2019年度和歌山県教員採用試験小学全科③(3:4:5のやつ)

次の図のような直角三角形ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝９cm、ＡＣ＝１５cmとし、２つの線分ＤＥ、ＦＧはそれぞれ辺ＡＢに平行とする。　　　　　　　　　　　　　　　　　　線分ＤＥ、ＦＧが直角三角形ＡＢＣの面積を３等分するとき、線分ＣＥの長さを求めよ。ただし、ＣＧ＜ＣＥとする。

ＡＢ＝９cm、ＡＣ＝１５cm、∠Ｂ＝９０°なので、三平方の定理を使ってＢＣの長さを求めても構いませんが、△ＡＢＣは、例の、３：４：５のやつなので、見たまま、ＢＣ＝１２cmです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　なんやねんそれ？というと、こうなのです。(もう知ってるよという人は、とばして読んでください。)　　　　　　　　　　　　　　　　　　直角三角形が出てきたら、何でもかんでも３平方の定理を使うのはちょっと損で、とりあえず、次の４つのうちのどれかになっていないかを、まずは確認します。その４つのやつとは、

３平方の定理は、ピタゴラスという人が紀元前６世紀頃(と思う)に発見したわけですが、これは全ての直角三角形に当てはまるというすごいものですが、３：４：５と５：１２：１３は、それより数千年も前、エジプトで発見されていて、パピルスにこれが書いてあったということです。　　　　　　　　　　　　　　　　　三角定規のやつは、いつかは知りません。それはさておき、本問の△ＡＢＣは、まさしく３：４：５じゃあ〜りませんか。(チャーリー浜、年ばれる)


おお〜っと、よく見ると、△ＡＢＣだけではなく、△ＤＥＣも、△ＦＧＣも３：４：５。相似やから当たり前やけど。線分ＤＥ、ＦＧが直角三角形ＡＢＣの面積を三等分するということなので、こうなります。

△D E C は3:4:5の直角三角形なので、

正解は、4√6cm です。相似と面積比で考えても構いません。

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ヤリ型の体積は？2019年度和歌山県教員採用試験小学全科2

次の図のように、関数y＝3x2乗のグラフとx軸に平行な直線lが2点Ａ(−2,12)、Ｂ(2,12)で交わっている。点Ａを通り、△ＡＯＢの面積を2等分する直線と直線ＯＢの交点をＰとする。△ＡＰＢを直線lの周りに1回転させたときにできる立体の体積を求めよ。ただし、円周率をπとする。

点Ａを通り、△ＡＯＢの面積を2等分する直線を求めるには、まずは、線分ＯＢの中点を探さなくてはなりません。　　　　　　　　　　　　　　　　　　点Ｏは、(0,0)、点Ｂは(2,12)、その中点は、x座標どうし、y座標どうしの真ん中です。それぞれ、足して2で割ればよいのです。よって、(1,6)です。

この点(1,6)が、点Ｐとなります。

次に、△ＡＰＢを直線lの周りに1回転させます。


左の円錐の体積と右の円錐の体積を別々に求めて、足してもいいですし、この立体は、ヤリ型と言いまして、次の公式に当てはめても構いません。

本問の場合は、1/3×6×6×π×4＝48π。正解は、48πです。

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2019年度和歌山県教員採用試験小学全科1

長さ200mの列車が一定の速さで走っている。長さ3200mのトンネルに、列車の最後尾が入った瞬間から最前部が出る瞬間までに、３分２０秒かかった。このとき、この列車の速さは時速何キロメートルか、求めよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　列車が3200mのトンネルを通過したからといって、この列車は3200m走ったのかというと、それは違います。3000mしか走っていません。

３分２０秒＝２００秒なので、この列車の速さは、３０００÷２００＝１５より、秒速１５mです。　　　　　　　　　　　　　　　　１５×３.６＝５４。正解は、時速５４キロメートルです。　　　　　　　　　　　　　　　　　m/秒は、3.6倍するとkm/時になりますし、逆にkm/時は、3.6で割ると、m/秒になります。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ここをポチッとお願いします。→
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2019年度兵庫県教員採用試験小学全科2

図のように、合同な4つの正三角形を、三角形の辺どうしがぴったり合うように並べるとき、次の問いに答えなさい。ただし、回転したり裏返したりして、ぴったり重なる図形は1種類とする。　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)　できる図形は何種類あるか、求めなさい。　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)　線対称な図形は何種類あるか、求めなさい。　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)　線対称な図形について、対称の軸を軸として1回転させてできる立体を考える。そのうち最も大きい体積は、何立方センチメートルか求めなさい。ただし、正三角形の１辺の長さを２cmとし、円周率はπとして計算しなさい。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)　合同な正三角形が2つあったとします。

３つあったとします。

結局、合同な正三角形が３つあって、辺どうしがぴったり合うように並べると、どうやったって、1種類しかできないのです。　　　　　　　　　　　　　　　　　では、もう一つ増やすとどうなるの?というのが本問の趣旨です。やってみましょう。

正解は、３種類です。　　　　　　　　　　　　　　　　　こういうのが苦手な人には、酷かもしれませんが、もしも本問が、「回転させてもよいが、裏返してはいけない」という条件であれば、①は、回転させても③にはならず、④は、回転させても裏返しても⑤になるので、正解は４種類となります。　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)①③型は線対称ではなく、②型と④⑤型は線対称なので、正解は２種類です。

(3)　まず、②型です。

次に④⑤型です。

④⑤型の方が体積が大きく、６π立方センチメートルです。ここをポチッとお願いします。→
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2019年度兵庫県教員採用試験小学全科1

ある美術館では開館前に100人が並んでいる。開館後も毎分10人が行列に加わる。開館時に、何箇所かある入館口のうち2箇所を開けたとき、20分間で行列はなくなった。ただし、どの入館口も毎分入館する人数は同じである。次の問いに答えなさい。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)　次の会話文の①〜③にあてはまる数を書きなさい。　　　　　　　　　　　　　　　　　先生「開館時に入館口を４箇所開けたとき、行列がなくなるまでの時間を、どのようにして求めることができますか。亅　　　　　　　　　　　　　　　　　　児童「入館口を2箇所開けたとき、20分間で（ ① ）人が入館しました。20分間で行列がなくなったので、毎分15人が入館しました。入館口を4箇所開けたときは、毎分30人が入館するので、100÷30で答えが求められます。」　　　　　　　　　　　　　　　　先生「20分間で行列がなくなったとき毎分15人が入館することをよく求められましたね。でも、入館口を4箇所開けたとき、毎分30人が入館しますが、行列の人数は、毎分（　　②　　）人しか減らないので、行列がなくなるまでの時間は、100÷（　　②　　）を計算して、（　　③　　）分となります。」　　　　　　　　　　　　　　　（2）開館時に入館口をx箇所開けたとき、行列の人数は毎分何人減るか、xを用いて表しなさい。　　　　　　　　　　（3）行列の人数を毎分35人減らすには、入館口を何箇所開ければよいか、求めなさい。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　入館口を2箇所から4箇所に、2倍にすると、2倍の人数が入館できるのだから、行列はそれだけ早くなくなる。つまり、2箇所だったら20分だから、4箇所ならば、その半分の１０分、とはなりません。開館後に誰も並びに来なかったら、それでいいのですが。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1）こういう問題を、ニュートン算といいます。　　　　　　　　　　　　　　　　　20分間で行列がなくなったわけですが、この20分間に、お客さんは何人入館したのでしょうか?　　　　　　　　　　　　　　　　　　元々100人並んでいました。開館後は毎分10人ずつなので、元々の100人＋あとから来た200人＝300人です。　　　　　　　　　　　　　　　　　えっ？何で200人って？１分で10人ずつ並びに来るから、20分で200人ですよ!よって、①は、300です。


20分で300人が入館したので、この児童は、毎分15人が入館しましたと発言し、そのことについては、先生に褒められています。　　　　　　　　　　　　　　　　　しかし、そのあとがいけません。だいたい、この児童は支離滅裂です。　　　　　　　　　　　　　　　　　20分で300人が入館しましたと発言したときには、元々並んでいた人のことも、開館後に並びに来た人のことも、きちんと考えて300人と言ったくせに、すぐそのあとでは、元々の100人のことしか考えていません。　　　　　　　　　　　　　　　　　先生は、「君のような人を、支離滅裂というのだよ」と言いたいのをグッと我慢して、毎分15人と割り出せたことを褒めます。そして、1分で行列が何人ずつ減るのかを説明します。　　　　　　　　　　　　　　　　　毎分10人ずつ並びに来ても、毎分30人ずつ入館するので、結局は毎分20人ずつ行列は減っていくことになります。


なので、100÷20＝5分で行列はなくなります。図で、あとから来た人が先に入るというのは、道徳教育上、子供には教えることができないかも。そのときは、

とでも言ってあげればいいですねえ。結局、①300　②20　③5　が正解です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）入館口２個のとき、毎分15人が入れるので、入館口が１個のときは毎分７.5人です。ゆえに、入館口がx個なら、毎分7.5x人が入館できます。　　　　　　　　　　　　　　　　　ただし、毎分１０人ずつ行列に加わるので、行列は、毎分7.5x−10人ずつ減ります。正解は、7.5x−10です。　　　　　　　　　　　　　　　　　7.5x−10なのか、10−7.5xなのかよく分からない人は、下の図で確認して下さい。

（3）(2)より、7.5x−10＝35。これを解いて、x＝6。正解は6箇所です。　　　　　　　　　　　　　　　　　ここをポチッとお願いします。☛
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