ダークマター・ホーキングさんが考えたこと・２６・ＢＨ（ブラックホール）は消滅可能なのか？（４）

さてそれで、本来はこのページではＢＨがマイナス質量にジャンプするという内容になるはずでした。
「ホーキングさんが考えたこと・６・その後のＢＨの運命」での予想ではそうなっていましたし、＜－－リンク
「ホーキングさんが考えたこと・１６・ホーキング放射のシミュレーション（４）」の計算では実際にジャンプしていました。＜－－リンク

そうして、この記事をアップする前に書き上げた「２６番目の記事」では確かに「マイナスジャンプは起こっている」様に見えました。
そう言う訳で、一つ前の記事の終わりに
『さてそれで、⊿Ｅ＝０．４＊Ｅと言うような条件でのホーキング放射はＢＨが小さくなるにつれて起こりにくくなるのですが、このレベルまでＢＨのサイズが小さくなりますと逆に「高いエネルギーでのホーキング放射が可能となる確率」が増加してきます。
その結果、このＢＨはどうなっていくのか、それは次のページ以降にて検討することと致しましょう。』
などと言う様に、「思わせぶりな書き方」をしました。
（今はそこの文章は削除されています。）

しかしながら、ひと休みしていると「あそこが手抜きだ」というのが浮んでくるではありませんか！
それで、そこを直そうとすると傷口は広がっていくばかりです。
そうしてとうとう「この記事はおしゃかだ」と言う事になってしまいました。

「ホーキングさんが考えたこと・１６」での計算では運動量保存則が考慮されていませんでした。
そうして、今回運動量保存則を考慮した計算を行っているのですが、どうやらそうしますと「ニュートリノ放射によるＢＨのマイナス質量へのジャンプは起こらない」という結果になりそうです。

この結論は個人的には「残念なもの」ではありますが、その結論を変更できる手段が見あたらない現状においては、それを認めるしかない様です。
運動量保存則は「ＢＨは消滅できない」を証明する時には当方には優しかったのですが、どうやら今回はそのようではなく、厳しいものになっています。


以下はそのようにして否定されてしまったロジックになります。
↓
『さてそれで、前ページで宣言した事「⊿Ｅ＝０．４＊Ｅ」と言う条件ではなくもっと大きな⊿Ｅでもいいのでは、ということについて考えましょう。
もともとの議論は
Ｍ＝ｓｑｒｔ（(（Ｅ－⊿Ｅ）＾２-Ｐ＾２＊Ｃ＾２)/C^4)
の式でＢＨの仮想ニュートリノ吸収後のＢＨの質量が決まるのでしたが、その際にはルートの中がマイナスでは困る、というものでした。
それで、ルートの中がマイナスにならない条件は
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＞Ｐ＾２＊Ｃ＾２　です。

そうして今までは「暗黙の了解」で
（Ｅ－⊿Ｅ）＞０
としてきました。
しかしながらこれとは別に
（Ｅ－⊿Ｅ）＜０
であっても
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＞Ｐ＾２＊Ｃ＾２　が成立していればいいのです。
それはつまり
「ＢＨのニュートリノ吸収後の全エネルギーがマイナスでもかまわない」と言う事です。

但しその場合は
Ｍ＝ｓｑｒｔ（(（Ｅ－⊿Ｅ）＾２-Ｐ＾２＊Ｃ＾２)/C^4)
で計算されるＭはＭ＜０となる事になります。
これはもともと上記の式が
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＝Ｐ＾２＊Ｃ＾２＋Ｍ＾２＊Ｃ＾４
から変形され、その際にルートの前の符号がプラスを、これも「暗黙の了解」で選択していたからであります。
そうであれば今回の検討では
Ｍ＝ーｓｑｒｔ（(（Ｅ－⊿Ｅ）＾２-Ｐ＾２＊Ｃ＾２)/C^4)
という式を使う事になります。

そうして、
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＞Ｐ＾２＊Ｃ＾２
のような状況が成立する為には、事前検討によれば、マイナスエネルギーにジャンプする際にそのＢＨに飛び込む仮想粒子の持つエネルギーとその飛び込む方向、つまり飛び込む前にＢＨが持っていた運動量の方向と、今回、そのＢＨに飛び込む仮想粒子が持っている運動量の方向が重要になる事が分かっています。
その条件とは「ＢＨが持っていた運動量を打ち消すような方向で仮想粒子がＢＨに飛び込む事」と言い表す事が出来ます。

たとえば、多少の過不足はあってもＢＨの運動方向とま逆の方向に仮想粒子が飛び込みますと、ＢＨの運動量Ｐの絶対値は減少する事になります。
その様にできれば
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＞Ｐ＾２＊Ｃ＾２
という条件を満足させる事ができる、という訳です。』

こうして、ロジックの上では一応の勝算がある様に見えました。
しかしながら、具体的に計算をはじめますと
『（Ｅ－⊿Ｅ）＜０
であっても
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＞Ｐ＾２＊Ｃ＾２　が成立していればいいのです。』
を満足させる事ができません。
その理由を以下に示します。


もともとの出発点は以下の式になります。
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＝（Ｐ＊Ｃ）＾２＋（Ｍ＊Ｃ＾２）＾２
ここで⊿ＥはＢＨからニュートリノがホーキング放射で持ち去る事になるエネルギー
⊿Ｅ＝Ａｂｓ（Ｐ１＊Ｃ）
を表します。
そしてＰ＊ＣはＢＨに仮想粒子が持ち込んだ運動量Ｐ１ともともとＢＨが持っていた運動量Ｐ０のベクトル加算値になります。

さてそれで、仮想粒子が飛び込む前のＢＨは以下の式を満足していました。
Ｅ＾２＝（Ｐ０＊Ｃ）＾２＋（Ｍ０＊Ｃ＾２）＾２
ここでＰ０はＢＨの運動量、Ｍ０はＢＨの静止質量となります。
これは３平方の定理で斜辺がＥの直角三角形です。
従って
Ｅ＞Ｐ０＊ＣかつＥ＞Ｍ０＊Ｃ＾２が成立します。

次にホーキング放射条件式
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＞Ｐ＾２＊Ｃ＾２　
は
Ｅ－⊿Ｅ　の絶対値が
Ｐ＊Ｃ　の絶対値より大きい、という事を要求しています。

そうであれば、我々はＰ＊Ｃの絶対値をミニマムにしなくてはなりません。
そのミニマム条件とはＢＨの運動方向とは真逆に仮想粒子がＢＨに飛び込む事、となります。
そのときにＰ＊Ｃは
Ｐ＊Ｃ＝（Ｐ０＊Ｃ－Ｐ１＊Ｃ）と表せます。
そうしてこの場合がＰ＊Ｃの絶対値がミニマムとなります。
そしてこの式は
Ｐ＊Ｃ＝（Ｐ０＊Ｃ－⊿Ｅ）と変形できます。

さてＥ＜⊿Ｅと設定する事で
（Ｅ－⊿Ｅ）＜０　となり
ＢＨの全エネルギーはマイナスになったかの様に見えます。
しかしながら
Ｅ＞Ｐ０＊Ｃ　でしたから（直角三角形の条件です。）
（Ｅ－⊿Ｅ）＞（Ｐ０＊Ｃ－⊿Ｅ）　となり
（Ｅ－⊿Ｅ）＜０　　から
０＞（Ｅ－⊿Ｅ）＞（Ｐ０＊Ｃ－⊿Ｅ）　となります。

つまり（Ｅ－⊿Ｅ）＜０と設定した場合（Ｅ－⊿Ｅ）の絶対値は常に
（Ｐ０＊Ｃ－⊿Ｅ）よりも小さい事になります。

そうして
（Ｐ０＊Ｃ－⊿Ｅ）＝Ｐ＊Ｃ　であることより
Ｐ＊Ｃの絶対値が最小値の場合でも
０＞（Ｅ－⊿Ｅ）＞（Ｐ＊Ｃ）　としかならず
常に（Ｅ－⊿Ｅ）の絶対値よりも
（Ｐ＊Ｃ）の絶対値の方が大きい事になります。

そのために
ホーキング放射条件式
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＞Ｐ＾２＊Ｃ＾２　
は決して成立する事はない、と言う事になります。

つまり
Ｅ＜⊿Ｅと設定する事で
（Ｅ－⊿Ｅ）＜０　となり
ＢＨの全エネルギーはマイナスになったかの様に見えますが、この条件でホーキング放射は起こる事はない、と言う事になるのでした。（注１）

こうしてマイクロＢＨのマイナス質量へのジャンプがエネルギー保存則と運動量保存則から禁止されてしまいましたので、従来予定の「ＢＨはマイナス質量にジャンプしてそこで安定する」という事が言えなくなってしまいました。

そう言う訳で、「それではいったいこのマイクロＢＨはどうなってしまうのか」という事については次回以降と言う事にしたいと思います。

（注１）
この条件でホーキング放射は起こる事はない、と言う事になるのでした。
↑
こんな風に言っていますが、「現在の物理の常識の範囲内ではそのように判断できる」と言うのが正確な表現になります。
つまり「その条件でホーキング放射を可能とする為には現状の物理の拡張が必要である。」と言う事になってきます。


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ダークマター・ホーキングさんが考えたこと・２５・ＢＨ（ブラックホール）は消滅可能なのか？（３）

従来の寿命の計算式は「エネルギー保存則」は明示的に考慮されています。
しかしながら、以下の２つの事を暗黙の了解としています。
①、どんなにＢＨの質量が小さくなっても、ＢＨのホライズン径が小さくなっても仮想粒子はＢＨに飛び込む事が出来る。
　　それゆえどんなに小さなＢＨでもそれまでと同じ様にしてホーキング放射を出す事が出来る。
②、最後にこのＢＨに飛び込む事になる仮想粒子のエネルギーをその時にＢＨが持つエネルギーと同じ値にできる。
　　そうであればこのＢＨはホーキング放射として仮想粒子がＢＨから持ち出すエネルギーによって消滅する事になる。

さらに今回指摘している様に、「運動量保存則」は考慮されていません。
それは「考慮しなくとも良い」かのように扱われています。

それに対して前回の検討では「運動量保存則」を考慮する様にしたものです。
その結果は「計算が⑤の状況ですでに成立しなくなる」という所まで確認できました。

以下は前回の結果の再掲示になります。
この計算ではエネルギーと運動量の保存則を同時に考量しています。
　　　　　　　　 　　　　　　　　　　ニュートリノ吸収後の
　　　ΔＥ　　　　　Ｐ　　　　　Ｅ　　　　　　ＢＨの質量Ｍ
① 2.195E+08　0.73230　　1.956E+09　　1.916E-08　　　
② 2.473E+08　0.82489　　1.736E+09　　1.634E-08　　　
③ 2.884E+08　0.96190　　1.489E+09　　1.297E-08　　　　
④ 3.576E+08　1.19295　　1.201E+09　　8.492E-09　　　
⑤ 5.094E+08　1.69911　　8.429E+08　　------　　　　

そして、そこで指摘した様に「より少ないエネルギーの放射であれば⑤の状況でも可能である事」をコメントしておきました。
従いまして、「話の続きはそこから」と言う事になります。

以下の表より⑤ の状況を再確認して起きます。
　　M（Kg）　Ｔ（K）　⊿Ｍ（Kg）　Ｍ－⊿Ｍ(Kg)　　２＊Ｒｓ／Ｌｐ
④ 1.336E-08　9.186E+30　3.979E-09　9.378E-09　２．４６
⑤ 9.378E-09　1.308E+31　5.667E-09　3.711E-09　１．７２
（ちなみにこの表の計算では運動量保存則が考慮されていません。）

質量は9.378E-09（Ｋｇ）、これはプランク質量の４割程度の値です。
そしてホーキング温度が1.308E+31（Ｋ）。
このホーキング温度で一番発生頻度が高いエネルギーでの放射を計算するとＮＧとなった、と言うのが前回の結果でした。
そして⑤の計算でもホーキング放射前にはＢＨは静止していた、という実際にはありえない条件で解くのですが、これは簡便な計算をする上では仕方がない事でした。

（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＝Ｐ＾２＊Ｃ＾２＋Ｍ＾２＊Ｃ＾４
において今回のホーキング放射のエネルギーが⊿Ｅの時にはＰ＊Ｃの値も⊿Ｅとなっています。
（これが「放射前はＢＨは静止していた」という条件のありがたみです。）

そうなるとホーキング放射の条件式
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＞＝Ｐ＾２＊Ｃ＾２
は
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＞＝⊿Ｅ＾２
となり、整理すると
Ｅ＊（Ｅ－２＊⊿Ｅ）＞＝０
最終的にはＥ＞０である事よりこの条件は
Ｅ－２＊⊿Ｅ＞＝０
従って
Ｅ／２＞＝⊿Ｅ
という事になります。
つまり「その時のＢＨの全エネルギーの半分までのエネルギーを持つホーキング放射であれば可能である」という訳です。

しかしながら通常はホーキング放射前のＢＨが止まっている、という状況は、このＢＨが一番最初にホーキング放射を出した時のみに成立していた状況です。
そうでありますから一般的にはホーキング放射を出す前にＰ＞０であって、従って
Ｅ／２＝⊿Ｅ
と言うような限界条件ではホーキング放射は起こりえない、と言う事になります。
（ホーキング放射を出す前にすでにＢＨは運動量Ｐを持っていた、とすると今回ＢＨに飛び込んだ仮想粒子がもっていた運動量を、ＢＨが持っていた運動量Ｐとベクトル加算する事になり、従って
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＝Ｐ＾２＊Ｃ＾２＋Ｍ＾２＊Ｃ＾４において
この式のＰ＾２＊Ｃ＾２の値はかなりの確率で⊿Ｅ＾２を上回る事が予想できます。
それは結局のところホーキング放射の条件式
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＞＝Ｐ＾２＊Ｃ＾２
がより成立しにくくなる、と言う事につながります。）

そう言う訳でここでは
⊿Ｅ＝＜０．５＊Ｅ
ではなく
⊿Ｅ＝＜０．４＊Ｅ
として以降の話を進めさせていただきます。

ちなみに前回、計算できなくなったエネルギー⊿Ｅは5.094E+08であって、これはＢＨのエネルギーＥの０．６倍になっていました。
このことから分かります事は、ＢＨはこのレベルになると「ＢＨのホーキング温度に対応した黒体放射スペクトルの振動数の高い方の放射はできなくなる」、つまり「ＢＨはハイカットフィルターになる」という事になります。

ここでは計算ステップを小さくする事は可能ですが、話が煩雑になりますので
⊿Ｅ＝０．４＊Ｅ
として⑤のステップを計算しましょう。

Ｍ＝ｓｑｒｔ（（Ｅ－⊿Ｅ）＾２-Ｐ＾２＊Ｃ＾２)/C^4)
において
⊿Ｅ＝０．４＊Ｅ
Ｐ＾２＊Ｃ＾２＝⊿Ｅ＾２
を代入し整理しますと、
Ｍ＝ｓｑｒｔ（０．２）＊Ｅ/Ｃ＾２=０．４４７２＊(ホーキング放射前のＢＨの質量）
となります。

以上より
放射前ＢＨ質量Ａ（Kg）と放射後ＢＨ質量Ｂ（Kg）、放射前ＢＨ直径をプランク長さで割った値を以下に示します。
　　　　Ａ（Kg）　　　　Ｂ（Kg）　　ＢＨ直径/Lp
⑤ 9.378E-09　　　4.194E-09　　　１．７２
⑥ 4.194E-09　　　1.875E-09　　　０．７６９
⑦ 1.875E-09　　　8.387E-10　　　０．３４４
（なお⑥、⑦は⑤と同じ条件で繰り返しホーキング放射をした場合の計算結果です。）

こうしてみると「ホーキング放射前のＢＨはほぼ静止している」という条件と「⊿Ｅ＝０．４＊Ｅ」の条件でホーキング放射は無限に続くかの様に見えます。
その有様は０．４４７２を比例係数とした等比数列になっていますから、そのように見えるのは当然の事になります。
しかしながら、ＢＨの質量が小さくなる、と言う事はＢＨの温度が上がる、と言う事につながりその結果としては、「エネルギーの低い放射が起きる確率が下がる」という結果につながります。


そう言う訳で、次はそのような放射が起きる確率Ｐを計算する事になります。
そうして、実はＢＨのホライズン直径が２Ｌｐを切ったあたりからこのような確率計算が必要になってくる模様です。

さて質量ＭのＢＨのホーキング温度Ｔは
Ｔ＝ｈ＊Ｃ＾３／（８＊Ｐｉ＊Ｋｂ＊Ｍ＊Ｇ）でした。
温度Ｔの時の黒体放射スペクトルでもっとも多く放射されるエネルギーＥpの放射は
Ｅp＝２．８２＊Ｋｂ＊Ｔでした。（プランク則参照）

Ｔにホーキング温度を入れて整理すると
Ｅp＝２．８２＊ｈ＊Ｃ＾３／（８＊Ｐｉ＊Ｍ＊Ｇ）となります。

今回は⊿Ｅ＝０．４＊Ｅ＝０．４＊Ｍ＊Ｃ＾２としています。
この⊿ＥがＥｐの何倍になっているのかを確率計算の目安とします。
Ｒ＝⊿Ｅ/Ｅpに上記を代入して整理すると
Ｒ＝（０．４＊８＊Ｐｉ／２．８２）＊（Ｍ／Ｍｐ）＾２
となります。
ここでＭｐはプランク質量ＭｐでＭｐ＝ｓｑｒｔ（Ｃ＊ｈ/G)です。.
（そうしてＭｐ＝ 2.176E-08（Ｋｇ）でもあります。）

今回の条件では限界であるエネルギー⊿Ｅ以下のエネルギーの放射が可能である、と言う事ですので、その条件で確率計算をします。
（⊿Ｅ＝＜０．４＊Ｅですので、最大値が⊿Ｅ＝０．４＊Ｅ、でも計数０．４は０＜計数＜＝０．４でＯＫですのでその範囲で積分する事になります。）
　　　　Ａ（Kg）　　　　　Ｒ　　　　　　Ｐ　　　（参考：積分した値）
⑤ 9.378E-09　　　0.6621　　 0.1561　　101383000
⑥ 4.194E-09　　　0.1324　　　0.002316 　 1504120
⑦ 1.875E-09　　　0.02647　　0.00002076 　 13480

確率Ｐの求め方は「ホーキングさんが考えたこと・１７」で行ったやり方に準じ、ウルフラムを使って
「0からＲ＊２８２の範囲でx^3/(e^(x/100)-1) の積分」を行い、得られた値それぞれを
母数を６．４９３９４＊１０＾８として、その値で割ってＰを求めます。＜－－リンク
（ここで母数は「0から無限大の範囲でx^3/(e^(x/100)-1) の積分」を行った値となります。）

そうしますと⑤では１０回に一回ほどは放射が起こりそうですが⑥では１０００回に２回、⑦では１０万回に２回とＢＨの質量が小さくなるにつれて、なかなかホーキング放射が起きなくなる、という状況になる事が分かります。
これはホーキング放射可能なエネルギーレベルを超えた仮想粒子の発生が原因です。
その様な場合はＢＨはその仮想粒子のＢＨへの飛び込みを無視する事になります。
ちなみに上記の計算では「ＢＨの質量Ｍの減少に伴うホライズン直径の減少が原因で仮想粒子がＢＨに飛び込めなくなる」という「従来から当方が主張している効果」は考慮されていません。


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ダークマター・ホーキングさんが考えたこと・前書きと要約みたいなもの（第一部）

「ダークマター・ホーキングさんが考えたこと」シリーズ、こんなに長くなるとは思っておりませんでした。
そういう意味では「要約」も必要になってくるのでしょうね。
まあしかし「前書きは前書き」ですから、少々くだけた事を書かせていただきます。

そうして、現状の一応の結論が
「２３・ＢＨ（ブラックホール）は消滅可能なのか？」と
「２４・ＢＨ（ブラックホール）は消滅可能なのか？（２）」
にまとまっています。(2019/5/7現在）
↓
・ダークマター・ホーキングさんが考えたこと　一覧＜－－リンク
お急ぎの方はそちらからご覧いただければと思います。


第一部：概論（０～９章、１２章）

０・「ダークマター」の正体に迫れるか？ 宇宙の謎を巡る研究に方向転換の動き
↑
この記事を読んで「原始ブラックホールがダークマターの主な要素にはなれない」という主張に「いやそれは違うだろう」とどういう訳かそのように思い込み、「それではなぜ違うと思うのか、それを調べましょう」という事でこのシリーズが始まりました。
そして、この時点ですでに「ダークマターの正体はプランクスケールのＢＨだな」と思っていた様です。
一応ホーキング放射についてのそれなりの情報はもっていましたので、「ＢＨがホーキング放射を出して、最後にはこの世から消え失せる」というのはおかしな話だ、という印象はありました。
↑
ここの書き方は正確ではありませんね。
この件を考え始めるまでは「そうか、ＢＨはホーキング放射で消えてなくなるのか」と、確かに思っておりましたから。

１・小さなＢＨは本当に消えたのか？
↑
ここではダークマター探索をやっておられる方々の資料をそれなりに見させてもらいました。
いずれの資料でも「ちいさなＢＨはすでに蒸発しているので、もはや考慮する必要はない」が結論でした。
そうして、そのようなスタンスは現在も継続中、「その業界ではそれが常識」の様であります。

それで、ここの章での当方の結論は
「最終的にマイクロＢＨに飛び込めるのは光子かニュートリノだな」というものになります。

２・ホーキング放射のメカニズム
↑
いやいや、びっくりしました。
『この結果、生成消滅演算子も、空間が平らでないと、形を変えます。 
空間が曲がっているときの消滅演算子をa'とすると
a'＝αa－βa†
というように、ボゴリューボフ変換で結ばれます。』
↑
こんな難しい事をホーキングさんは最初にやられた、と。
そうしてそれは我々が今まで聞いていた「ホーキング放射のメカニズムの説明」とは相当に解離があるものでした。

それで、ここの章での当方の結論は
「従来のＢＨ寿命の計算の仕方に問題がありそうだ。」というものと、
「マイクロＢＨの直径がプランク長ＬｐになったところでこのＢＨは安定するな。」というものです。

３・熱暴走するＢＨ
↑
寿命計算がらみの事で、一応整理をしてみた・・・つもりの様ですが、今から見ると「あっちに行ったりこっちにきたり」でしたね。

ここの章での当方の結論は
「ホーキング放射を出す層の厚みをまじめに考えないといけないのでは、、、」というものです。
それをせずに「黒体と見なせるからあとは従来の方法で扱えばＯＫ」というのはいかにも「手抜きであろう」と。

４・不確定性原理と仮想粒子の対生成
↑
時間とエネルギーの不確定性で仮想粒子が対生成される。
そのうちの片方がＢＨに飛び込むと他方がホーキング放射として観測される。
エネルギー保存則から、ホーキング放射された分のエネルギーがＢＨからなくなり、その分ＢＨの質量が減る。
そうやって最終的に質量がゼロになりこの世界から姿を消す、というストーリーのおさらいでした。

しかしながら、このストーリーの一番最後の所、最後の最後にＢＨに飛び込んだ仮想粒子が持っていた運動量の事を皆さんお忘れの様です、というのがここでの結論でした。
それはつまり
「マイクロＢＨの直径がプランク長ＬｐになったところがこのＢＨの安定点だな。」という様な制限をつけなくても、本来、ＢＨは蒸発などできないしろものである、消えてなくなる事はない、という事であります。
↑
この結論は衝撃的でした。
そうして、よく考えてみれば「もっともな話」なのでありました。
ホーキング放射というものは単なる黒体輻射のように、エネルギー収支だけを考えればそれでお終い、というような現象ではなかった、という事であります。

そして「ＢＨというものはどっしりと構えており、ホーキング放射ごときであちこち動き回るようなものでは無い」と言われる方は少々早い様ですが「２１・ＢＨ（ブラックホール）が質量を減らす方法（２）」を参照願います。
そこではホーキング放射を出したＢＨがその反動で動き出す様子が計算されております。

さてここでは以上の事に加えて「ホーキング放射が起きる粒子の放出層の厚み」についてもその事を考える手がかりを得ています。（ここまで、平成最後の日に記述）

追伸
面白いなあ、と思う事は「ＢＨが蒸発する」という事に対して量子論からは「情報消失問題」としてこれを取り上げて「大問題だ」と言っています。
これはつまり「情報さえ消えなければＢＨが消えてしまっても別に問題ではない」という事でもあります。
そうでありますから、「情報消失は大変だ」と多くの人は言っていますが、「ＢＨ消失は大変だ」とは、どなたも言ってはいないのです。

そうして、それらの方々はＢＨが持っている「運動量という情報のこと」は眼中にはないようであります。
その運動量はＢＨ質量と同じように当該ＢＨが過ごしてきた歴史の積み重ねの結果でありますから、当然の事ながら尊重される必要があります。
そうでありますから、「この世からＢＨを消す」というのであればその質量はゼロに戻し、そうしてまた同時にその運動量もゼロに戻さなくてはなりません。
そのようにできれば「ＢＨは消えた」と言えるでありましょう。
しかしながら「ホーキング放射にはそのような芸当は無理」というのが、当方の見立てであります。
↑
少し表現が足りない所がありました。
上の文章で主張している事は「この世界には同じＢＨは一つも存在しない」、「存在しているＢＨはどれもユニークである」という事であります。
仮に「同じ質量をもったＢＨがたまたま２つ誕生した」としてもそれぞれが一回、ホーキング放射を出せばそれで質量が異なり、持っている運動量が異なる事になります。

そうしてその結果、それぞれのＢＨの質量や運動量は量子化されることはなくどこまでもアナログでありましょうから、たとえば「目の前にあるマイクロＢＨの質量はいくつか？」と聞かれたら、無限に数値を並べる事になるでしょう。
その事は結局「目の前のマイクロＢＨが持っている質量をちょうど打ち消すようなエネルギーの仮想粒子を準備する事は出来ない」という事でもあります。
そしてそのような事（マイクロＢＨの質量をちょうどゼロにできるような仮想粒子の発生）がホーキング放射で起きる確率は１/無限大となると思われます。
（このあたりの状況が、反粒子を持ってきてぶつければ対消滅してしまう物質粒子と、そのような事ができないＢＨとの大きな違いになる様です。）

追記（2019/5/6)
上記議論の続きは
「２３・ＢＨ（ブラックホール）は消滅可能なのか？」と
「２４・ＢＨ（ブラックホール）は消滅可能なのか？（２）」で行われ、
一応の結論まで到達しました。

議論内容詳細につきましては
・ダークマター・ホーキングさんが考えたこと　一覧＜－－リンク
から該当記事に入れますので、記事内容にてご確認願います。

５・プランクスケールＢＨの最終形態
↑
いよいよプランクスケールのＢＨの登場になります。
そして不思議な事にこのスケールのＢＨは「紙クズ・ゴミ・ほこり」ぐらいの重量なのですよ。
そのような質量でもＢＨでいられる、というのがまずは驚きであります。
そうして、何時も自然はそうやって我々を驚かせてくれるのでありました。

ここでの結論
「０＜最終ＢＨ質量＜Ｍｐ/４という範囲に落ち着くであろう」
「その範囲がダークマターの質量範囲である」という事になります。

６・その後のＢＨの運命
↑
一応前回でマイクロＢＨは安定状態に達したのですが、実はまだその先の運命がこのＢＨには待っていた、というお話です。

「４・不確定性原理と仮想粒子の対生成」で議論したような手順でホーキング放射の際に「真空とＢＨがエネルギーのやり取りをする」という話と、「ＢＨの質量をきっちりとゼロにするような仮想粒子のＢＨへの飛込みはありえない、そこでは必ず過不足が生じるであろう」と言う話を合わせて考えますと、このＢＨは必然的に、最終的には「マイナス質量をもつＢＨへと進化せざるを得ないだろう」という結論に導かれます。

そうしてそれはダークマターと並んで我々が探し求めているダークエネルギーの正体であろう、というのがここでの結論となります。

このストーリーのすごい所は「ホーキング放射という一つのプロセスとマイクロＢＨという一つの存在からダークマターとダークエネルギーが自然に、自動的に出てくる」という所にあり、まさに「自然は巧みである」という話に合致する状況がこのストーリーにはあります。

そうでありますから「とんでも理論だ」と一言で片づけるには「あまりにも美しすぎる話である」と、思いついた時にはそのように感じたものでした。

７・ダークマターの直接観測
↑
天の川銀河にも大量のダークマターが存在し、従って太陽系、そうして実は地球もダークマターの海の中という事になります。
そうであれば地球上でもダークマターを観測できるはず、と考えてそれなりの探索がなされてきましたが、今のところは成果なし。
まあそんなこともあり、「マイクロＢＨがダークマターだ」と言い出す人も現れる訳であります。（私の事です。）

実際の所、地球ボリュームの中にはダークマターが５００gr程は含まれるとか。
マイクロＢＨの質量が想定できますから、総数が計算出来て、その数からすると「小さな検出面積の検出方法ではなかなかみつからないだろうなあ」という状況がわかります。

ちなみに地球の公転速度が毎秒３０Ｋｍ、銀河の腕のなかで太陽系が銀河中心の周りをまわっている速度が毎秒２００Ｋｍ、そういうわけで地球上では毎秒２００ｋｍ程度でダークマターがぶっ飛んでいる、そういう事の様であります。

さてこのページでの結論は、「地上での直接観測はダークマターがマイクロＢＨだとするととてもむつかしいものになる」という事であります。

８・ＢＨ（ブラックホール）は熱いのか？
↑
どなたが言い出したのかは知りませんが「ＢＨ蒸発」とはうまい事を言ったものです。
蒸発、というコトバで「跡形もなく消え去る」というイメージが読者に植え付けられます。
その結果は「ＢＨ消滅という仮説に対して我々は疑問を持たなくなる」という事になります。

９・ダークエネルギー優位に至るまでの宇宙展開の歴史
↑
『宇宙は減速膨張から加速膨張へ 66.2億年前に移行し、現在では宇宙のエネルギーの72.9%（観測誤差1.4%)を暗黒エネルギーが占めていることが測定されている。』
↑
こんな風に言われています。
それで「マイクロＢＨがマイナス質量のＢＨへジャンプし、それがダークエネルギーの正体であるとしたら、いったいどういう計算になるのかな？」という事で計算してみたらこうなった、という記事です。
まあとりあえずは大きな矛盾はなさそうなので、「ダークエネルギーはマイナス質量のＢＨでそれはダークマターが姿をかえたもの」という主張は継続してもいいのかな、という結果の様に思われます。

（ここで話の都合により少しページが飛びます。）

１２・マイナス質量のＢＨについて
↑
「６・その後のＢＨの運命」で「自然は、宇宙はマイナス質量のＢＨを禁止してはいない」などとよく調べもせずに言ったものですから、ここで改めて調べてみました、という内容です。
まあその結果は、といいますと「シュワルツシルト解はＢＨの質量Ｍがマイナスである事を禁止してはいない」と言う様に個人的には理解できました。
そしてマイナス質量のＢＨの作り方まではシュワルツシルト解は教えてはくれませんが、しかしながら、通常の「星の重力崩壊」や「宇宙初期でのＰＢＨの生成」のような作り方では無理である事はシュワルツシルト解から予想できる事であります。


以降の章は第２部に続く予定です。

以下、第２部の内容でのCDM（コールドダークマター）についての一応の結論となります。
『・・・上記内容のお話は「ダークマターと宇宙論」という事で、ページを改めて続く事になります。
そうしてまずは
・フリードマン方程式とそのグラフ
http://fsci.4rm.jp/modules/d3forum/index.php?topic_id=2664#post_id17208
から宇宙論の話が始まります。

さてそれで、ここまでの議論から想定されます事は、「ダークマターとしてのプランクスケールのブラックホールは宇宙の始まりに大量に作られたであろう」という事であります。

そうして、それらのブラックホールは誕生当初からすでにプランクスケールであって、一回～数回、ホーキング放射をしたか、あるいは誕生して今までホーキング放射を一度もしていない、その様な存在であろうと思われます。

その様なものがCDM（コールドダークマター）として宇宙の進化に貢献してきたのであろう、というのが当方の主張する所となります。

http://archive.fo/m1HUy

追記
その後の検討によりますと、
『プランクスケールの原始ブラックホールであって、誕生して今までホーキング放射を一度もしていないものが、CDM（コールドダークマター）の候補としてベストであろう』
という事になります。
http://archive.fo/wrGYM』

以上、第２部内容の予告として掲示しておきます。

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http://archive.fo/eLUmb
http://archive.fo/zuSoS
http://archive.fo/bX8GH

ダークマター・ホーキングさんが考えたこと・２４・ＢＨ（ブラックホール）は消滅可能なのか？（２）

「ホーキングさんが考えたこと・２１」ではニュートリノ放出場合で、ホーキング放射に伴いＢＨが受け取るべき運動量Ｐを考慮するとどのような計算になるのかを示しました。
それと同じ計算を「ホーキングさんが考えたこと・１６」で取り上げた、順次ホーキング放射を出しながらＢＨが自分の質量を減らしていく事例について行ってみましょう。

さてそれで「ホーキングさんが考えたこと・２０」によれば⊿Ｅのエネルギーを持つ質量ｍのニュートリノが満足すべき式は
⊿Ｅ＋ｍ＊Ｃ＾２＝ｓｑｒｔ（Ｐ＾２＊Ｃ＾２＋ｍ＾２＊Ｃ＾４）
となる事になります。
ΔＥはニュートリノ・ホーキング放射のエネルギーＥを質量ΔＭに換算した値にＣ＾２をかけて求めます。

整理して
Ｐ＝ｓｑｒｔ（（⊿Ｅ＾２＋２＊⊿Ｅ＊ｍ＊Ｃ＾２）/Ｃ＾２）
但しｍ＊Ｃ＾２＝（１．１＊１０＾ー３４）＊Ｃ＾２＝9.887E-18（Ｊ）
以上より⊿Ｅのエネルギーを持つ質量ｍのニュートリノの運動量Ｐが求まります。

このニュートリノを吸収したＢＨが満たす式は次のようになります。
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＝Ｐ＾２＊Ｃ＾２＋Ｍ＾２＊Ｃ＾４
この式はＢＨは⊿Ｅのエネルギーを真空に対して支払い、運動量Ｐをニュートリノから受け取る事を示しています。

ここでＭはニュートリノが飛び込んだ後のＢＨの静止質量を表します。
Ｅはニュートリノが飛び込む前のＢＨの質量にＣ＾２を掛けて求めます。

以上をＭについて解いて
Ｍ＝ｓｑｒｔ(((Ｅ－⊿Ｅ）＾２-Ｐ＾２＊Ｃ＾２)/C^4)
を得ます。

まずは「ホーキングさんが考えたこと・１６」の結果を再掲示します。
この計算ではエネルギー保存則のみを考量しています。
　　M（Kg）　Ｔ（K）　⊿Ｍ（Kg）　Ｍ－⊿Ｍ(Kg)　　２＊Ｒｓ／Ｌｐ
① 2.176E-08　 5.638E+30　2.443E-09　1.932E-08　４．０
② 1.932E-08　 6.351E+30　2.751E-09　1.657E-08　３．５５
③ 1.657E-08　7.407E+30　3.208E-09　1.336E-08　３．０４
④ 1.336E-08　9.186E+30　3.979E-09　9.378E-09　２．４６
⑤ 9.378E-09　1.308E+31　5.667E-09　3.711E-09　１．７２
⑥ 3.711E-09　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　０．６８

そうして以下が今回の計算結果となります。
この計算ではエネルギーと運動量の保存則を同時に考量しています。
　　　　　　　　 　　　　　　　　　　ニュートリノ吸収後の
　　　ΔＥ　　　　　Ｐ　　　　Ｅ　　　　　　ＢＨの質量Ｍ
① 2.195E+08　0.73230　　1.956E+09　　1.916E-08　　　
② 2.473E+08　0.82489　　1.736E+09　　1.634E-08　　　
③ 2.884E+08　0.96190　　1.489E+09　　1.297E-08　　　　
④ 3.576E+08　1.19295　　1.201E+09　　8.492E-09　　　
⑤ 5.094E+08　1.69911　　8.429E+08　　------　　　　
⑥ 1.287E+09　4.29413　　3.335E+08　　------　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

ニュートリノ吸収によるＢＨの運動量の増加はＢＨの運動エネルギーとなり、その分ＢＨの質量減少の度合いが大きくなることは前回の説明と同じです。

そうして、今回特に注目すべきは⑤の状況においてはもはや計算が成立しなくなる、という事であります。
⑤においてはニュートリノ吸収後のＢＨの質量Ｍを求める式で
Ｍ＝(((Ｅ－⊿Ｅ）＾２-Ｐ＾２＊Ｃ＾２)/C^4)
においてルートの中身がマイナスになっています。

つまり、⑤の状況においてはもはや想定したエネルギーでのホーキング放射は「運動量保存則とエネルギー保存則の両方を同時に満たす事は出来ない」という事であり、したがってこの条件でのホーキング放射は起こらない、という事になります。
（そのような仮想粒子がＢＨに飛び込んでも、ＢＨはそれを無視する、という事になります。
つまり、その仮想粒子は実体化することなく、何事もなかった様にただ消えていくだけであります。）

但し、この計算の場合のホーキング放射のエネルギーはＢＨ質量から決まるホーキング温度で最も多く発生すると予想されるものになっています。
（つまり、もっとエネルギーの値が少ないホーキング放射であれば⑤の状況のＢＨ質量でも放射が可能である、という事です。）
そして今回の場合のＢＨのホライズン直径はプランク質量ＭｐのＢＨの４０％程度の所になっています。注２

ちなみに⑤の時に「ホーキングさんが考えたこと・１６」で計算が可能だった理由は、「１６」での計算は運動量保存則を考慮せず、エネルギー保存則のみで計算していたからという事です。


さてこれは従来、当方が主張してきた事「ＢＨのホライズン直径がＬｐ未満になった時点でホーキング放射は一旦とまる」という条件によるものではありません。

「運動量保存則とエネルギー保存則を満たす事」という条件があれば、ＢＨのホライズン直径がＬｐに至る前にホーキング放射は自動的に止まるかの様であります。
そうして、そのように自然は、宇宙は出来上がっている、という事になります。


所で⑤の計算ではホーキング放射を出す前のＢＨの運動量はゼロとしています。
（①から⑥までそのようにして計算しています。）
しかしながら実際の状況ではこれまで見てきたように、ＢＨはホーキング放射を出すたびごとにその方向とは逆方向の運動量を得て動き出す、という事でした。

そうでありますから本来はＢＨの質量Ｍを求める式
Ｍ＝(((Ｅ－⊿Ｅ）＾２-Ｐ＾２＊Ｃ＾２)/C^4)
において、Ｐの値はそれまでそのＢＨが放射してきたホーキング放射によって生じた反作用としての運動量、それはまたＢＨに吸収されたニュートリノが持ち込んだ運動量でもありますが、その運動量Ｐｉを最初のニュートリノが運び込んだ運動量Ｐ１から今回運び込まれた運動量Ｐｎまでの全ての運動量ベクトルＰｉをベクトル加算し、その合計されたベクトルの絶対値を入れる必要がある、という事になります。

その際に原点となる座標系はそのＢＨが誕生した時のＢＨの中心にある特異点の位置にとるのが妥当であります。
そうやって決められた座標系で、ＢＨにいままで放出された全てのホーキング放射の反作用の運動量が合計され、その合計された運動量ベクトルの絶対値をとってＰとし、そうして
Ｍ＝(((Ｅ－⊿Ｅ）＾２-Ｐ＾２＊Ｃ＾２)/C^4)
の式によってＢＨの質量Ｍが計算されなくてはなりません。

その時にはΔＥは今回の放射を含めて、今までホーキング放射でＢＨから出て行ったエネルギーの合計になります。
そしてエネルギーＥはそのＢＨが誕生した時のＢＨ質量Ｍ０にＣ＾２をかけた値、ＢＨの生まれた時の静止質量のエネルギー換算値となります。

そのようにしてＭが計算できる場合はそのホーキング放射は可能でありますが、Ｍが計算できない場合はそのホーキング放射は禁止される、とそういう事になります。
式で書きますと
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＞＝Ｐ＾２＊Ｃ＾２　となり、
左辺が右辺より大きいか等しい場合のみが許されます。
そして等号が成立した場合はＢＨの質量Ｍはゼロになる、つまり「ＢＨは消滅した」という事になります。

以上の内容がホーキング放射の許容条件、あるいは禁止則となります。
そうしてこれは当方の主張「ＢＨのホライズン直径がＬｐ未満になった時点でホーキング放射は一旦とまる」という事とは何の関係もなく、自然が、宇宙がもっている「決まり事」となります。

さて、今までの話からＢＨが消滅可能である唯一の条件が明らかになりました。
それは「最後の最後にこのＢＨに飛びこんだニュートリノによってそれまでこのＢＨが持っていた運動量がゼロに戻されるのと同時にまたこのＢＨの全エネルギーＥをちょうど打ち消すようなエネルギーをそのニュートリノが運ぶことが出来た場合」という事になります。

それはつまり、このＢＨが今まで放出した全てのホーキング放射の運動量ベクトルのベクトル和を今回のニュートリノは知っていて、その合計されたベクトルと真逆の方向に運動量ベクトルを、その絶対値は同じ値に設定し、また同時に自分がもつエネルギーをこれから飛び込むことになるＢＨがもつ全エネルギーＥと同じ値に出来る、という事であります。

そして当方の主張は「ホーキング放射の様なランダムプロセスでそのような事が起きる確率は１を無限大で割った値、つまりゼロである」と言うものであります。
・・・・・
以上をもちまして「ＢＨは消滅する事が出来ない」と言う事の証明になります。


注１
ＢＨは大きさを持ちます。
マイクロＢＨとて同様であります。
そうしてホーキング放射を考えた時に、ＢＨにななめ入射したニュートリノが持っていた運動量はＢＨに角運動量を与えるのではないのか？と言う疑問は、ホーキング放射のシミュレーションモデルを考えている時からの問題認識であります。

しかしながら、「角運動量の保存則までを考慮に入れたＢＨの消滅条件を出す事」は当方の技量を上回っており、手に余る問題となります。
従いまして今回「従来のエネルギー保存則のみでの計算方法に対して、新しく運動量保存則を加味した場合でのＢＨの消滅条件を出せた」という所あたりが、当方の分相応の所かと思われます。

注２
詳細な計算は省きますが、ＢＨ質量がプランク質量の４７．４％未満になると、今回の条件（その時のＢＨ質量に応じて一番放射頻度が多いと予想されるエネルギーでの放射）ではホーキング放射が出来なくなるという計算結果になっています。


・ダークマター・ホーキングさんが考えたこと　一覧＜－－リンク


http://archive.fo/6XnAa
http://archive.fo/IiYoz

ダークマター・ホーキングさんが考えたこと・２２・ＢＨ（ブラックホール）が質量を減らす方法（３）

前回はニュートリノの放射について検討しました。
今回は光（γ線）の放射について検討しましょう。
ただし光の放射については「ホーキングさんが考えたこと・１７」の結論によればニュートリノの放射に比べて
7.31*10^-14=0.0000000000000731の確率でしか起こらないのでした。＜－－リンク
加えて「ホーキングさんが考えたこと・１８」の結論によればニュートリノの放射に比べて「１７での理由とはまた違う理由で」発生確率が１/3になってしまうのでした。＜－－リンク

その結果、ニュートリノの放射に比べて光の放射の発生確率Ｐが
Ｐ＝0.3333*7.31*10^-14=0.0000000000000244=100兆分の２．４４。
これでは普通は「事実上は無視しても良かろう」という事になります。
まあしかしながら、何らかの理由でニュートリノの放射が制限されていた、とするならばＢＨは光を放射する事になりますので、一応どのような状況になるのか、確認だけはしておこうという事であります。

ＢＨのホライズン半径が４Ｌｐである状況を想定します。
このＢＨが吸収しそうしてまたホーキング放射出来る最低のエネルギーをもったγ線の波長は、ＢＨホライズン直径と同程度の８Ｌｐとなります。
そうして、プランク質量ＭｐのＢＨの半径Ｒｓが２Ｌｐであることから、今回のＢＨの質量は２＊Ｍｐである事が分かります。

波長が８Ｌｐの光のエネルギーＥはＥ＝生ｈ＊振動数ν＝生ｈ＊Ｃ/(８Ｌｐ）
質量換算するとΔＭ＝Ｅ/Ｃ^2=生ｈ/(８Ｌｐ*Ｃ）＝Ｐｉ／４＊Ｍｐ
（Ｌｐ＝ｓｑｒｔ（ｈ＊Ｇ/C^3)、ｈ＝生ｈ/(2*Ｐｉ)、Ｍｐ＝ｓｑｒｔ（Ｃ＊ｈ/G)による。）

もともとのＢＨの質量が２＊Ｍｐでしたからホーキング放射を出した後のＢＨ質量Ｍは
Ｍ＝（２－Ｐｉ／４）＊Ｍｐ＝1.2146＊Ｍｐ
となる事が期待されます。
但しこの計算ではＢＨに飛び込んだ光が持っていた運動量Ｐを無視しています。


それで次は運動量Ｐを考慮した場合となります。
光のエネルギーＥ＝Ｐ＊Ｃ＝生ｈ＊振動数ν
従ってＰ＝生ｈ＊振動数ν/Ｃ＝生ｈ/波長λ＝生ｈ/(８Ｌｐ）
（あるいはＰ＝Ｐｉ／４＊Ｍｐ＊Ｃ、Ｅ＝Ｐｉ／４＊Ｍｐ＊Ｃ＾２）

ホーキング放射を出した後のＢＨの質量Ｍが満足しなくてはならない式は
（（２＊Ｍｐ）＊Ｃ＾２－生ｈ＊Ｃ/(８Ｌｐ））＝ｓｑｒｔ（（Ｐ＊Ｃ）＾２＋（Ｍ＊Ｃ＾２）＾２）
ホーキング放射でＢＨが失ったエネルギーが生ｈ＊Ｃ/(８Ｌｐ）
他方でＢＨに飛び込んできた仮想粒子が持ち込んだ運動量がＰです。

整理すると
Ｍ＝Ｍｐ＊ｓｑｒｔ（（２－Ｐｉ／４）＾２－（Ｐｉ／４）＾２）
Ｍ＝0.9265＊Ｍｐ
運動量Ｐを考慮しない場合はＭ＝1.2146＊Ｍｐでしたので
その差分がＢＨが運動量Ｐを吸収した事によるＢＨの運動エネルギー分となっています。

そして上記より光放射後のＢＨの移動速度をＶとすると
Ｐ＝Ｐｉ/４＊Ｍｐ＊Ｃ＝Ｍ＊Ｖ/sqrt(1-β＾２）
但しβ＝Ｖ＾２／Ｃ＾２

整理すると
Ｐｉ/４＊Ｃ＝０．９２６５＊Ｖ/sqrt(1-β＾２）
Wolframによれば
Ｖ＝０．６４６６＊Ｃ
ＢＨは光速の６５％で運動し始める事になります。

こうして光を放射するホーキング放射の場合は、一回当たりの放射エネルギーがニュートリノ放射の場合と比較して相当に大きいという事がわかります。
（ニュートリノ放射の場合はＢＨは光速の１３％程度で走り出します。
他方で光放射の場合は光速の６５％で運動し始める事になります。）

そして、その事が光を放射するホーキング放射がニュートリノ放射のホーキング放射の場合に対して起こりにくくなっている理由でもあります。
（光放射の場合はＢＨのその時のホーキング温度に不相応な高いエネルギーの光の対生成が必要となり、それは難しい事であって、従ってそのような光の発生確率は極端に低くなる事になります。）

さてそういう訳でこれ以降の検討においては、特に光放射に注目する必要がある場合を除いてはニュートリノ放射をホーキング放射のメインプロセスとして想定し、議論を重ねていきたいと考えます。


・ダークマター・ホーキングさんが考えたこと　一覧＜－－リンク


http://archive.fo/2Ky2N