東京消防庁1類no10（2017.5.28）

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A～Eの5人がテニスの大会に出場した。テニスはダブルスで、A～Eはそれぞれ2回ずつ異なる人とペアを組んで出場した。A～Eが次のように証言している。5人のうち、うその証言をした者は1人のみで、その他の4人の証言は正しいとき、うその証言をした者として、最も妥当なのはどれか。 　　　　　　　　　　　　　A「私はDとペアを組んだ。」　　　　　　　　　　　　　　　　　　B「私はCとDとペアを組んだ。」　　　　　　　　　　　　　　　　　　C「私はAとペアを組んだ。」　　　　　　　　　　　　　　　　　　D「私はEとペアを組んだ。」　　　　　　　　　　　　　　　　　　E「私はAとペアを組んだ。」①A②B③C④D⑤E　　　　　　　　　　　　　　もしも、CとEの2人ともが正しい証言をしていたとしましょう。そうすると、CAペアとEAペアが出来上がります。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　よって、Aは、CとEの2人とペアを組んでいます。ゆえに、Aの証言はうそになります。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　でも、CとEの2人ともが正しい証言をしたとは限りませんね。ここは、こう考えましょう。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　#A、C、Eの3人が、3人とも正しい証言をしていることはあり得ない。（この3人の中にウソつきがいる）。　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウソつきは1人のみだから、BとDの証言は正しい。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　BとDの証言を、表にしてみます。すると、Aは、CとEとペアを組んでいたようです。どうやら、Aがウソつきだったようです。正解は、肢①です。

教員採用試験教養数学（岡山市）2016.7.9

図のように円Oに内接するAB＝BC＝CD、DE＝EFである七角形ABCDEFGがある。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∠ABC＝140º、∠DEF＝110ºのとき、∠AGF、∠DAF、∠COD、∠AOFの大きさの組み合わせとして、正しいものはどれか。四角形ADEFは、円に内接しています。円に内接する四角形は、向かい合う角の和が180º（円に内接する四角形の定理）だから、とりあえず、∠DAF＝70º。これで、肢①か⑤の二択になります。次に、AB＝BC＝CDより、△ABOと△BCOと△CDOは合同。ゆえに∠COD＝40º。正解は、肢⑤です。△AODにおいて、∠AOD＝120ºで、OA＝ODだから、∠DAF＝70ºだったので、∠OAF＝40º。OA＝OFだから、∠AOF＝180－40×2＝100ºです。弧ADFに対する中心角は、360－100＝260º。∠AGFは、弧ADFに対する円周角だから、260÷2＝130ºです。（円周角は中心角の半分）DE＝EFという条件は、関係なかったですね。

東京消防庁1類no9（2017.5.28）

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A～Cの3人は、10時00分に駅で待ち合わせをすることにした。3人が到着した状況について以下のように発言しているとき、確実にいえることとして、最も妥当なのはどれか。ただし、駅の時計は正確である。　　　　　　　　　　　　　　　　　A「私は自分の時計が3分遅れていると思ったので、9時58分に着いたと思った。」　　　　　　　　　　　　　　　　B「私はAの時計で10時ちょうどに着いたが、駅の時計では2分遅刻だった。」　　　　　　　　　　　　　　　　C「私は自分の時計で10時5分に着いた。私の3分後にBが到着した。」　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
①AはCの時計で10時2分に到着した。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②BはCの時計で10時9分に到着した。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③CはBの時計で10時ちょうどに到着した。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　④3人の中ではCが最も早く到着した。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑤Cの時計は6分進んでいた。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Aは、9時58分に着いたと思ったのですが、なぜそう思ったのでしょうか？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　自分の時計を見て、そう思ったわけです。では、その時、Aの時計は何時何分だったのか？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　そんなことは、すぐには分からないですが、「3分遅れていると思ったので」と書いてあるから、9時55分か、10時1分かのどちらかです。そこで、自分がAになったつもりで考えてみます。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　時計を見た。9時55分だ。しかし、この時計は3分遅れている。そうか。今9時58分か。となりますね。よって、Aが到着したとき、Aの時計は9時55分でした。次に、Bの発言。Bは、Aの時計で10時ちょうどに着いたのだから、Aが到着してから5分後に到着です。そして、Cの発言。Cの3分後にBが到着したので、Cは、Bの3分前に到着です。肢①Aが到着したとき、Cの時計は10時3分でした。肢②Bは、Cの時計で10時8分に到着しました。肢③Bの時計についての情報がないので不明です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　肢④Aが最も早く着いています。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　肢⑤9時59分に、Cの時計は10時5分なので、確かに6分進んでいます。正解は、肢⑤です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　（注）問題文には、ことさら何も書いていませんが、時計のずれの問題では、それぞれの時計は、「ずれてはいるが、狂ってはいない」という前提で考えます。ほとんどの過去問では、ただし書きで明記してあります。画像の（注）のところですが、もしも、Aの時計が狂っていれば、（時計が5分進んでも、それが実際には5分ではなかったというアホな時計）本問で考えたことは水泡に帰してしまいます。

教員採用試験教養数学（大阪府、豊能地区、大阪市、堺市）

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次の表は、世界各国の人口推移と2050年の年齢別人口構成比を示している。（2030年と2050年は予測）。次の各文のうち、この表からいえることとして、正しいものを○、誤っているものを×とした場合、正しい組み合わせはどれか。1～5から一つ選べ。Aについて。インドは、2000年は1053、2050年は1705。確かに大きく増加していますが、2倍にはいってませんね。ところが、ナイジェリアは、明らかに2倍を超えています。よって誤り。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Bについて。ロシアは、18減で、日本は30減。2000年は日本の方が人口が少なかったのだから、日本の方が減少率は大きい。これも誤り。えっ？よく分からない？減少率は、次のように求めます。ロシアと日本を比べてみると、分子は日本の方が大きくて、分母は日本の方が小さいのだから、計算しなくても、日本の方が大きいと言うわけです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　なに？まだ分からない？例えば、サッカーで、146回シュートをして18回ゴールした選手と、127回シュートをして、30回ゴールした選手とでは、どちらが優秀な選手かを考えれば分かると思います。Cについて。2030年と2050年を比べると、分子と分母の大小から、2050年の方が小さいことが分かります。2000年と2030年はどうでしょうか？資料解釈では、普通、上から2ケタの概数にして計算します。よって、Cも誤り。この時点で、正解は肢⑤。Dについて。2050年の65歳以上の人口構成比が最大なのが日本であることは、表から明らかです（38.8％）。でも、15歳未満の人口が最大なのは、構成比だけではどの国かは分かりません。ナイジェリアは、構成比はダントツでトップですが、もしかすると、人口の多いインドより少ないかもしれません。このように、実際に計算しても構いませんし、インドは、構成比は、ナイジェリアの半分くらいしかないが、人口が4倍以上なので、インドの方が多いと判断しても構いません。Eについて。確かに、フランスはドイツより多いです。よって、正解は、肢⑤です。

東京消防庁1類no8（2017.5.28）

A～Eの5人でパーティーを開き、プレゼント交換を行った。次のア～カのことがわかっているとき、確実にいえることとして、最も妥当なのはどれか。ただし、各自は自分が持ってきたプレゼントとは異なるプレゼントを受け取ったものとする。　　　　　　　　　　　　　　　　　　ア　A～Eの5人は、手帳、ネックレス、入浴剤、香水、マフラーのいずれか異なる1つの物を持ち寄った。　　　　　　　　　　　　　　　　　　イ　手帳を持ってきた者は、香水をもらった。　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウ　Aが持ってきたネックレスをもらったのはDではない。　　　　　　　　　　　　　　　　　　エ　Bは香水をもらわなかった。　　　　　　　　　　　　　　　　　　オ　Cは入浴剤をもらった。カ　Dはマフラーを持ってきた。　　　　　　　　　　　　　　　　　　①Aは手帳をもらった。　　　　　　　　　　　　　　　　　　②Bが持ってきたプレゼントをもらったのはEである。　　　　　　　　　　　　　　　　　　③Cが持ってきたプレゼントをもらったのはAである。　　　　　　　　　　　　　　　　　　④Dが持ってきたプレゼントをもらったのはBである。　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑤Eが持ってきたプレゼントをもらったのはDである。プレゼント交換なので、次のような表にまとめます。さて、表の右側の？は誰でしょう？Eですね！では、Aが持ってきたネックレスは、誰がもらった？Aはネックレスを持ってきた本人だから、もらってませんよ！とすると、Bがもらったんですね。次に、Dが持ってきたマフラーは、Aがもらい、そうすると、自動的にDは手帳をもらった。（ここで正解が出ました）入浴剤を持ってきたのはB。よって、Cは香水を持ってきた。正解は、肢⑤です。