大阪府、大阪府豊能地区、大阪市、堺市教員採用試験 9

2021年出題。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　次の表は、わが国の2013年から2020年までの乗用車におけるハイブリッド車と電気自動車の保有台数の推移を示したものである。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　あとのア〜エのうち、この表からいえることとして正しいものを○、誤っているものを✕とした場合、正しい組合せはどれか。1〜5から一つ選べ。
ア　乗用車におけるハイブリッド車の2014年から2020年までの保有台数の推移をみると、前年と比較して毎年100万台以上増加している。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　イ　乗用車におけるハイブリッド車の保有台数について、2014年の対前年増加率と2020年の対前年増加率を比較すると、2014年の方が大きい。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウ　乗用車におけるハイブリッド車と電気自動車それぞれの保有台数の2013年から2020年までの7年間の増加率を比較すると、乗用車におけるハイブリッド車の増加率の方が大きい。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　エ　乗用車における電気自動車の2018年から2020年までの保有台数の対前年増加率の推移をみると、毎年大きくなり続けている。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ア‥‥‥もう、いきなり2015年でアウト〜。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2014年から2015年にかけては、4684−3823＝861（千台）、つまり86万1千台しか増えていません。アは✖　　　　　　　　　　　　　　　　　　イ‥‥‥増加率は、増えた量÷もとの量で算出します。（他にも求め方はあります）2013年から2014年にかけて、3823−2850＝973増加。　　　　　　　　　　　　　　　　　　もと（2013年）は2850だから、2014年の増加率は973/2850です。（%にしたければ100倍する）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2019年から2020年にかけては9281−8453＝828増加。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　もとは8453だから、2020年の増加率は828/8453。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2014年の増加率の方がめちゃめちゃ大きいので、これは正しい。イは◯　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウ‥‥‥これもイと同じく、増加率の比較です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　イと同じようにしてもかまいませんが、この場合、もっと簡単な方法がありますよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2013年から2020年にかけて、ハイブリッド車は、ざっと見て3倍になっています（2850→9281）。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　それに対して、電気自動車は5倍（24→117）ですので、電気自動車の増加率のほうが大きい。ウは✖。（この時点で正解は3）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　このように、増加率の比較をするときに、何倍になったかという視点も重要です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　エ‥‥‥またまた増加率。　　　　　　　　　　　　　　　　　2019年の増加率は14/91。　　　　　　　　　　　　　　　　2020年の増加率は12/105。　　　　　　　　　　　　　　分母が大きくなり、分子が小さくなっているので、増加率は小さくなっています。（アについても、同じことがいえます）よって✖。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正解は肢3です。

大阪府、大阪府豊能地区、大阪市、堺市教員採用試験 8

2021年出題。　　　　　　　　　　　　　　　　　　平面において、一辺の長さが6cmである正六角形を、直線lに沿ってすべらないように1回転させたとき、正六角形の頂点Pが描く軌跡は下図の太線のようになった。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　円周率をπとして、この軌跡の長さを①〜⑤から一つ選べ。ただし、直線lは動かないものとする。
①12πcm ②14πcm　③16πcm　　　　　　　　　　④（8+4√3）πcm　⑤（12+4√3）πcm　　　　　公式があるので、あとで紹介しますね。　　　　　　　　　　　　とりあえず、1回転がしましょう。
このとき、何が起こったのかというと、点Pは、60°回転したのです。　　　　　　　　　　　　もう少し詳しく説明すると、
正六角形が右側に転がるとき、60°だけ回転すると直線lにべちゃっとくっついてしまいます。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正六角形が60°回転するのだから、点Pだって60°回転します。　　　　　　　　　　　　　　　　　回転の中心は点Qです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　つまり、点Pは、点Qを中心にして、60°回転します。その時の半径は6cm。　　　　　　　　　　　　では、その次、
やはり、60°回転しますね。　　　　　　　　　　　　　　　　ただ、このときの半径は6cmではありません。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6√3cmです。
図で、四角形アイウエは、ひし形。　　　　　　　　　　　ひし形の対角線は直角に交わります。　　　　　　　　　　　　三角形アイオは辺の長さが1:2:√3の三角定規だから、アオ=3√3。　　　　　　　　　　　　　　　　　　よってアウ=6√3。　　　　　　　　　　　　　　　　　　つまり、点Pは、点Rを中心にして、60°回転します。その時の半径は6√3cm。　　　　　　　　その次。
60°回転。半径は12cm。　　　　　　　　　　　　　　　点Pは、点Sを中心にして、60°回転します。その時の半径は12cm。　　　　　　　　　　　　　その次。
60°回転。半径は6√3cm。2回目の回転と同じですね。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点Pは、点Tを中心にして、60°回転します。その時の半径は6√3cm。　　　　　　　　　　　　最後。
60°回転。半径は6cm。1回目の回転と同じです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点Pは、点Uを中心にして、60°回転します。その時の半径は6cm。　　　　　　　　　　　　　　　　　　ピンク色の部分をすべてつなぎ合わせると、軌跡の長さが分かります。　　　　　　　　　　　　　　　一つ一つの長さを計算すると面倒なので、まとめます。　　　　　　　　　　　　　　　　　扇形の弧の長さは、2×半径×中心角/360でしたね。
ということになり、一般化した公式は、
本問の場合は、点Pが正六角形の頂点にあるので、ただし書きのように、6−1＝5つの長さを足して、2倍して、πをかけて、最後に60/360にすれば答えです。　　　　　　　　　　　　やってみましょう。
正解は、肢④です。

大阪府、大阪府豊能地区、大阪市、堺市教員採用試験 7

2021年出題。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ある飲食店において、ある日に来店した人のうち、丼物（どんぶりもの）を食べた人の割合は62.5%、うどんを食べた人の割合は36.0%であった。　　　　　　　　　　　　　　　また、丼物を食べてうどんも食べた人の割合は、丼物を食べた人のうち、9.6%であった。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　丼物を食べてうどんも食べた人の割合は、うどんを食べた人のうち、何%か。最も近いものを、次の①〜⑤から一つ選べ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①6%　②9%　③12%　④17%　⑤20%　　　　　　　　　　　　　　　　若い頃は昼ご飯にカツ丼ときつねうどんくらい普通に食べてたのですが、もう今はきつねうどんだけで十分です。　　　　　　　　　　　　　　こういった問題を考えるのに、ベン図を使うのもよし、表を書くのもよし、お好きな方法でどうぞ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　ではまず、ベン図でやってみましょう。ある日に来店した人を1000人とすると、丼物を食べた人は625人、うどんを食べた人は360人。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　両方食べた人をx人とすると、
両方食べた人は、丼物を食べた人（625人）のうちの9.6%だから、625×0.096=60人。　　　　　　　　　　　　　　　　ゆえにx=60。
うどんを食べた人は360人だから、両方食べた人は、うどんを食べた人の、60÷360=0.1666…で、約17%。　　　　　　　　　　　正解は、肢④です。　　　　　　　　　　　　　　　　　表を書くと、
これも同じく、60÷360=0.1666…で、約17%ですね。

大阪府、大阪府豊能地区、大阪市、堺市教員採用試験 6

2021年出題。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A〜Eの5人は同じ書店でアルバイトをしており、この書店のアルバイトはA〜Eの5人のみである。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A〜Eは、ある週の月曜日から金曜日までの間で、2日ずつ勤務し、どの日もA〜Eのうち2人が勤務した。　　　　　　　　　　　　　　　　この週の、A〜Eが勤務した曜日について、次のア〜カのことが分かっている。　　　　　　　　　　　　　　　　ア　Aは火曜日と木曜日は勤務せず、Eと同じ曜日に勤務しなかった。　　　　　　　　　　　　　　　　　イ　Bは月曜日か火曜日のいずれかの日に勤務し、金曜日は勤務しなかった。　　　　　　　　　　　　　ウ　Cは水曜日に勤務した。　　　　　　　　　　　　　　　　　エ　Dは月曜日に勤務し、火曜日か、水曜日のいずれかの日に勤務した。　　　　　　　　　　　　　　　　オ　Eは水曜日に勤務せず、木曜日に勤務した。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　カ　A〜Eの5人が勤務した曜日の組み合わせはそれぞれ異なっていた。　　　　　　　　　　　　　　このとき、確実にいえるものはどれか。①〜⑤から一つ選べ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　①Aは金曜日に勤務した。　　　　　　　　　　　　　　②Bは月曜日に勤務した。　　　　　　　　　　　　　③Cは木曜日に勤務した。　　　　　　　　　　　　　　　　④CとEがそれぞれ勤務した2日のうち1日は同じ曜日であった。　　　　　　　　　　　　　　　　　⑤DとEがそれぞれ勤務した2日のうち1日は同じ曜日であった。　　　　　　　　　　　　　　　　　条件アより、
条件イより、
月曜か火曜のいずれかなので、月曜と火曜の境界に○をつけています。　　　　　　　　　　　　　　　　同じようにして、条件ウ、エ、オより、
Dの2日の勤務は、1日が月曜、もう1日が火曜か水曜なので、木曜と金曜は確実にお休みですね。
金曜日に、Cがお休みしたいと言ったらどうしましょう!　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　AとEが同じ曜日に勤務することになってしまうので、Cさんを説得して勤務させます。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ここでCさんは水曜と金曜と決定。
じゃあ、木曜日はBとEが勤務することになります。
ここで、大事な条件があります。　　　　　　　　　　　　条件カ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5人の勤務した曜日の組み合わせが異なるという条件です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　だから、Aさんが月曜に休みたいと言ってきたら困るのです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Aさんが月曜に休むと、Aさんの勤務が水曜と金曜になり、Cさんと同じ組み合わせになる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　よって、Aさんは月曜勤務。　　　　　　　　　　　　　なので月曜はAとDが勤務します。
Bさんは月曜か火曜のいずれかの日に勤務ってことでしたが、どうやら火曜ですね。（Bさんは火曜木曜と決定）
Eさんが火曜に勤務すると、BさんとEさんの勤務が同じ組み合わせになるから、Eさんは火曜お休み〜。よって木金勤務。
金曜はCさんととEさんが勤務するからAさんはお休みで、Aさんは月水勤務。
水曜日はAさんとCさんが勤務だからDさんはお休み。Dさんは月火勤務。これで完成しました。
正解は、肢④です。