしながら問題はそこではなく、Ｒｓにマイナスが付いている事でありましょう。
この事はつまり「握りつぶし法」では「マイナス質量のＢＨには達成不可能である」という事を示している様です。
マイナス質量物質を「体積ゼロ、質量密度無限大」にまで握りつぶしてもその大きさは「ゼロ」でしかなく　０＞－１．４９＊１０＾－２７（ｍ）でありますから。
別のやり方を探すのが賢明というものです。


そこで登場するのが「ホーキングさんが考えたこと・６」で示した「トンネル・ホーキング放射法」であります。
まずはＢＨの外形をプラス質量で確保しておく。
そのあとでＢＨの中心にある特異点の質量をプラスからマイナスへ一気にジャンプさせる、というものです。（注１）
この方法であれば、マイナス質量の物質を集めてきて握りつぶす、という方法を取らずにマイナス質量のＢＨが完成しそうです。

そしてもしこのＢＨにホライズンがあるとすれば、それは我々の暮らすこの３次元世界ではなく、どうやら別の世界にある、という事になりそうです。
それはつまり「このＢＨは我々の世界ではホライズンを持たない」という事でもあります。

ＰＳ
以下、マイナス質量のＢＨがホライズンを持たない、という事の別の表現になります。
↓
通常はミンコフスキー空間はシグネチャー（－１、＋１、＋１、＋１）を持つとされている様です。＜－－リンク
そうして、我々が暮らす空間はこのミンコフスキー空間であって、それゆえに空間軸と時間軸が区別できる様です。

そして通常はこの空間でのシュワルツシルト解の形はＥＭＡＮ物理にある様にｄｗ（＝ｄｔ）の前の係数符号がマイナスでありｄｒのそれはプラスになっています。
しかしホライズンを超えてＢＨの中に入るとこの符号が逆転します。
それはつまり、ＢＨの中はミンコフスキー空間ではない、ということであって、ホライズンはこの２つの空間を分ける役割をしている様です。

さて、マイナス質量をもつとされるＢＨの場合はこの関係はどうなるのでしょうか？
係数符号の動きを＋∞から中心にある特異点まで、距離ｒを変えながら調べますとｄｗ（＝ｄｔ）の前は常にマイナス、ｄｒの係数は常にプラスである事がわかります。
それはつまり、「特異点に至るまでミンコフスキー空間が続いている」という事であり、したがって「そこにはホライズンは存在しない」という事になりそうです。

そして「トンネル・ホーキング放射」で特異点の質量がプラスからマイナスにジャンプすると同時にホライズンが消滅し、ＢＨ内の空間もまたミンコフスキー空間に切り替わるのであります。
そうして、ホライズンを持つことをＢＨと呼ぶ条件であるとするならば、このＢＨはもはやＢＨとは呼ぶ事は出来ず「マイナス質量をもつ裸の特異点」と呼ばれる事になりそうです。

（注１）
特異点質量のプラスからマイナスへのジャンプについて
我々の感覚からすると「質量がプラスからマイナスへジャンプする」などという事はなかなか受け入れる事が難しいのです。
「どうしてそんな事が出来るのだ」という疑問が先立ちます。
しかしながら、それでいてホーキング放射でＢＨの質量が順次減っていく事にはあまり疑問を持ちません。
「エネルギーが出て行ったのだから、その分質量が減るのは当然だ」ととらえています。

しかしながらよおく考えますれば、放射の前後で両方ともに質量がプラス領域にある、とはいえホーキング放射によって中心にある特異点の質量がＭからＭ－αにジャンプするメカニズムは実の所、何もわかってはいないのであります。
ただそのような現象が起きている、という様に認めているにすぎません。
そうして、その時でさえ質量はＭからＭ－αにジャンプしているのですから、そのようなジャンプはホーキング放射の結果としては当然起こるものであるとＢＨは思っている事でしょう。
そうして当該のＢＨにとっては、ＢＨ人生での最後のジャンプがたまたまプラス領域からゼロをまたいでマイナス領域へのジャンプであった、という事にすぎないのであります。


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ダークマター・ホーキングさんが考えたこと・１１・ブラックホールの寿命計算について（２）

以下の議論については「Hawking 輻射とブラックホールの蒸発」山内さんを参照しながらのものになります。
しかしながら、最初におことわりしておかなくてはならない事は、これは上記論文への批判ではない、と言う事であります。
ただ単にこの論文が「ホーキング放射とＢＨの寿命」についてよく分かる説明をしているから参照しているのであって、他に他意はございません。
その意味では論文著者の山内さんには感謝する次第であります。

さてまずは重力場での粒子生成についての部分です。
所定の重力がある場所では仮想粒子対の生成と消滅が、重力場のない空間よりも頻繁に起こっている、そう解釈できそうです。
但し通常は不確定性原理で許される存在時間しか、仮想とはいえ、存在できない様です。

しかしここにＢＨに起因するホライズンがあると、対生成した仮想粒子の一方が「必ず」ホライズンに飛び込むので、その相方の粒子は実粒子化しホライズンから離れてゆく、つまりこれがホーキング放射である、そう言っておられます。
そのようにして多くの粒子がホライズン近傍の空間から飛び出してくる、それをエネルギー別に数え上げてみるとなんと黒体放射スペクトルと一致するではないか、これがホーキングさんが見つけた事の様であります。
そうして、その際にプランクの法則と照らし合わせる事でプランク則の温度Ｔに相当する部分が
Ｔ＝ｈ＊Ｃ＾３/(８＊pi＊Ｋｂ＊Ｍ＊Ｇ）
こんな風に書ける、と言う事でした。

そうして、「それじゃあＢＨは黒体と見なせ、その温度が計算できたのだから、エネルギー放射も計算できるよね」と言う様にロジックがつながっていくのでした。
しかしながら、Ｔ＝ｈ＊Ｃ＾３/(８＊pi＊Ｋｂ＊Ｍ＊Ｇ）が本当に従来使われていた温度と同じものなのか、そこがどうも怪しい、と言うのが最初の疑問です。

確かにその量を温度としてプランク則を使えばホライズン近傍から出てくる粒子のエネルギー分布は求められるのでしょうが、そのエネルギー分布を得るのにどれくらいの時間が必要だったのか不明の様です。
１秒でそれだけの粒子が飛び出してきたのか、それとも１時間観測しないとエネルギー分布のグラフが「連続したグラフ」にならないのか、いいかえますと単位面積、単位時間当たりにホライズン近傍の空間から外に向かって（あるいは観測者に向かって）飛び出す粒子数が不明である様に見えます。

そこの所が不明のまま、「いやこれは温度と見なせるから云々」というのでは、どうにも納得がいかないのです。

そうして、２番目は「ホライズン近傍」というあいまいな場所の定義です。
一体その層の厚さはどれくらいなのか？
そうして、その層はいわゆる「ホーキング温度Ｔ」で厚みがかわるのかどうか、そこが不明です。
粒子が放出される真空層の厚みは、不確定性原理によって制限を受ける事になる仮想粒子の到達距離との関係で重要になる所です。


さて、以上の様に不明なところがあるのですが、まあある程度の前提をおきながらの概算計算を以下に示します。
但しこれは一応のめどであり、「こんな風になるかなあ」程度のものとお考え下さい。

前提としては、諸式運用は従来のやり方を踏襲する。
但しホライズン上空の粒子が発生する真空層の厚さは不確定性原理による制約をくわえるものとする、という事になります。
↑
発生する平均的な粒子一つ当たりのエネルギー、これは温度Ｔに比例すると考えてよさそうですが、そのエネルギーが倍になれば存在時間は半分となり、従ってほぼ光速で移動すると考えられる仮想粒子の走行距離は半分となる。
そうなると、粒子が発生する事になる真空層の厚さは半分になると仮定するのが妥当の様に思われます。

計算のスタートとなるＢＨの質量をミニＢＨとしてずうっと取り上げてきたＭ＝１．７３＊１０＾１１Ｋｇとします。
この質量は従来計算ですと「ビッグバン直後に作られ、今頃蒸発するはず」のＢＨ質量になります。

このＢＨが出来た直後のＢＨ温度ＴはＴ＝７．０９＊１０＾１１（Ｋ）です。
その時の典型的なニュートリの走行距離は３．２５＊１０＾-１５（ｍ）であり、これがホライズンへの到達限界距離となります。
（これは陽子直径の８分の１程度の距離になります。）

このＢＨの温度がホーキング放射を出す事によって質量がへり、温度上昇してちょうど２倍の値になると、仮想粒子の到達距離は半分になる事になりますが、これを計算式の中に含めなくてはなりません。
その比例係数をＲｋとしますと、それは従来の温度Ｔでの全放出エネルギーＥ（Ｔ）を表すもの、それはStefan-Boltzmann の法則そのものでありますが、それに掛け算され、Ｒｋ＊Ｅ（Ｔ)が修正された全放出エネルギーを表す事になります。

そしてその比例係数Ｒｋは、今回はＲｋ＝（７．０９＊１０＾１１）/Ｔという形になります。
つまり、計算スタート時には修正式を使った放出エネルギー計算は修正前のものと同じ値になる、但し温度上昇に従ってその値は徐々に少なくなる、と言う様になります。

この修正をくわえて、以下の諸式運用は前掲の論文に従って行ってください。
以下結果のみを示します。

修正前のＢＨの寿命式：Ａ
ｔ＝（8.4１E-17）＊Ｍ＾３（Ｓｅｃ）

修正後のＢＨの寿命式：Ｂ
ｔ＝１２３８０００００/（７．０９＊１０＾１１）＊Ｍ＾２（Ｓｅｃ）

Ｍ＝１．７３＊１０＾１１Ｋｇ（今回のスタート条件）の時の寿命。
Ａ式ーー＞ｔ＝435445999700000000ｓｅｃ＝１３８億年（宇宙年齢と同じ）
Ｂ式ーー＞ｔ＝5227314502983070000ｓｅｃ＝１６５８億年
修正式ＢによればＢＨの寿命は１２倍に伸びます。
ちなみに修正式Ｂによれば１３８億年で寿命となるＢＨ質量は０．５＊１０＾１１Ｋｇとなります。

Ｍ＝２５００００Ｋｇ（２５０トン）に到達してから・・・寿命まで。
Ａ式ーー＞ｔ＝１．３１４ｓｅｃ
Ｂ式ーー＞ｔ＝10916073ｓｅｃ＝１２６．３日
Ａ式では「爆発的」ですがＢ式では「それほどでもない」のです。

ちなみにＢ式で１．３２秒経過後に寿命となる質量は８７Ｋｇです。
この質量が１秒強でエネルギーに変わるのですから、地球上では「すさまじい爆発」と言う事になりますが、さて宇宙規模で考えますと「線香花火」でしょうか。
とてもガンマー線バーストと呼べるような現象につながる様には思えません。


以上の計算は「まあこんな事も考えられるので、もう少し真面目にＢＨの寿命計算はしないといけないよね」という例題であり、参考資料と言う事になります。

注１）
上記の修正式Ｂは基準点にＢＨ質量Ｍ＝１．７３＊１０＾１１Ｋｇを使っていますので、この質量以下のＢＨの寿命推定は出来ますが、この質量をこえるＢＨについては新たにその質量を基準点として、上記の考え方でキャリブレーションし直す必要があります。
つまり、この修正方法は２つの計算方法のスタートラインを合わせる質量によって、いくらでも異なる修正式が生まれる、と言う事です。

この任意性をなくすためには、重力場がある真空での単位体積あたりに生じている仮想粒子対のエネルギー分布とその個数、つまりは単位体積当たり単位時間で生じる仮想粒子対についての量子論からの計算結果が必要である、と言う事になるのです。

それができていれば、後はホライズンからの距離を考慮してホーキング放射の全エネルギーをStefan-Boltzmann の法則を使う事なく決める事が出来ます。
つまりはＢＨの寿命を正確に決定できる、と言う事になると思われます。

注２）
そしてＢＨが消えるかどうかの瀬戸際、ホライズンの半径が１００プランク長を切る辺りからは、このホーキング放射プロセスは古典論近似計算からはなれて、離散的、確率的に計算を進める事が必要だと思われます。
そうやって何が起こるのか、本当にＢＨが消える事が出来るのかどうか、確認する事が必要であります。


以上の内容についてのコメント、ご感想などは
・不確定性原理と仮想粒子の対生成までお願いします。＜－－リンク


http://archive.fo/bh930
http://archive.fo/GW7V0