「ホーキング放射の一般解」の導出
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さてＢＨはＰbhの運動量をもって運動している。
そうしてそのＢＨの静止質量はｍ。
その時は一般論として相対論的なエネルギーの扱い（注１）よりBHのエネルギーEは
Ｅ＾２＝Ｐbh＾２＋ｍ＾２
となります。
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さてそれで運動しているＢＨに仮想粒子が運動量Ｐで飛び込みます。
当初のＢＨのエネルギーはこうでした。
Ｅ＾２＝Ｐbh＾２＋ｍ＾２
ホーキング放射はマスレスmassless粒子でおきるのでした。これはホーキングのホーキング放射定式化の前提でもあります。
そこに質量ゼロの仮想粒子が運動量Ｐを運びこみます。
ここで仮想粒子が持っている運動量Pの方向は任意とします。
その結果、ＢＨは運動量Ｐbh＋Ｐで動き出します。
ただし運動量の合成はベクトル合成になります。
その時のＢＨの相対論的なエネルギーＥ２は
Ｅ２＾２＝（Ｐbh＋Ｐ）＾２＋ｍ２＾２ ・・・②式
ここでｍ２はＢＨに仮想粒子が運動量Ｐを運びこんだ後のBHの静止質量で、（Ｐbh＋Ｐ）はベクトル合成したベクトルの大きさ（＝絶対値）となります。。
一方でマスレスmassless粒子が運動量Ｐを持つ時のエネルギーＥ１は
Ｅ１＝Ｐ＊Ｃ となります。
それでこれはＣ＝１の自然単位系では、
Ｅ１＝Ｐ となります。
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さてエネルギー保存則よりBHのもともと持っていたエネルギーEにそこに飛び込んだ仮想粒子が持っていたエネルギーE1を足したものは、仮想粒子吸収後のBHの持つエネルギーE2に等しくなります。
従って
E＋E1＝E2
つまり
ｓｑｒｔ（Ｐbh＾２＋ｍ＾２）＋P＝ｓｑｒｔ（（Ｐbh＋Ｐ）＾２＋ｍ２＾２）
両辺を二乗してｍ２＾２について整理すると
（ｓｑｒｔ（Ｐbh＾２＋ｍ＾２）＋P）＾２－（Ｐbh＋Ｐ）＾２＝ｍ２＾２
ｍ２＾２＝（ｓｑｒｔ（Ｐbh＾２＋ｍ＾２）＋P）＾２－（Ｐbh＋Ｐ）＾２ ・・・①式
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この時仮想粒子に真空が貸し出したエネルギーは、仮想粒子２個分だから
２＊Ｅ１＝２＊Ｐ です。
このエネルギーを真空は仮想粒子が飛び込んだＢＨから回収するのだから、結局、ホーキング放射を出した後のＢＨのエネルギーＥ３は
Ｅ３＝ｓｑｒｔ（（Ｐbh＋Ｐ）＾２＋ｍ２＾２）－２＊Ｅ１
＝ｓｑｒｔ（（Ｐbh＋Ｐ）＾２＋ｍ２＾２）－２＊Ｐ ・・・②式
となる。
但しこの②式の中のｍ２はホーキング放射を出す前のＢＨの静止質量＝ＢＨに仮想粒子が運動量Ｐを運びこんだ後のBHの静止質量
さてそれで質量ｍ１のＢＨが運動量（Ｐbh＋Ｐ）で移動している時の相対論的なエネルギーは
ｓｑｒｔ（（Ｐbh＋Ｐ）＾２＋ｍ１＾２） ・・・③式
です。
ここでｍ１はBHがホーキング放射を出した後のBHの静止質量を示す。
そうして当然、②式と③式は同じ状態のBHのエネルギーについての計算だから
②式＝③式 となる。
従って
ｓｑｒｔ（（Ｐbh＋Ｐ）＾２＋ｍ２＾２）－２＊Ｐ＝ｓｑｒｔ（（Ｐbh＋Ｐ）＾２＋ｍ１＾２）
両辺を二乗して
（ｓｑｒｔ（（Ｐbh＋Ｐ）＾２＋ｍ２＾２）－２＊Ｐ）＾２＝（Ｐbh＋Ｐ）＾２＋ｍ１＾２
ｍ１＾２を左辺に移動（ｍ１＾２について解く）
ｍ１＾２＝（ｓｑｒｔ（（Ｐbh＋Ｐ）＾２＋ｍ２＾２）－２＊Ｐ）＾２ー（Ｐbh＋Ｐ）＾２
ｍ１について解くと
ｍ１＝ｓｑｒｔ（（ｓｑｒｔ（（Ｐbh＋Ｐ）＾２＋ｍ２＾２）－２＊Ｐ）＾２ー（Ｐbh＋Ｐ）＾２）
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さてホーキング放射を出した後のBHの質量ｍ１はゼロ以上である事が必要です。
従ってルートの中身
（ｓｑｒｔ（（Ｐbh＋Ｐ）＾２＋ｍ２＾２）－２＊Ｐ）＾２ー（Ｐbh＋Ｐ）＾２
はゼロ以上である事が必要です。（注２）
それで上記式を展開して整理すると
（（Ｐbh＋Ｐ）＾２＋ｍ２＾２）ー２＊２＊Ｐ＊ｓｑｒｔ（（Ｐbh＋Ｐ）＾２＋ｍ２＾２）＋４＊P＾２－（Ｐbh＋Ｐ）＾２
＝ｍ２＾２ー４＊Ｐ＊ｓｑｒｔ（（Ｐbh＋Ｐ）＾２＋ｍ２＾２）＋４＊P＾２
＝（ｍ２＾２＋４＊P＾２）ー４＊Ｐ＊ｓｑｒｔ（（Ｐbh＋Ｐ）＾２＋ｍ２＾２）・・・④式
④式が注目すべき関数です。
ここで（Ｐbh＋Ｐ）＝R と置き換える（この置き換えはウルフラムに入れる為に必要）
これをターゲット関数④式に代入して
（ｍ２＾２＋４＊P＾２）ー４＊Ｐ＊ｓｑｒｔ（（Ｐbh＋Ｐ）＾２＋ｍ２＾２）
＝（ｍ２＾２＋４＊P＾２）ー４＊Ｐ＊ｓｑｒｔ（R＾２＋ｍ２＾２）・・・⑤式
さてｍ２＾２は①式より
ｍ２＾２＝（ｓｑｒｔ（Ｐbh＾２＋ｍ＾２）＋P）＾２－（Ｐbh＋Ｐ）＾２
ここでも（Ｐbh＋Ｐ）＝R と置き換えると
ｍ２＾２＝（ｓｑｒｔ（Ｐbh＾２＋ｍ＾２）＋P）＾２－（Ｐbh＋Ｐ）＾２
＝（ｓｑｒｔ（Ｐbh＾２＋ｍ＾２）＋P）＾２－R＾２・・・⑥式
ターゲット関数⑤式に⑥式を代入して
（ｍ２＾２＋４＊P＾２）ー４＊Ｐ＊ｓｑｒｔ（R＾２＋ｍ２＾２）
＝（（（ｓｑｒｔ（Ｐbh＾２＋ｍ＾２）＋P）＾２－R＾２）＋４＊P＾２）ー４＊Ｐ＊ｓｑｒｔ（R＾２＋（（ｓｑｒｔ（Ｐbh＾２＋ｍ＾２）＋P）＾２－R＾２））
ここでPbh＝Q と置き換えると（この置き換えもウルフラムに入れる為に必要）
上式＝（（（ｓｑｒｔ（Q＾２＋ｍ＾２）＋P）＾２－R＾２）＋４＊P＾２）ー４＊Ｐ＊ｓｑｒｔ（R＾２＋（（ｓｑｒｔ（Q＾２＋ｍ＾２）＋P）＾２－R＾２））・・・⑦式
以上で準備終了です。
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さてそれで⑦式をウルフラムに入れて整理すると
実行アドレス
「m，P，Q，Rを実数と仮定した場合の別の形」を経て最終的に
「m，P，Q，Rを正と仮定した場合の別の形」＝「整理された形」を得る（注３）
整理された形
－２P＊ｓｑｒｔ（ｍ＾２＋Q^2)＋（ｍ＾２＋Q^2）＋P^2－R^2 ・・・⑧式
この式の値がゼロ以上である事がこのBHがホーキング放射を出すことが出来る仮想粒子の運動量Pを決めている。
なんとなれば「ホーキング放射を出した後のBHの質量はゼロ以上である事が必要だから」ですね。
そうであれば ⑧式≧０がホーキング放射の起きる事が可能である事を示す判定式、ホーキング放射の一般解となります。
但しここでQ＝PbhであってそれはこのBHが最初に持っていた運動量の大きさ、ｍは仮想粒子が飛びこむ前のBHの静止質量、PはBHに飛び込んだ仮想粒子の運動量の大きさ（＝Pベクトルの絶対値）。
そうしてRはR＝（Ｐbh＋Ｐ）で（Ｐbh＋Ｐ）は当初のBHの運動量ベクトルＰbhとそのBHに飛び込んだ仮想粒子の運動量Pをベクトル合成したベクトルの大きさ（＝絶対値）となります。
従ってm，P，Q，Rの値はいずれもゼロ以上の値となり⑧式成立の条件を満たします。
以上が「ホーキング放射の一般解の導出」となります。
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注１：ういき 静止エネルギー： https://archive.md/cVn2L ：によれば
『特殊相対性理論によれば、運動する物体のエネルギーは次の式で表される。
Ｅ＝ｓｑｒｔ（ｍ＾２＊Ｃ＾４＋Ｐ＾２＊Ｃ＾２）
ここで、Ｅ はエネルギー、ｍ は質量、Ｐは運動量、Ｃ は光速である。』
但しこの場合運動量Pはもともとベクトルであるがこの式に代入するPはその運動量ベクトルの大きさ（＝絶対値）を代入するのである。
これを書き換えると
Ｅ＾２＝Ｐ＾２＊Ｃ＾２＋ｍ＾２＊Ｃ＾４
となる。
そうしてＣ＝１の自然単位系をもちいるならば
Ｅ＾２＝Ｐ＾２＋ｍ＾２
となる。
注２：ここが「相対論がホーキング放射を制約する」という話のキーポイントです。
ここでルートの中身がマイナスに落ちると、ホーキング放射を出した後のBHの質量ｍ１は虚数となります。
そうしてマイナスの質量、と言うのはある程度は想定できるが、虚数の質量と言うのは相当に現実的ではない。
従ってこの条件がBHがホーキング放射として出すことが出来る仮想粒子のエネルギーの大きさを制約している事になります。
それでこの条件はBHの質量がプランクスケールよりも相当に大きい場合は無視できますが、プランクスケールに近づくにつれて無視できなくなるのです。
注３：ここでウルフラムの存在の大きさについて言及せざるを得ません。
そうして当方の諸式運用の力では⑦式から⑧式への簡約はほとんど絶望的である。
これはもうウルフラムの力技に脱帽、おんぶにだっこ状態である。
ちなみにいまはやりの ChatGPTでもトライしたが、途中までは簡約できるが最終解には到達できなかった。
ChatGPTもそれなりにやる事はやるがウルフラムの数式処理能力とは比較にならない模様です。
