平成29年度大阪府教員チャレンジテストより。 正八面体を、各頂点に集まる辺の中点を通る平面で切断し、頂点を含む六つの合同な正四角すいを正八面体から切り離した。このとき、残った立体の辺と頂点の数の組み合わせとして正しいものはどれか。1～5から一つ選べ。
前回の記事のとおりで、正解は、肢5です。この種の問題は、とても多いのです。 それでは、発展問題です。平成9年度の国税専門官より。 かなり難解です。 図のように、1つの頂点に集まる各辺の中点を通る平面で立体を切り取る。今、正八面体のすべての頂点について同様の作業を行い、できた立体にもう1度その作業を行ったとき、その立体の表面にできる図形のうちで、形とその数が正しく組み合わされているのはどれか。
①三角形 12個 ②三角形 18個 ③四角形 14個 ④四角形 18個 ⑤四角形 26個 数的推理では、「この操作を2回繰り返すと、～。」とか、「この操作を何回繰り返すと～になるか」は、よくありますし、空間把握でもたまにあります。 1回目の作業の後にできる立体は、正方形が6面と、正三角形が8面でできています。
この立体に、もう一度同じ作業をします。この立体（2回目の作業を行う前の立体）は、準正14面体といい、頂点が12個（①で考えたように、4×6÷2）、面が14面（6＋8）あります。ゆえに、
1回目の作業でできた準正14面体には、正三角形の面と正方形の面があり、正三角形の面では三角形が残り、正方形の面では四角形が残るので、かなり難しく感じる人が多いと思います。結局、四角形が18面と三角形が8面なので、正解は、肢④です。ここをポチッとお願いします。→
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「またこれ！」というほどよく出題される問題です。 正八面体の各辺の中点をとり、次の図のように頂点に近い4つの点を結んだ線に沿って四角すいを切り落とす作業を、正八面体のすべての頂点について行った。このとき、後に残った立体の辺の本数として、正しいものはどれか。
①8本②12本③16本④20本⑤24本 辺の本数だけ求めればよいのですが、せっかくだから、面、辺、頂点すべての数を求めてみます。「後に残った立体の面、辺、頂点の数をすべて足すといくらになるか」などという問題もありそうです。 こういうときは、新旧方式で考えるのがお勧めです。まず辺から。
今、頂点アで四角すいを切り落としたところですが、①～④の4つの辺は、切り落とすことによってできた新しい辺ですね。そして、
頂点イで切り落とすと、また⑤～⑧の新しい辺ができます。そして、①～④と、⑤～⑧で、ダブっている辺はありません。 つまり、「一つの頂点で切り落とすごとに、新しい辺が4つずつできる」ことが分かります。正八面体には6つの頂点があるので、新しくできる辺の数は、4×6＝24です。では、もともとあった辺は、いくつ残るのでしょうか？
図の、A、Bは、四角すいを切り落としたときに消失します。よって、もともとあった辺は、すべて消失します。元の正八面体を構成していた辺は、一つも残らないのです。 以上より、後に残った立体の辺の数は、24＋0＝24。正解は、肢⑤です。頂点も、面も、同じように考えます。
新しくできる頂点の数は、4×6÷2＝12。（2つずつダブるので2で割りました）もともとあった頂点は、すべて消失。よって、12＋0＝12。
新しくできる面の数は、1×6＝6。もともとあった8面は、すべて残ります。よって、6＋8＝14。 ここをポチッとお願いします。→
下の図のような、1辺の長さが1㎝の立方体28個を積み上げて作った立体がある。この立体の表面積として、最も妥当なのはどれか。
①74㎠ ②75㎠ ③76㎠ ④77㎠ ⑤78㎠ 真上から見て、見える部分に、○をつけます。
13㎠です。真下から見ても同じく13㎠。正面から見える部分に△をつけます。
13㎠です。裏から見ても13㎠。右から見て、見える部分に×をつけます。
13㎠です。左から見ても13㎠。よって、表面積は、13×6＝78㎠。正解は、肢⑤です。結局、○、△、×という区別も必要なく、この状態で見えている部分の面積を2倍するだけですね！
①222㎠②242㎠③262㎠④282㎠⑤302㎠上から色を塗ると（赤色）、
9×9＝81㎠。ということは、底に色を塗ったとしても、やはり81㎠。正面から色を塗ると（緑色）、
1＋3＋5＋7＋9＝25㎠。この立体の場合は、たまたま、正面、右側面、左側面、裏面が、全て同じ形なので、25×4＝100㎠。よって、表面積は、81×2＋100＝262㎠。正解は肢③です。
①6個②8個③10個④12個⑤14個 縦にn個、横にもn個、しかもn段、つまり、n×n×nの立方体を作って、それを次のように切断したときには、便利な公式があります。
本問の場合は、
よって、正解は①です。