どんな規則?2019年度三重県教員採用試験小学全科2

同じ長さの棒を4本使って1番目の正方形をつくる。2番目、3番目、4番目のような規則で大きな正方形をつくっていくと、19番目の図形では棒が(ア)(イ)(ウ)本必要となる。(ア)(イ)(ウ)に入る数字を答えなさい。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1番目は4本、2番目は12本、3番目は24本、4番目は40本、規則的に増えていくので、数列(この場合は階差数列)の問題だとして考えても構いません。　　　　　　　　　　　　　　　　　　また、これはただのクイズだと思って、この図をよく観察してみても構いません。　　　　　　　　　　　　　　　　　　数列を使わずに考えてみましょう。　　　　　　　　　　　　　　　　　　例えば、3番目の図は、なぜ24本？　　　　　　　　　　　　　　　　　　ヒントは、縦と横を別々に数えることです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　縦は12本、横は12本で、縦と横がたまたま同じ本数になっています。　　　　　　　　　　　　　　　　　　でもこれは「たまたま」だったのでしょうか?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3番目の図を右に(左でもいいけど)90°回転すると、もとの図と同じです。縦と横が入れ変わるのです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　だから、他の図も、全て縦と横が同じ本数になっています。　　　　　　　　　　　　　　　　　　次に、3番目の図の縦は、なぜ12本？3×4＝12ですね。こういう規則になってます〜。
縦が380本だから横も380本、合わせて760本。正解は760です。ここをポチッとお願いします。→
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三角形でも四角数

細見静香さんに会ってみたら、だったり、大岩田豪毅さんに会ってみたら、だったり、名前と実態がかけ離れている場合がたまにあります。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　平成29年警察官（大卒）より。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1辺の長さが1cmの正三角形を、図のように1段目は1個、2段目は3個、3段目は5個というように、全部で256個を連結させて一つの大きな正三角形を描いた。このとき大きな正三角形の底辺の長さはいくらか。①11cm　②12cm　③13cm　④15cm　⑤16cm　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1段作ると、小さな正三角形は1個しか使いません。2段作ると、小さな正三角形は、1＋3＝4個使います。3段作ると、小さな正三角形は、1＋3＋5＝9個使いますので、ということになり、256個の正三角形を使ったということは、256＝16＋16だから、1段のとき、底辺の長さは1cm、2段のとき、底辺の長さは2cm、3段のとき、底辺の長さは3cmですから、16段のとき、底辺の長さは16cm。正解は、肢⑤です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ところで、三角数、四角数について知っていますね。1＋2＋3＋……………＋n＝1/2×n（n＋1）が三角数。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1＋3＋5＋……………＋（2n－1）＝nの2乗が四角数。なぜそんな名前かというと、すると、本問の図は三角形、なのに四角数？という変な疑問が生じてくるのです。勿論、こうやりゃ四角数でしょ！と言われれば、そうなんだけど。やはり、名前に囚われるといけませんねえ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　なんか、三角数とか四角数とか知らなかった方がスッキリ答えが出せたような一問でした。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ここをポチッとお願いします。→
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東京消防庁1類no32（平成24年5月27日）

一般項が、である数列の第4項の値として、最も妥当なのはどれか。もしも、第100項を求めよ、ということであれば、階差数列やら、特性方程式やら、かなり面倒くさいことになってしまうのですが、本問は、第4項を求めるだけ。この式は、漸化式といって、この数列の設計図のようなものです。ですから、正解は肢③です。

大阪府公立義務教育諸学校事務職no43（2016.10.22）

数列6、14、22、30、38、・・・について、第30項の数と第70項の数の和として正しいのはどれか。 ①496②596③696④796⑤896 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　この数列は、単に、8ずつ増えていく等差数列です。等差数列の一般項は、本問の場合は、初項＝6、公差＝8で、第30項は、nに30を代入して、第70項は、nに70を代入して、よって、その和は、238＋558＝796。正解は肢④です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　次に、等差数列の公式を使わずにやってみます。第1項が6、第2項が14、第3項が22、第4項が30、第5項が38。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　実は、等差数列の場合は、必ず、次のような規則があるのです。第1項の「1」という数字に、公差の8を掛けると、「8」になります。そこから、2をひけば、「6」になります。第2項の「2」という数字に、公差の8を掛けると、「16」になります。そこから2を引けば「14」になります。第3項から先も、すべて同様です。だから、第30項は、30×8－2＝238で、第70項は、70×8－2＝558です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（項の番号）×（公差）に、いくつかを足すか引くかをすれば、その項が分かります。ただし、これは等差数列のときだけです。
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大阪府公立義務教育諸学校事務職no37（2016.10.22）

次の図のようにマッチ棒を並べて正方形を作るとき、200本のマッチ棒を使ってできる正方形の個数として正しいのはどれか。2つの解法があります。その1は、数列を使った解法です。正方形が1個のとき、マッチ棒は4本必要です。正方形が2個のとき、マッチ棒は7本、正方形が3個のとき、マッチ棒は10本………正方形が1つ増えると、マッチ棒は3本ずつ増えていくので、等差数列です。等差数列の一般項の公式は、マッチ棒が200本だから、よって、66個まで作ることができます。数列の公式を覚えていない場合は、次のようにします。正方形の数とマッチ棒の数との関係をよく見て、何か規則性を発見して下さい。ヒントは、正方形の数に、公差（この場合は3）を掛けてから………。正方形の数がnのとき、マッチ棒は、3n＋1本必要です。これが200本以下であればよいので、3n＋1≦200。これを解いて、n≦66.66…なので、正方形は66個まで作れます。その2は、単に不等式で考えます。正方形がn個のとき、3n＋1個のマッチ棒が必要だと、すぐに分かります。よって、3n＋1≦200。あとは、上と同じです。正解は、肢⑤です。
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