一昨日の夜は寝付けなかったので，起き出して気にかかっていた不等式の問題を解き，明け方まで数学I演習の解説を作った。
いざホームページにアップしようとしたら，インターネットに接続できない。
午前中に少し寝て，昼にもう一度試してもだめだった。
午後に用事を済ませて夜に原因を追究してみたところ，どうやらモデムがイカれていたようだ。コンセントを一度抜いて指し直したら軽快にデータの送受信が行われ始めた。
さて，解けた問題は次の通りである：
非負の実数 a, b, c, d, e, f, g が a+b+c+d+e+f+g=1 をみたすとき，
a+b+c, b+c+d, c+d+e, d+e+f, e+f+g の最大値 M の最小値を求めよ．
状況を特殊化して最小値のあたりをつけ，それが本当に最小値であることを示す，という路線で考えてみた。特殊な設定にしなくてもやはりそれが最小値であることを簡潔に示すのに少し手間取ったが，なんとかなった。
それはなかなかシンプルで気持ちのいい解法だと自負している。
しかし，「完全攻略 数学オリンピック」に載っていた解答は，この問題をもっと一般化した場合にも使える一般的なものであった。
僕の解答は，ある意味この問題にしか使えない特殊な解答なので，本の解答にはかなわない。
しかし，本の解答は，それほど技巧的過ぎるわけでもないのだが，やはり「そんなの思いつかないよ！」と両手を挙げたくなるような見事なものであった。
演習の解説などを聞いて皆さんが感じている気持ち，僕もよく味わっているんですよ。
記念に僕の解答を白字で書いておこう。
a+b+c, b+c+d, c+d+e, d+e+f, e+f+g の最大値を M とおくと，
1=(a+b+c)+(d+e+f)+g≦2M+g より，1-2M≦g．同様にして，1-2M≦d，1-2M≦a が得られる。よって 3-6M≦a+d+g≦a+b+c+d+e+f+g=1 であるから，2≦6M，すなわち M≧1/3．
等号は a=d=g=1/3，b=c=e=f=0 のときに成立する。よって M の最小値は 1/3 である。
ともかく，一週間ほど取り組んでようやく解決した。
次の問題を頭に仕込んでから昨日は出かけた。それはこんな感じの問題である：
正の整数からなる狭義単調増加な数列 a[n] に対し，正の整数 m を十分大きくとれば，
a[1]/a[2]+a[2]/a[3]+...+a[m]/a[m+1]<m-2008
が成り立つようにできることを示せ。
こちらは電車の中で考えているうちに大体の解答の方針が出来上がった。
その後，解答をきちんと作らず本の答えを見てしまったが，方針は正しかったものの，それだけでは不十分だった。やはり難しい。
あ，日付が変わってしまった。「一昨日」というのは 6/6 のことです。
