ガウス記号を含む方程式の問題（２）［灘高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１６年灘高入試に出題されたガウス記号を含む方程式の問題を取り上げます。

問題は、
「次の［　　］内に適する数または式を記入せよ。

　［ｘ］ は、ｘを超えない最大の整数を表すものとする。ｘの方程式
　［ｘ］＋［２（ｘ－［ｘ］）］＝５ を満たすｘのうち最小のものは［　　］である。」
です。

［ｘ］をガウス記号と呼び、
ｘ＝ｎ＋ｂ　ｎは整数、０≦ｂ＜１
とすると、
［ｘ］＝ｎ
になります。

これを与えられた式に代入すると、
ｎ＋［２（ｎ＋ｂ－ｎ）］＝ｎ＋［２ｂ］＝５　　　（★）
になります。

このとき ０≦２ｂ＜２ なので、 ０≦２ｂ＜１ の場合と１≦２ｂ＜２の場合に分けて調べます。

● ０≦２ｂ＜１ ⇒ ０≦ｂ＜０．５ の場合
［２ｂ］＝０ から、（★）は ｎ＋０＝５ になり、ｎ＝５です。

● １≦２ｂ＜２ ⇒ ０．５≦ｂ＜１ の場合
［２ｂ］＝１ から、（★）は ｎ＋１＝５ になり、ｎ＝４です。

これらから ｘ が最小値をとるのは ｎ＝４、０．５≦ｂ＜１ の場合で、このときｂの最小値は０．５です。

したがって、与えられた式を満たすｘの最小値は ４．５ で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

先日、中３の塾生と英語教科書の音読、解説をしていたところ、
Ｊａｐａｎｅｓｅ　ａｒｔ　ｈａｓ　ｉｎｆｌｕｅｎｃｅｄ　Ｆｒｅｎｃｈ　ａｒｔｉｓｔｓ　ｓｉｎｃｅ　ｔｈｉｓ　ｐｅｒｉｏｄ．
（このとき以来、日本の芸術はフランスの芸術家に影響を与えている）
という文がありました。

この ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ を ウィズダム英和辞典 で引いてみると、「（間接的に）＜人･考え方など＞ に影響を与える」 とあり、「＜物・事が＞・・・に影響する」を意味する ａｆｆｅｃｔ　との違いについて、

● ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ
　人のふるまいや考え方に間接的に働きかける

● ａｆｆｅｃｔ
　直接的に生活・仕事・結果などに変化をもたらす

Ｔｈｅ　ｓａｌｅｓ　ｏｆ　ａｌｃｏｈｏｌ　ａｒｅ　ａｆｆｅｃｔｅｄ　ｂｙ　ｔａｘ　ｃｈａｎｇｅｓ．
（種類の売り上げは税制の変化により影響を被る）

と記してあります。


頭に入れておくとよいでしょう。

場合の数の問題（４）［灘高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２００９年灘高入試に出題された場合の数の問題を取り上げます。

問題は、
「８個の数字 １、２、３、４、５、６、７、８ を使って３桁の整数をつくるとき、次の問いに答えよ。

（１）　同じ数字を何回使ってもよいとすれば何個できるか。

（２）　３つの異なる数字を使ってつくるとき、３の倍数は全部で何個できるか。

（３）　（２）でできた整数すべての和を求めよ。」
です。

（１）から始めましょう。

百、十および一の位に使うことができる数字はそれぞれ８通りなので、求める整数の個数は ８×８×８＝ ５１２（個） で、これが答えです。

次に（２）です。

１から８までの整数を３で割った余りで分類すると表１のようになります。

▲表１．３で割った余りで分類しました

３の倍数の整数は各桁の数の和が３の倍数なので、３桁の整数の場合、
［０］ ３で割った余りが０の数３個の並び替え
［１］ ３で割った余りが１の数３個の並び替え
［２］ ３で割った余りが２の数３個の並び替え
［３］ ３で割った余りが０、１、２の数各１個ずつの並び替え
のいずれかになります。

［０］については、３で割った余りが０の数が２個しかないので、３桁の整数をつくることはできません。

［１］については、３で割った余りが１の数が３個なので、それらを並び替えて、３桁の３の倍数は ３×２×１＝６（個）つくれます。

［２］については、３で割った余りが２の数が３個なので、それらを並び替えて、３桁の３の倍数は ３×２×１＝６（個）つくれます。

［３］については、３で割った余りが０、１、２の数がそれぞれ２個、３個、３個で、それらからのそれそれ１個の選び方は ２×３×３＝１８（通り）で、選んだ数の並び替え ３×２×１＝６（通り）なので、３桁の３の倍数は １８×６＝１０８（個）つくれます。

以上から、３の倍数は ６＋６＋１０８＝ １２０（個） で、これが答えです。

最後の（３）です。

３桁の３の倍数を １００Ａ＋１０Ｂ＋Ｃ とすると、１００Ａ＋１０Ｃ＋Ｂ、１００Ｂ＋１０Ａ＋Ｃ、１００Ｂ＋１０Ｃ＋Ａ、１００Ｃ＋１０Ａ＋Ｂ、１００Ｃ＋１０Ｂ＋Ａ も３の倍数になり、これらの和は、
１００Ａ＋１０Ｂ＋Ｃ＋１００Ａ＋１０Ｃ＋Ｂ＋１００Ｂ＋１０Ａ＋Ｃ＋１００Ｂ＋１０Ｃ＋Ａ＋１００Ｃ＋１０Ａ＋Ｂ＋１００Ｃ＋１０Ｂ＋Ａ
＝２００（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＋２０（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＋２（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）
＝２２２（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）
になります。

つまり、１から８までの８個の整数から和が３の倍数になる３個の数の組合せすべてについて、それらの和を足し合わせて、それに２２２を乗じたものが（２）でできた整数のすべての和になります。

そこで、１から８までの８個の整数から和が３の倍数になる３個の数の組合せを調べると、表２のようになります。

▲表２．１から８までの８個の整数から和が３の倍数になる３個の数の組合せです

これらの組合せについてそれぞれの和を計算すると、表３のようになります。

▲表３．それぞれの組合せについて和を計算しました

ここで、表３の和を足し合わせると、
６＋９＋９＋１２＋１２＋１２＋１５＋９＋１２＋１２＋１５＋１５＋１２＋１５＋１５＋１８＋１５＋１８＋１８＋２１
＝６＋９×３＋１２×６＋１５×６＋１８×３＋２１
＝２７０
です。

したがって、（２）でできた整数のすべての和は ２７０×２２２＝ ５９９４０ で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｓｔａｒｔ と ｂｅｇｉｎ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１の英語教科書に、
Ｍｙ　ｓｃｈｏｏｌ　ｌｉｆｅ　ｉｎ　Ｊａｐａｎ　ｓｔａｒｔｅｄ　ｔｏｄａｙ．
（日本での私の学校生活が今日始まった）
という文があり、中３の教科書には、
Ｉｔ　ｂｅｇａｎ　ｗｉｔｈ　ａ　ｆｌａｓｈ．
（それは閃光で始まった）
という文があります。

前者の ｓｔａｒｔ も後者の ｂｅｇｉｎ もどちらも「始まる」という意味ですが、これらの違いについて ウィズダム英和辞典 には、

（１） ｂｅｇｉｎ が小説などの書き言葉で好まれるのに対し、 ｓｔａｒｔ は会話から書き言葉まで広く用いられる

（２） 連続して起こる出来事の最初を述べるときには ｂｅｇｉｎ
　　　Ｔｈｅ　ｓｔｏｒｙ　ｂｅｇｉｎｓ　ｏｎ　Ｐｒｉｎｃｅ　Ｅｄｗａｒｄ　Ｉｓｌａｎｄ．
　　　（物語はプリンス・エドワード島から始まる）

（３） ｓｔａｒｔ が静から動への移行を表すのに対して、 ｂｅｇｉｎ にはそのような意味はない
　（ａ）「出発する」
　　　Ｗｅ　ａｒｅ　ｓｔａｒｔｉｎｇ［×ｂｅｇｉｎｎｉｎｇ］ａｔ　７：００ａ．ｍ．　ｔｏｍｏｒｒｏｗ．
　　　（明日の朝７時に出発することになっている）
　
　（ｂ）「（特定の方向に）動き出す」
　　　Ｈｅ　ｓｔａｒｔｅｄ［×ｂｅｇａｎ］ｄｏｗｎ　ｔｈｅ　ｒｏａｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｃａｒ．
　　　（彼は車に向かって歩き出した）

　（ｃ）「＜機械などが＞始動する；・・・を始動させる」
　　　Ｔｈｅ　ｅｎｇｉｎｅ　ｓｔａｒｔｅｄ［×ｂｅｇａｎ］．
　　　（エンジンがかかった）

　（ｄ）「発生させる」
　　　Ｗｈｏ　ｓｔａｒｔｅｄ［×ｂｅｇａｎ］ｔｈｅ　ｒｕｍｏｒ？
　　　（誰からそのうわさがでたのか）
と記してあります。

また、 オックスフォード実例現代英語用法辞典 には、より形式張った文体の場合は、通例 ｂｅｇｉｎ のほうが好まれるとあり、例文として、
Ｗｅ　ｗｉｌｌ　ｂｅｇｉｎ　ｔｈｅ　ｍｅｅｔｉｎｇ　ｗｉｔｈ　ａ　ｍｅｓｓａｇｅ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　Ｐｒｅｓｉｄｅｎｔ．
（はじめに大統領からのメッセージを読み上げて会議を始めることにいたします）
Ｄａｍｍ！　Ｉｔ’ｓ　ｓｔａｒｔｉｎｇ　ｔｏ　ｒａｉｎ．
（畜生！　雨が降り出しやがった）
を挙げています。


頭に入れておくといいでしょう。

図形問題（６）［灘高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２００９年灘高入試に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「ＡＢ＝２、∠ＡＯＢ＝９０° の直角二等辺三角形ＡＯＢがある。図のように、辺ＡＢ上（両端は含まない）に２点Ｃ、ＤをＣＤ＝１となるようにとり、点ＥをＡＣ＝ＣＥ、∠ＡＣＥ＝９０° となるようにとる。また、辺ＡＢと線分ＯＥの交点をＦとする。このとき、次の問いに答えよ。

▲問題図

（１）　∠ＦＯＤ＝４５° を証明せよ。

（２）　点Ｆを通り直線ＯＢに平行な直線をｌ、点Ｄを通り直線ＯＡに平行な直線をｍとし、直線ｌと辺ＯＡの交点をＰ、直線ｍと辺ＯＢとの交点をＱとする。また、２直線ｌ、ｍの交点をＲとする。このとき、四角形ＯＱＲＰの面積は三角形ＡＯＢの面積に等しいことを証明せよ。」
です。

図１のように、与えられた条件を書き入れましょう。

▲図１、与えられた条件を書き入れました

まず（１）です。

図２のように、ＯからＡＢに垂線を下ろしその足をＨとすると、ＯＨ＝１です。

▲図２．ＯからＡＢに下ろした垂線の足をＨとしました

ここで、ＡＣ＝ｄとすると、ＡＨ＝１からＣＨ＝１－ｄ、ＣＤ＝１からＨＤ＝ｄになります。

また、△ＡＣＥは直角二等辺三角形なので、ＡＥ＝√２ｄです。

そこで、△ＯＡＥと△ＯＨＤに注目すると、
ＯＡ/ＯＨ＝ＡＥ/ＨＤ＝√２
∠ＯＡＥ＝∠ＯＨＤ＝９０°
から、２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので△ＯＡＥ∽△ＯＨＤで、∠ＡＯＥ＝∠ＨＯＤが成り立ちます。

すると、∠ＦＯＤ＝∠ＨＯＤ＋∠ＥＯＨ＝∠ＡＯＥ＋∠ＥＯＨ＝∠ＡＯＨ＝４５° になります。

次に（２）です。

四角形ＯＱＲＰは、４つの角がすべて９０°なので、長方形で、その面積はＯＰ×ＯＱです。

一方、△ＡＯＢの面積は１ですから、ＯＰ×ＯＱ＝１ を示せばＯＫです。

それでは、ＯＰ、ＯＱを求めましょう。

まずＯＰから始めます。

図３のように、△ＦＯＨ∽△ＦＥＣでＥＣ/ＯＨ＝ｄから、ＦＣ/ＦＨ＝ｄになります。

▲図３．ＯＰとＯＱを求めます

一方、ＣＨ＝１－ｄなので、ＣＦ＝ＣＨ×ＥＣ/（ＯＨ＋ＥＣ）＝ｄ（１-ｄ）/（１＋ｄ）で、これから、ＡＦ＝ＡＣ＋ＣＦ＝ｄ＋ｄ（１-ｄ）/（１＋ｄ）＝２ｄ/（１＋ｄ）になり、△ＰＡＣは直角二等辺三角形なので、ＡＰ＝２ｄ/√２（１＋ｄ）です。

したがって、
ＯＰ＝ＯＡ－ＡＰ＝√２－２ｄ/√２（１＋ｄ）＝√２/（１＋ｄ）
になります。

続いてＯＱです。

ＤＢ＝１－ｄなので、ＢＱ＝√２（１－ｄ）/２で、
ＯＱ＝√２（１＋ｄ）/２
です。

ここで、ＯＰ×ＯＱを計算すると、
ＯＰ×ＯＱ＝√２/（１＋ｄ）×√２（１＋ｄ）/２＝１
になります。

以上から、四角形ＯＱＲＰの面積と三角形ＡＯＢの面積が等しいことを示すことができました。


簡単な問題です。

ａｒｒｉｖｅ ａｔ［ｉｎ，ｏｎ］ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の英語教科書に、
Ａｔ　ｌａｓｔ　Ｐｅｔｅｒ　ａｒｒｉｖｅｄ　ａｔ　ｈｉｓ　ｈｏｍｅ．
（ようやくピーターは家に着きました）
という文があります。

ご存知のように、ａｒｒｉｖｅ は、後ろに ａｔ～ や ｉｎ～ を伴って「～に到着する」という意味になりますが、 ウィズダム英和辞典 を調べると、これら以外に ｏｎ～ という用法も記されています。

そこには、話し手が目的地を「地点」ととらえた場合は ａｔ～ 、「広い地域」ととらえた場合は ｉｎ～ を用い、例えば、 ｈｏｔｅｌ、ａｉｒｐｏｒｔ、ｄｏｏｒ、ｈｏｓｐｉｔａｌ、ｈｏｕｓｅ などの場所は ａｔ を、 Ｌｏｎｄｏｎ、Ａｍｅｒｉｃａ などの地［国］名や ｔｏｗｎ、ｃｉｔｙ、ｃｏｕｎｔｒｙ などには ｉｎ を用いることが多いとあり、さらに、 ｉｓｌａｎｄ、ｓｃｅｎｅ などは ｏｎ を用いるのが普通とあります。

そこで Ｇｏｏｇｌｅ　Ｂｏｏｋｓ　Ｎｇｒａｍ　Ｖｉｅｗｅｒ で、それらの使用比率を調べてみたところ、
－ｏｎ　ｔｈｅ　ｉｓｌａｎｄ ： －ａｔ　ｔｈｅ　ｉｓｌａｎｄ ： －ｉｎ　ｔｈｅ　ｉｓｌａｎｄ ＝ １２ ： ５ ： １　（過去形の場合、９：４：１）

－ｏｎ　ｔｈｅ　ｓｃｅｎｅ ： －ａｔ　ｔｈｅ　ｓｃｅｎｅ ＝ ２．３：１　（過去形の場合、４：１　；ａｒｒｉｖｅ　ｉｎ はありませんでした）
となっていて、確かに ａｒｒｉｖｅ（ｄ） ｏｎ ｔｈｅ　ｉｓｌａｎｄ［ｓｃｅｎｅ］ の用例が多いようです。

ちなみに、ａｒｒｉｖｅ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｓｃｅｎｅ は、「現場に到着する、現場に駆けつける」という意味で、 オックスフォード現代英英辞典 に、
Ｂｙ　ｔｈｅ　ｔｉｍｅ　Ｉ　ａｒｒｉｖｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｓｃｅｎｅ，　ｉｔ　ｗａｓ　ａｌｌ　ｏｖｅｒ．
（私が現場に駆けつけるまでにすべて終わっていた）
という用例があります。
　

ａｒｒｉｖｅ　ａｔ～ や ａｒｒｉｖｅ　ｉｎ～ と合わせて、 ａｒｒｉｖｅ　ｏｎ～ も頭に入れておくといいでしょう。

図形問題（５）［灘高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１２年灘高入試に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「下の図のように、円Ｏの直径ＢＤ、ＡＣの延長と、点Ａ、Ｂにおける円Ｏの接線との交点をそれぞれＥ、Ｆとし、線分ＥＦの中点をＭとする。

▲問題図

（１）　ＡＢ//ＥＦ であることを証明せよ。

（２）　∠ＡＢＥ＝∠ＥＢＭ であることを証明せよ。

（３）　∠ＡＥＢの二等分線と∠ＢＦＡの二等分線の交点をＮとするとき、ＥＮ⊥ＦＮであることを証明せよ。」
です。

まず図１のように、与えられた条件を書き入れましょう。

▲図１．与えられた条件を書き入れました

それでは（１）から始めましょう。

図２の△ＯＡＥと△ＯＢＦにおいて、
ＯＡ、ＯＢは円Ｏの半径なので、
ＯＡ＝ＯＢ　　　　　　　　　　　　［１］
です。

▲図２．△ＯＡＥ≡△ＯＢＦから△ＯＥＦは二等辺三角形です

また、直線ＡＥ、ＢＦは円Ｏの接線で、それぞれの接点が点Ａ、Ｂであることから
∠ＯＡＥ＝∠ＯＢＦ＝９０°　　　　　［２］
で、∠ＡＯＥと∠ＢＯＦは対頂角なので、
∠ＡＯＥ＝∠ＢＯＦ　　　　　　　　　［３］
です。

［１］［２］［３］から、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
△ＯＡＥ≡△ＯＢＦ
です。

したがって、ＯＥ＝ＯＦが成り立ち、△ＯＥＦは二等辺三角形になります。

すると、線分ＥＦの垂直二等分線は、直線ＯＭになり、
∠ＥＯＭ＝∠ＦＯＭ　　　　　　　　　　［４］
です。

ここで直線ＯＭと円Ｏの弦ＡＢとの交点をＨとすると、対頂角は等しいので、
∠ＥＯＭ＝∠ＢＯＨ
∠ＦＯＭ＝∠ＡＯＨ
で、これらと［４］から
∠ＢＯＨ＝∠ＡＯＨ
が成り立ちます。

すると、直線ＯＨは二等辺三角形ＯＡＢの頂角ＡＯＢの二等分線になるので、直線ＯＨは線分ＡＢと垂直に交わります。

したがって、
∠ＭＨＡ＝∠ＨＭＦ＝９０°
になり、直線ＡＢと直線ＥＦの錯覚が等しいことから ＡＢ//ＥＦ です。

次に（２）です。

（１）からＡＢ//ＥＦで、平行線の錯角は等しいので、
∠ＡＢＥ＝∠ＢＥＭ　　　　　　　　　　　［５］
です。

一方、図３のように、∠ＥＡＦ＝∠ＥＢＦ＝９０°から４点Ｅ、Ａ、Ｂ、Ｆは、点Ｍを中心とする円の周上にあります。

▲図３．４点Ｅ、Ａ、Ｂ、Ｆは、点Ｍを中心とする円の周上にあります

つまり、線分ＭＥ、ＭＢは円Ｍの半径になるので、
ＭＥ＝ＭＢ
になり、△ＭＥＢは二等辺三角形です。

したがって、
∠ＥＢＭ＝∠ＢＥＭ　　　　　　　　　　　［６］
が成り立ちます。

［５］［６］から
∠ＡＢＥ＝∠ＥＢＭ
が成り立ちます。

最後の（３）です。

図４のように、円周角の定理から、
∠ＡＥＢ＝∠ＡＦＢ（∠ＢＦＡ）
で、直線ＥＮ、直線ＦＮはそれぞれ∠ＡＥＢと∠ＢＦＡの二等分線なので、
∠ＡＥＮ＝∠ＡＦＮ
が成り立ちます。

▲図４．∠ＡＥＮ＝∠ＡＦＮです

すると、円周角の定理の逆から、４点Ａ、Ｅ、Ｆ、Ｎ は同一円周上にあり、このとき点Ａ、Ｅ、Ｆは円Ｍの周上にあるので、点Ｎも円Ｍの周上にあることになります。

したがって、∠ＥＮＦは半円弧の円周角で ∠ＥＮＦ＝９０° になることから ＥＮ⊥ＦＮ です。


簡単な問題です。

ｆｏｏｄ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１の英語教科書に
Ｗｈａｔ　ｆｏｏｄ　ｄｏ　ｙｏｕ　ｌｉｋｅ？
（どんな食べ物が好きですか）
という文が出てきます。

この ｆｏｏｄ は「食べ物」を意味しますが、この類義語に、ｍｅａｌ、ｄｉｅｔ、ｄｉｓｈ などがあります。

これらの違いについて ウィズダム英和辞典 にまとめてあって、そこには、
● ｆｏｏｄ
　人間や動物が食べる食べ物を表す最も一般的な語で、広く各種料理をさすときにも用いられる

● ｍｅａｌ
　特定の時間に座って食べる食事をいい、特に朝食、 昼食、夕食をさす

● ｄｉｅｔ
　栄養面からみた日常の食事や治療･減量のために種類や量を制限した食事

● ｄｉｓｈ
　皿に盛って出される料理や特別な調理法の料理をいう

● ｃｏｏｋｉｎｇ
　特定の方法でつくられた料理をいうが、他の料理と区別して家庭料理や特定の国籍･個人に特有の料理など、その由来を表して特別さを強調する文脈で用いられることが多い

● ｃｕｉｓｎｅ
　《かたく》特定地域･文化の料理や高級料理店の料理をさす
と説明しています。

さらに 現代英語語法辞典 には、「食べ物」の意味をもつ ｆｏｏｄ、ｖｉｃｔｕａｌｓ、ｆａｒｅ、ｖｉａｎｄｓ、ｐｒｏｖｉｓｉｏｎｓ の５語を説明していて、そこには、
● ｆｏｏｄ
　人・動物・植物の食べ物、栄養物の意の基本語で、他の４語と交換可能

● ｆａｒｅ
　食卓に出された食事のこと（やや古風で堅苦しい語）

● ｐｒｏｖｉｓｉｏｎｓ
　何かに備えて前もって集められた食料

● ｖｉａｎｄｓ
　特に選り抜きの美味な珍しいご馳走（普通には用いられなくなっている）

● ｖｉｃｔｕａｌｓ
　すぐに使えるように調理された食料品（日常の英語では一般的ではない）
とあります。


頭の片隅に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

面積問題（１２）［灘高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１２年灘高入試に出題された面積問題を取り上げます。

問題は、
「次の［　　］内に適する数を記入せよ。

ＡＤ//ＢＣ、∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ である台形ＡＢＣＤに、下図のように点Ｏを中心とする円が内接している。ＯＡ＝１５ｃｍ、ＯＢ＝２０ｃｍのとき、この台形ＡＢＣＤの面積は［　　］ｃｍ2である。」

▲問題図

です。

図１のように、与えられた条件を書き入れましょう。

▲図１．与えられた条件を書き入れました

∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢから台形ＡＢＣＤは等脚台形になり、図２のように、線分ＡＤと線分ＢＣの中点をそれぞれＰ、Ｑとすると、直線ＰＱは台形ＡＢＣＤの対称軸になります。

▲図２．直線ＰＱは台形ＡＢＣＤの対称軸になります

一方、直線ＯＢと直線ＯＣはそれぞれ∠ＡＢＣと∠ＤＣＢの二等分線であることから∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢで、△ＯＢＣは二等辺三角形になります。

したがって、直線ＯＰは線分ＢＣの垂直二等分線で、点Ｏは直線ＰＱ上にあることになります。

次に図３のように、点Ｏから線分ＡＢに垂線を下ろしその足をＲとします。

▲図３．点Ｏから線分ＡＢに垂線を下ろしその足をＲとしました

ここで、点Ｐと点Ｒはそれぞれ円Ｏと直線ＡＤ、ＡＢの接点なので∠ＡＯＰ＝∠ＡＯＲになり、同様に∠ＢＯＱ＝∠ＢＯＲです。

したがって、∠ＡＯＢ＝９０°になります。

つまり、△ＯＡＢは直角三角形で、図４のように、ＯＡ＝５ｃｍ、ＯＢ＝２０ｃｍから ＡＢ＝２５ｃｍになります。

▲図４．ＡＢ＝２５ｃｍです

さらに、△ＯＡＢ∽△ＲＡＯ∽△ＲＯＢから、図５のように、ＯＡ＝１５ｃｍ、ＯＲ＝１２ｃｍ、ＡＲ＝９ｃｍ、ＢＲ＝１６ｃｍになります。

▲図５．ＯＡ＝１５ｃｍ、ＯＲ＝１２ｃｍ、ＡＲ＝９ｃｍ、ＢＲ＝１６ｃｍです

あとは台形ＡＢＣＤの上底、下底の辺の長さと高さを求めるだけです。

直線ＡＤ、直線ＡＢ、直線ＢＣは円Ｏの接線で、それらの接点はそれぞれ、Ｐ、Ｒ、Ｑなので、ＡＰ＝ＡＲ＝９ｃｍ、ＢＲ＝ＢＱ＝１６ｃｍ です。

一方、台形ＡＢＣＤの対称軸は直線ＰＱなので、ＡＰ＝ＤＰ、ＢＱ＝ＣＱです。

したがって、台形ＡＢＣＤの上底ＡＤと下底ＢＣの長さはそれぞれ１８ｃｍと３２ｃｍ になります。

また、台形ＡＢＣＤの高さＰＱは、円Ｏの直径の長さなので、ＯＲ×２＝１２×２＝２４ｃｍ です。

以上から、台形ＡＢＣＤの面積は、（１８＋３２）×２４×１/２＝ ６００ｃｍ2 で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｗｒｏｎｇ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３英語教科書に
Ｗｈａｔ’ｓ　ｗｒｏｎｇ？
（どうかしましたか）
という文が出てきます。

この ｗｒｏｎｇ は「間違った」や「どこか具合が悪い」などを意味する 形容詞 ですが、このほかに「間違って」を意味する 副詞 でもあり、さらに、ほぼ同じ意味の ｗｒｏｎｇｌｙ（間違って） という 副詞 もあります。

これに関して、 オックスフォード実例現代英語用法辞典 に、「同じ形態を持つ形容詞と副詞：２つの形態を持つ副詞」と題する説明があり、そこには、２つの形態を持つ副詞は、１つは形容詞に似た形態を、もう１つは－ｌｙ という形態を持ち、これらの場合、意味と用法に違いがあるのが普通と記しています。

そこで ウィズダム英和辞典 で ｗｒｏｎｇ を引いてみたところ、 ｗｒｏｎｇ と ｗｒｏｎｇｌｙ の違いの説明があり、そこには、
「 ｗｒｏｎｇ と ｗｒｏｎｇｌｙ はほぼ同じ意味を表すが、 ｗｒｏｎｇ は特に《くだけて》で好まれる。また、 ｗｒｏｎｇ は修飾する動詞やその目的語の後に、 ｗｒｏｎｇｌｙ は修飾する動詞句の前後、分詞や ｔｈａｔ 節の前に置かれる」
とあり、例文として、
Ｈｅ　ｗａｓ　ｗｒｏｎｇｌｙ［×ｗｒｏｎｇ］　ａｃｃｕｓｅｄ　ｏｆ　ｂｅｉｎｇ　ａ　ｒａｃｉｓｔ．
（彼は不当にも人種差別主義者として非難された）
を挙げています。

さらに、様態を表す際は ｗｒｏｎｇｌｙ のみ可能で、
ｃｏｎｎｅｃｔ　ｔｈｅ　ｃａｂｌｅ　ｗｒｏｎｇｌｙ［×ｗｒｏｎｇ］
（ケーブルを不適切につなぐ）
となります。

なお、ｗｒｏｎｇ が ｇｏ、ｄｏ、ｇｅｔ、ｈａｖｅ などの動詞と共に成句を作る場合は ｗｒｏｎｇｌｙ と交換できません。


頭に入れておくと役に立つかもしれません。

図形問題（４）［灘高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１２年灘高入試に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「∠Ｃが直角の直角二等辺三角形ＡＢＣがあり、ＡＣ＝ＢＣ＝６√２ｃｍである。下図のように、辺ＡＢ上に２点Ｐ、ＱをＡＰ＝４ｃｍ、∠ＰＣＱ＝４５°となるようにとる。

▲問題図

（１） 直線ＰＣに関して点Ａと対称な点Ｄをとる。このとき、△ＤＱＣ≡△ＢＱＣであることを証明せよ。

（２） 線分ＰＱ、ＢＱの長さをそれぞれ求めよ。」
です。

まず図１のように、問題図に与えられた条件を書き入れましょう。

▲図１．与えられた条件を書き入れました

それでは（１）から始めましょう。

直線ＰＣに関して点Ａと対称な点Ｄをとると図２のようになります。

▲図２．点Ｄを書き入れました

ここから△ＤＱＣと△ＢＱＣを調べていきましょう。

直線ＰＣは△ＣＡＤの対称軸なので、
ＣＡ＝ＣＤ　　　　　　［１］
∠ＡＣＰ＝∠ＤＣＰ　　 ［２］
です。

一方、仮定から
ＣＡ＝ＣＢ
なので、これと［１］から
ＣＤ＝ＣＢ　　　　　　［３］
が成り立ちます。

また、
ＣＱは共通　　　　　　［４］
です。

あとは、∠ＤＣＱと∠ＢＣＱが等しいことを示せばお仕舞いです。

そこで［２］から
∠ＡＣＰ＝∠ＤＣＰ＝●
とすると、
∠ＤＣＱ＝∠ＰＣＱ－∠ＰＣＤ
　　　　＝４５°－●
で、
∠ＢＣＱ＝∠ＡＢＣ－∠ＰＣＱ－∠ＡＣＰ
　　　　＝９０°－４５°－●
　　　　＝４５°－●
になり、これらから
∠ＤＣＱ＝∠ＢＣＱ　　　［５］
が成り立ちます。

［３］［４］［５］から、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△ＤＱＣ≡△ＢＱＣです。

続いて（２）です。

図３のように、△ＤＱＣ≡△ＢＱＣから∠ＣＤＱ＝４５°です。　

▲図３．四角形ＡＣＱＤは円に内接します

すると∠ＣＤＱ＝∠ＣＡＱ＝４５°が成り立つので、周角の定理の逆から四角形ＡＣＱＤは円に内接します。

ここで、直線ＣＰと円との交点をＥとすると、直線ＣＥは弦ＡＤの垂直二等分線になるので、線分ＣＥは円の直径になります。

すると∠ＣＡＥは半円弧の円周角なので∠ＣＡＥ＝９０°になり、∠ＣＡＥ＝∠ＡＣＢ＝９０°からＡＥ//ＣＢで、したがって、△ＰＢＣと△ＰＡＥは相似になります。（図４）

▲図４．△ＰＢＣ∽△ＰＡＥです

ここで、△ＡＢＣはＡＣ＝６√２ｃｍの直角二等辺三角形なのでＡＢ＝１２ｃｍです。

このときＰＢ＝８ｃｍなので、△ＰＢＣと△ＰＡＥの相似比は２：１になり、したがって、ＡＥ＝３√２ｃｍです。

次に図５のように、△ＰＣＱと△ＰＡＥに注目すると、これらの三角形も相似です。

▲図５．△ＰＣＱ∽△ＰＡＥです

ここで直角三角形ＡＣＥに三平方の定理を適用すると、

から

になり、ＣＰ：ＰＥ＝２：１から
ＣＰ＝２√１０ｃｍ
ＰＥ＝√１０ｃｍ
です。

すると、ＰＱ：ＰＥ＝ＰＣ：ＰＡから
ＰＱ＝√１０×２√１０/４＝５ｃｍ
で、さらに、
ＢＱ＝ＢＰ－ＰＱ＝８－５＝３ｃｍ
です。

以上から、線分ＰＱ、ＢＱの長さは、それぞれ、５ｃｍ と ３ｃｍ で、これが答えです。


楽しい問題です。

ｃｏｍｅ ａｃｒｏｓｓ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３英語教科書の最初の Ｌｅｓｓｏｎ に、
Ｉ　ｃａｍｅ　ａｃｒｏｓｓ　Ｍｒ　Ｇｒａｙ’ｓ　ｗｏｒｄｓ．
（私は偶然グレイ選手の言葉を見つけた）
という文があります。

この句動詞 ｃｏｍｅ　ａｃｒｏｓｓ Ａ は、 ウィズダム英和辞典 によると、（偶然）Ａ＜人＞に出くわす、Ａ＜事・物＞を見つけるという意味を表し、さらに、よりかたい表現として、 ｃｏｍｅ　ｏｎ［ｕｐｏｎ］ Ａ を挙げています。

また、同じような意味の 句動詞 には、
・ ｒｕｎ　ｉｎｔｏ Ａ
　《くだけて》Ａ＜人＞に出くわす

・ ｂｕｍｐ　ｉｎｔｏ Ａ
　《くだけて》Ａ＜人＞に出くわす

・ ｓｔｕｍｂｌｅ　ａｃｒｏｓｓ［ｏｎ，ｕｐｏｎ，ｏｎｔｏ］ Ａ　
　 Ａ＜物・人などに＞偶然出くわす、巡り合う；Ａを偶然発見する

・ ｈａｐｐｅｎ　ｏｎ［ｕｐｏｎ］ Ａ　
　《かたく・やや古》偶然Ａ＜物＞を見つける；Ａ＜人＞に出くわす
などがあります。


頭に入れておくといいかもしれません。

図形問題（３）［灘高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１３年灘高入試に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「次の［　　］内に適する数を記入せよ。

　下図において、ＡＢ＝ＡＣ＝４で、△ＢＣＤは辺ＢＣを斜辺とする直角二等辺三角形、また、ＢＥ⊥ＡＣである。このとき、∠ＡＥＤの大きさは［　　］度である。
　さらに、∠ＢＡＣ＝４５°のとき、線分ＤＥの長さは［　　］である。」

▲問題図

です。

∠ＢＤＣ＝∠ＢＥＣなので円周角の定理の逆から、点Ｂ、Ｃ、Ｅ、Ｄは、図１のように、同じ円周上にあります。

▲図１．点Ｂ、Ｃ、Ｅ、Ｄは同一円周上にあります

すると∠ＤＢＣ＝∠ＡＥＤが成り立ち、このとき∠ＤＢＣ＝４５°から∠ＡＥＤ＝ ４５° で、これが答えです。

△ＡＢＣは二等辺三角形で、その頂角∠ＢＡＣ＝４５°なので、底角∠ＡＢＣ＝６７．５°です。

このとき∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＥ＝４５°なので、図２のように、
∠ＡＢＤ＝∠ＡＢＣ－∠ＤＢＣ＝２２．５°
∠ＤＢＥ＝∠ＡＢＥ－∠ＡＢＤ＝２２．５°
∠ＥＢＣ＝∠ＡＢＣ－∠ＡＢＥ＝２２．５°
になり、∠ＤＢＥ＝∠ＥＢＣ が成り立ちます。

▲図２．∠ＤＢＥ＝∠ＥＢＣが成り立ちます

これから（弧ＤＥの長さ）＝（弧ＥＣの長さ）が成り立ち、したがって、ＤＥ＝ＥＣです。

一方、△ＥＡＢは直角二等辺三角形でＡＢ＝４からＡＥ＝２√２ になり、さらにＡＣ＝４からＥＣ＝４－２√２です。

したがって、ＤＥ＝４－２√２ で、これが答えです。


トレミーの定理を利用してもＯＫです。

ｋｎｏｗ の受け身形 のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の塾生が持参した学校配布の中間試験用英語プリントに 受け身 の問題があって、そのなかに ｋｎｏｗ（知る）を用いた 受け身 表現が取り上げられていました。

この ｋｎｏｗ の受け身形について、ウィズダム英和辞典 には、
●　Ｈｉｓ　ｎａｍｅ　ｗａｓ　ｋｎｏｗｎ　ｔｏ　ｅｖｅｒｙｏｎｅ．
　（彼の名前はみんなに知られていた）
のように、 ｋｎｏｗ 受け身形 は、 ｂｅ　ｋｎｏｗｎ　ｔｏ Ａ が 一般的 。

一方、
●　ｋｎｏｗ が ｇｅｔ　ｔｏ　ｋｎｏｗ の意味で動作性の強いときは、
　Ａ　ｓｈｙ　ｐｅｒｓｏｎ　ｗｒｉｔｅｓ　ａ　ｌｅｔｔｅｒ　ｔｏ　ｂｅ　ｋｎｏｗｎ　ｂｙ　ａｎｏｔｈｅｒ　ｐｅｒｓｏｎ．
　（内気な人は相手に自分のことを知ってもらうために手紙を書く）
のように、 ｔｏ の代わりに ｂｙ を用いることもある。

ただし、
●　ｋｎｏｗ は基本的に「知っている」状態 を表すので、実際には ｂｅ　ｋｎｏｗｎ　ｂｙ Ａ の頻度は非常に低い。
と解説しています。


頭に入れておくとよいでしょう。

面積問題（１１）［灘高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１３年灘高入試に出題された面積問題を取り上げます。

問題は、
「長方形ＡＢＣＤの辺ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ上にそれぞれ点Ｅ、Ｆ、Ｇをとり、線分ＥＣ上に点Ｈをとると下図のようになり、四角形ＡＢＥＧ、ＨＥＣＦはともに正方形となった。次の問いに答えよ。なお、答えが複数ある場合は、それらをすべて答えること。

▲問題図

（１） 長方形ＡＢＣＤの面積が長方形ＧＨＦＤの面積の６倍であるとき、ＢＥ：ＥＣ をできるだけ簡単な整数の比で表せ。

（２） △ＡＢＣの面積が６、△ＦＤＧの面積が１であるとき、正方形ＡＢＥＧの面積を求めよ。」
です。

（１）から取り掛かりましょう。

図１のように、ＡＥ＝ｘ、ＥＣ＝ｙとすると、
（長方形ＡＢＣＤの面積）＝ｘ（ｘ＋ｙ）
（長方形ＧＨＦＤの面積）＝（ｘ－ｙ）ｙ
で、与えられた条件から、
ｘ（ｘ＋ｙ）＝６（ｘ－ｙ）ｙ
が成り立ちます。

▲図１．ＡＥ＝ｘ、ＥＣ＝ｙ としました

これを展開・整理して、

とします。

ここで、さらに因数分解すると、
（ｘ－２ｙ）（ｘ－３ｙ）＝０
になり、
ｘ＝２ｙ または、３ｙ
です。

これから
ｘ：ｙ＝２：１、または、３：１
になり、したがって、ＢＥ：ＥＣ＝ ２：１、または、３：１ で、これが答えです。

続いて（２）です。

図２に与えられた条件を書き入れました。

▲図２．与えられた条件を書き入れました

△ＡＢＣの面積と△ＦＤＧの面積がそれぞれ６と１なので、長方形ＡＢＣＤの面積は長方形ＧＨＦＤの面積の６倍になり、（１）の結果から、
ｘ＝２ｙ、または、３ｙ
が成り立ちます。

一方、
（△ＡＢＣの面積）＝ｘ（ｘ＋ｙ）/２＝６
から、

が成り立ちます。

● ｘ＝２ｙの場合

から


● ｘ＝３ｙの場合

から

です。

したがって、正方形ＡＢＥＧの面積は ８、または、９ で、これが答えです。


△ＡＢＣと△ＦＤＧの面積をｘ、ｙで表して、その連立２次方程式を解いてもＯＫです。