デシベル（dB）の話②

デシベル（dB）は、実は1/10 ベル（B）なのです。
例えば、

10は　log10＝1　よって1B（1ベル）
100は　log100＝2　よって2B
1000は　log1000＝3　よって3B
10000は　log10000＝4　よって4B

という具合です。
このように対数変換したものをベル（B）として扱うことにより、掛け算が足し算になり、割り算が引き算になって計算が楽になります。またダイナミックレンジ（最小値～最大値の幅）の広い数値を扱う場合にも重宝する（対数圧縮）のですが、いかんせんベルは数値が小さくなりすぎ、その点は不便なので、ベルに10を掛け、1/10を表すデシ（d）を付けてデシベル（dB）としたのです。つまり

100は　10log100＝20　よって20dB

ということです。
ここで、「あいや待たれい！100は40dBではなかったか」と仰る御仁もおられるでしょう。
その通り。通常、100＝40dB　ですね。

これは10倍してデシベルとするはずのものを、20倍してデシベルとしているからですね。では何故20倍するのでしょう。これを、電力比の対数変換（デシベル）から考えて見ましょう。
電力比W1/W2をデシベルで表すと、

10log（W1/W2）　dB　ですね。この式を変形していきます。

10log（W1/W2）＝10log（I1^2 R）/（I2^2 R）　dB
10log（W1/W2）＝10log（I1/I2）^2
10log（W1/W2）＝10log（I1/I2）＋10log（I1/I2）
10log（W1/W2）＝20log（I1/I2）　dB

このように電流比のデシベルは　20log（I1/I2） dB　になりますね。
また　I＝V/R　ですから、

10log（W1/W2）＝20log｛（V1/R）/（V2/R）｝
10log（W1/W2）＝20log（V1/V2）　dB

このように電圧比のデシベルも　20log（V1/V2） dB　になります。
つまり、そもそもデシベルは仕事率（電力比、音圧・振動レベル等）を表す単位ということですね。

関連記事：デシベル（dB）の話 2007-08-15