警視庁1類から（切断と面積）平成25.9.21

1辺1cmの全体が白い立方体が図のように8つ積まれた立方体Xがある。まず、立方体Xの外から見えている5面すべてを黒く塗り、ABとＣＤを通る平面で立方体Xを切断する。次に立方体Xを崩し、それぞれの面の色を調べる。このとき、黒く塗られていない白い部分の面積の合計として、正しいのはどれか。ただし、元の立方体は内部も白いものとする。このときの警視庁の試験は、切断と体積、切断と面積に関する問題が2題出題されていました。さて、まず、基本事項の確認からやってみます。それでは、本問の場合。従って、黒の面積20。白の面積28です。切断すると、正解は、肢③です。

警視庁1類から（？）その2

前回、2枚の画像を貼りましたが、実は、始めはこの画像にするつもりだったのです。どこが違うかというと、波線のところが、前回は～個となっていますが、今回は～通りとなっています。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　わざと間違えやすくするために、～個と変えて画像を貼りなおしたのです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　基本的には、～個でも、～通りでも同じことです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　x（15と記載されたカードの枚数）とy（35と記載されたカードの枚数）の組み合わせが、全部で29通りある、ということで、だからといって、それが本当に29個かどうかは、まだ分からないのです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　つまり、同じ数がダブっているかもしれない。例えば、x＝7で、y＝0という組み合わせのとき、15×7＋35×0＝105。x＝0で、y＝3という組み合わせのとき、15×0＋35×3＝105。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　とすると、せっかくこんなに苦労して式を作って計算したのに、もう一度、数字がダブっていないかどうか調べ直さなければいけない訳です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　そこで教訓。本問は、150以下の自然数で5の倍数は30個しかないのだから、その30個を書き出しておいて、表すことができたものを消していく、という、原始的なやり方が安全かつ速い解法だといえます。それでは、やってみます。35のカードを使わないときは、15、30、45、60、75、90、105、120、135、150だから、35のカードを1枚使うときは、35、50、65、80、95、110、125、140だから、35のカードを2枚使うときは、70、85、100、115、130、145だから、35のカードを3枚使うときは、105、120、135、150だから、もう消すものはありません。最終的に、6個残りましたので、正解は肢②の6個です。是非、自分でやってみてください。2つとばしでバツをつけるだけなので、簡単デスヨ。

警視庁1類から（?）平成25.9.21

少し面白い問題がありましたので、2回に分けて解説してみます。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　15と記載されたカードと35と記載されたカードが10枚ずつある。このカードを何枚か使い、記載された数字をすべて足して150以下の自然数を表したとき、表すことができない5の倍数の個数として、正しいのはどれか。ただし、どちらかの種類を使用すれば他方は使用しなくとも良いこととする。①5個②6個③7個④8個⑤9個　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　15のカードが何枚あっても、その和は5の倍数になるし、35のカードが何枚あっても、その和は5の倍数になりますから、記載されたカードの数字の和は、必然的に5の倍数になります。今、15のカードがx枚（xは10まで）、35のカードがy枚（yは10まで）とすると、ということで、10＋8＋6＋4＋1＝29。ところで、150÷5＝30ですから、5の倍数は、30個あります。そのうち、29個は作れるので、表すことができない5の倍数は、1個。あれれ？選択肢には、1個というのがありません。いったい、どこが間違っているのでしょうか？次回説明します。

警視庁1類から（軌跡）平成25.9.21

次の図のように、直線上に半径1の円Aと半径4の半円Bが接しておかれている。円Aが半円Bの周をすべらずに転がって反対側で再び直線に接したときに止まる。このとき直線との接点アが描く軌跡の形として、正しいのはどれか。必要な知識は、次の3つです。本問は、半径が1：4なので、そして、半円Bに沿って回転するので、正解は肢⑤です。

警視庁1類から（切断と体積比）平成25.9.21

立方体の各辺の中点をとる。次の図のように中点ア、イ、ウを通る平面で切断し、立方体の頂点Aを含む立体を取り除く。次に中点ウ、エ、オを通る平面で切断し、頂点Bを含む立体を取り除く。この作業を繰り返し、もとの立方体の頂点を含む立体をすべて取り除く。このとき、もとの立方体の体積に対する残った立体の体積の割合として、正しいのはどれか。実際に体積を計算してやってみると、こうなります。実際に体積を計算せずに、比のみでやってみると、正解は、肢⑤です。