逆関数を求める。

こんな問題に直面した。

【問題】

x=bc/(a+b+c),
y=ca/(a+b+c),
z=ab/(a+b+c)

のとき、a, b, c をx, y, zで表せ。


a, b, cの3つの数を別の3つの数の組x, y, zに移す写像であるが、これは線形ではなく、非線形なので連立一次方程式のように解く訳にはいかない。

この問題は回路理論においてΔY変換の逆変換であるYΔ変換を求めるものであり、回路理論的な考察に基づいて非常にエレガントな方法で解けてしまうのだが、そういった背景を全く知らずに解くのはなかなか難しいかもしれない。

ただ、これらの式は非常に高い対称性をもっているので、それを上手く利用すれば意外とあっさり解けるかもしれない。

そんな解法の一つを下に記しておく。なお、初めに僕が思いついた解法はもう少し泥臭いものであったが、この記事を書いている今、もっとシンプルなやり方が思いついたのでそちらを紹介する。


【解答】

ax=by=cz であるから、この共通の値を k とおくと

a=k/x,
b=k/y,
c=k/z

となる。これらを第一式に代入すると

x=kx/(yz+zx+xy)

となり、これより k=yz+zx+xy とわかる。これを先ほどの式の右辺に代入すれば求める式を得る。