浮力の説明の謎 (9)

本稿は、以下からの続きである。
・ 07-03-27 浮力の説明の謎
・ 07-04-03 浮力の説明の謎 (2)
・ 07-04-11 浮力の説明の謎 (3)
・ 07-04-23 浮力の説明の謎 (4)
・ 07-05-05 浮力の説明の謎 (5)
・ 07-05-17 浮力の説明の謎 (6)
・ 07-05-17 浮力の説明の謎 (7)
・ 07-06-05 浮力の説明の謎 (7-b)
・ 07-07-08 浮力の説明の謎 (8)
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浮力の初等物理教育的な扱い方をめぐって、かなりの回に渡って批判的に考察を進めてきた。さてそこで既存の説明の問題点が明らかになったならば、次には、「ではどのように扱えばいいのか？」という問いに答えなければならない。このことを述べつつ結びに向かいたい。

前回から大分間があいてしまったが、もったいぶるような大げさなことを言うつもりはない。シンプルで、考えてみれば当り前のような提案をしたい。それは、浮力の問題こそは、（力よりも）エネルギーの考え方が効力を発揮する絶好の題材であるということなのだ。

系がポテンシャルエネルギーをもつとき、そのエネルギーが低いほど安定な状態となる。もし、何らかの変位とともに、そのエネルギーがなだらかに低下していくならば、自発的にその変位が生じようとする。このようなとき、変位する対象体に(そのポテンシャルに起因する)力が作用すると認識され、その力の値はポテンシャルの下り勾配で決まる。

これは、言うまでもないような、物理の基本としての力とエネルギーの関係だ。この見方を会得することなく、いくら力やエネルギーを教わったとしてても、ほとんど何の御利益もないと言ってもよい。ところが、高校から大学初年級ぐらいまでの物理において、この重要な見方を正面から取り上げる教育はほとんど行われていないのではないかと思う。

もちろん、もし取り上げるとすれば、御利益の見えやすい具象例を使って教えるのがいいだろう。そのようなうってつけの現象の例が、中身のある柔らかい物体に働く浮力の問題なのだ。

容器中の水系(I)と、その中に浮かぶ物体系(II)について、(I),(II)全体の重力の位置エネルギーUは次のように書けるだろう。ただし、gは重力加速度、zは鉛直方向の座標、dVはそれぞれの系の体積要素、ρI, ρIIは系(I)と(II)それぞれの密度（体積あたりの質量）とする。


この式の体積積分の項それぞれは、重力の位置エネルギーの形式表現であり特別なことは何も語っていない。今考えている系全体の本質は、系Iの領域Vと系IIの領域Vの間をつなぐ関係にある。それは、それぞれの領域が、境界のはっきりした界面で互いに接しながら排斥し合う関係の連続領域になっていて、全体の体積は一定で、また、容器の内壁および最高水面によって水系の形が決まり、容器の内壁が系IIの領域の限界面にもなっており、、などという、一般的に数式化するのは結構面倒そうな一連の関係である。

さてそこで、系Ⅱ（浮かぶ物体）の側に何らかの変位を想定する。一番簡単で基本となるのが、系Ⅱが形を保ったまま上方（または下方）に向かって平行移動するような変位だろう。また、系Ⅱの最低部が水槽底にくっついて離れないなどの場合は、系Ⅱが細長く伸び上がるというような変化を考えてもいい。そして、この変化が、何かしらの一変数の位置座標（一般化座標）を独立変数にして表現できるとする（従属的に系全体の各地点に複雑な変位が起きてもいい）。

そうすると、この１変数的変位に伴う、(I)(II)全体の重力の位置エネルギー U の変化量を表す関数を考えることができるだろう。このときの変位に対するU の勾配（微分係数）dU/dz を求めれば、その大きさは、U が減る方向へ向かう変化を促す力になる。ただし、この「力」は、系全体に働いて、系全体の変化を導く力であって、質点に作用する力に比べて概念が拡張されていることに注意を要する。

このようなことを、系Iに対する重力を考えない場合、すなわち（同じ全体系について）ρI=0 と置いた場合と比較する。その結果、ρI を 0 にした場合と、実際の液体の ρI の値にした場合とで、力に差が生じていれば、その差額が「浮力」として認識される効果になる。これを浮力の基礎づけにしようというのが私の提案だ。