中学生でも解ける東大大学院入試問題（７５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日は南風のため少し暖かかったのですが、今日は寒くなりました。夕方、雨も降るようですが、元旦は寒さが厳しくなるものの晴れになるようです。

さて、今回は平成２６年度東大大学院創成科学研究科環境研究系海洋技術環境学の入試問題です。

問題は、
「（１）半径ａの大きな円が３個と、半径ｂの小さな円が１個、下図のようにそれぞれの円が他のすべての円と接するように描かれている。この時、ｂをａの式で表せ。

▲問題図（１）

（２）下の図は、（１）で示した図のうち半径ｂの円の周辺を拡大したものである。黒く塗られた部分（大きな円２個と小さい円１個の円弧で囲まれた部分）の面積を、ａ、ｂを用いた式で表せ。」

▲問題図（２）

です。

円の図形問題では、円の中心を通る補助線を引くと上手くいくことが多いです。この問題では、円が４個あるので、図１のようにそれらを結ぶ補助線を引きましょう。

▲図１．円の中心を結んだ補助線を引く

すると、外側の大きな円の中心を結んでできる赤い三角形は１辺の長さが２ａの正三角形になり、また、正三角形の１つの頂点と小さな円の中心を結んだ線分の長さは、ａ＋ｂになります。

さらに、三平方の定理から正三角形の１つの頂点から対辺に下ろした垂線の長さは、√３ａになります。

一方、小さな円の中心は正三角形の重心になるので、正三角形の垂線の長さを２：１に内分します。

以上により、
√３ａ：ａ＋ｂ＝３：２
が成り立ち、これを整理して、
２√３ａ＝３（ａ＋ｂ）
から、
ｂ＝（２√３－３）ａ/３
となります。

続いて、（２）を片付けましょう。これも（１）と同じように大きな円の中心を結んで正三角形を作ります。

▲図２．円の中心を結んで正三角形を作る

求める黒い領域の面積は、赤い正三角形の面積から小さい円の面積を引き、さらに大きい円の中心角が６０°の扇形の３つ分の面積（つまり、半円の面積）引き、最後に３で割って求めることができます。

式にすると、
求める面積＝（赤い正三角形の面積－小さい円の面積－大きい円の中心角が６０°の扇形の面積×３）÷３
です。

それでは、一つひとつ面積を計算しましょう。

まず、赤い正三角形の面積は、底辺２ａ、高さ√３ａなので
青い正三角形の面積＝√３ａ^2　　　（ａ^2　は、ａの２乗を表します）
です。

次に、小さい円の面積は、半径ｂなので、
小さい円の面積＝πｂ^2
です。

さらに、大きい円の中心角が６０°の扇形の面積は、大きい円の半径がａなので、
大きい円の中心角が６０°の扇形の面積＝πａ^2/６
です。

以上を先程の式に代入して、
求める面積＝（√３ａ^2－πｂ^2－πａ^2/６×３）÷３
　　　　　＝｛√３ａ^2－π（ａ^2/２＋ｂ^2）｝×１/３
となります。

円の図形問題では円の中心を通る補助線が正解の手掛かりになることが多いので覚えておくと良いでしょう。

最後になりましたが、皆様、良いお年をお迎えください。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（７４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

晴れて風もなく、久しぶりに暖かい天気になりました。年の瀬で慌しいですが、受験生の皆さんはしっかり勉強してください。

さて、今回は平成２２年度東大大学院新領域創成科学研究科海洋技術環境学の入試問題です。

問題は、
「１～５０番まで選手が番号順に一列に並んでいる。コーチは、“奇数番の選手は列から出て”と指示する。残りの選手は新たに１から番号が振り直される。コーチが同じ指示を繰り返し最後の一人になった時、この選手の最初の番号は何番か？」
です。

高々５０人の選手ですから、すべてを書き上げてコーチの指示通りに操作してみれば、答えは直ぐ見つかりそうですが、選手の人数が５００人とかＮ人になってしまうとお手上げです。

そこで、少し頭を働かせて解きましょう。

コーチの１回目の指示で残るためには番号が偶数でなければなりません。

さらに、２回目の指示でも偶数である必要があります。

これが最後の１人になるまで続くのですから、最後まで残る選手の最初の番号は、５０以下で最大となる２^n（２のｎ乗を表します）、つまり、ｎ＝５のときの３２となります。

ちなみに、選手が５００人の場合は、２^8＝２５６で、Ｎ人の場合は、１≦Ｎ≦２^n－１のとき、２^(n-1)となります。

蛇足ですが、コーチの指示が、“偶数番の選手は列から出て”であれば、最後まで残る選手の最初の番号は、１になります。

本問は偶数奇数（２の倍数）でしたが、３の倍数などでも同じです。興味のある人はいろいろ調べてみてください。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（７３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

予報通り雨になりました。気温も低く冷たい雨です。このような日は暖かくして勉強するのが一番です。受験生の皆さん、頑張ってください。

さて、今回は平成２６年東大大学院工学系研究科システム創成学の入試問題です。

問題は、
「辺ＡＢの長さが６ｃｍ、辺ＢＣの長さが９ｃｍの長方形ＡＢＣＤにおいて、三角形ＡＢＦと三角形ＣＤＨの面積の和が１９ｃｍ2のとき、四角形ＥＦＧＨの面積は何ｃｍ2か。」

▲問題図

です。
都立高校入試問題に頻出する等積変形を使う問題で、都立入試と同じか、少し難しいくらいのものです。

図１のように△ＡＢＦ＝△ＥＦＣ（△ＡＢＦは三角形ＡＢＦの面積とします）となります。

▲図１．△ＡＢＦ＝△ＥＦＣ

と言うのは、△ＡＥＢ＝△ＡＥＣ（等積変形、底辺ＡＥと高さＡＢが同じ）で、
△ＡＢＦ＝△ＡＥＢ－△ＡＥＦ
△ＥＦＣ＝△ＡＥＣ－△ＡＥＦ
より、
△ＡＢＦ＝△ＥＦＣ
となるわけです。

同様に、△ＤＣＨ＝△ＥＨＢです。（図２）

▲図２．△ＤＣＨ＝△ＥＨＢ

一方、図３のように、
△ＣＨＧ＝△ＣＤＧ－△ＣＤＨ
で、△ＣＤＧ＝６×９/２×１/２　＝２７/２なので、
△ＣＨＧ＝２７/２－△ＣＤＨ　　　　（１）
になります。

▲図３．△ＣＨＧ＝２７－△ＣＤＨ

同様に、（図４）
△ＢＦＧ＝△ＡＢＧ－△ＡＢＦ
で、△ＡＢＧ＝６×９/２×１/２＝２７/２なので、
△ＢＦＧ＝２７/２－△ＡＢＦ　　　　（２）
です。

▲図４．△ＢＦＧ＝２７－△ＡＢＦ

そこで、（１）と（２）を足し合わせると、
△ＣＨＧ＋△ＢＦＧ＝５４－（△ＣＤＨ＋△ＡＢＦ）
となり、仮定より、△ＣＤＨ＋△ＡＢＦ＝１９なので、
△ＣＨＧ＋△ＢＦＧ＝２７－１９＝８　　（３）
となります。

最後に、
四角形ＥＦＧＨ＝△ＥＢＣ－△ＧＢＣ－△ＣＨＧ－△ＢＦＧ　　（４）
なので、（４）に、
△ＥＢＣ＝９×６×１/２＝２７
△ＧＢＣ＝９×３×１/２＝２７/２
と（３）を代入して、
四角形ＥＦＧＨ＝２７－２７/２－８
　　　　　　　＝１１/２
と答えは１１/２ｃｍ2となります。


次に、等積変形を使わない解答を示します。

図５の紫色（△ＡＢＥ＋△ＤＣＥ）の面積が長方形ＡＢＣＤの面積の１/２、つまり２７です。

▲図５．△ＡＢＥ＋△ＤＣＥ＝２７

一方、図６の橙色（△ＡＥＦ＋△ＤＥＨ）の面積は、紫色の面積から灰色の面積を引いたものになります。

▲図６．△ＡＥＦ＋△ＤＥＨ

ところが、灰色の面積は仮定より１９なので、橙色の面積は、２７－１９＝８です。

つまり、四角形ＥＦＧＨ＝△ＧＡＤ－橙色の面積＝２７/２－８＝１１/２ｃｍ2となり、前の答えと同じになりました。

中３の受験生の皆さんは、等積変形をマスターしておいてください。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（７２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

気温は５℃なのですが陽射しがあって少し暖かく感じます。これからさらに気温が上がり過ごしやすい日になりそうです。明日は雨模様ですが、明後日から晴れの日が続き、穏やかな正月になるようです。

さて、今回は平成２６年度東大大学院工学系研究科システム創成学の入試問題です。

問題は、
「ある航空会社は、空港Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを下図のようにつなぐフライト網を所有している。空港Ｃを起点として、最大４回のフライトで、Ａ、Ｂ、Ｄの各空港に到達する順路の数をそれぞれ答えよ。ただし、何回でも各空港を経由することができる。また最終目的の空港を経路の途中で経由してもよいこととする。」

▲問題図

です。

Ｃ空港を出発して４回のフライトで経由または到達する空港をすべて書き上げ、そのなかにあるＡ、Ｂ、Ｄ空港の数が、「最大４回のフライトでＡ、Ｂ、Ｄの各空港に到達する順路の数」になります。経由または到達する空港をすべて書き上げるとき、場合の数や確率で勉強した樹形図を使うと良いでしょう。

まず、問題図が見難い（Ａ－ＣとＢ－Ｄの経路が交差している）ので、図１のように書き直します。

▲図１．問題図の書き直し

そこで図１を参照して、図２のように、Ｃ空港から始めてフライト可能な空港を順番に４フライト分を書き上げていきます。

▲図２．４フライトでの経由・到達空港

この図２のなかにあるＡ、ＢおよびＤの数が、「最大４回のフライトでＡ、Ｂ、Ｄの各空港に到達する順路の数」になり、Ａ空港は９、Ｂ空港は８、Ｄ空港は４となり、これが答えです。

ついでに各空港を１回しか経由できない場合は、各順路において２回目に同じ空港が現れた時点でお終いとなるので、図３に示すようになり、Ａ空港は３、Ｂ空港は２、Ｄ空港は１となります。

▲図３．各空港を１回しか経由できない場合

数学の問題では、図表が描ければ解けたのも同然といった面があるので、自分に合った判り易い図表を描くように心掛けましょう。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（７１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

冬期講習で塾生が朝１０時に来るので大急ぎで教室の掃除をします。そのため身体が温まるのか、あまり寒さを感じませんが、外気温は５℃で日中も７℃にしかならないようです。寒い日になりそうですが、暖かくして勉強してください。

さて、今回は平成２６年度東大大学院工学系研究科システム創成学の入試問題です。

問題は、
「三角形ＡＢＣは二等辺三角形である。∠ＢＡＣ＝２０°、∠ＤＢＣ＝６０°、∠ＥＣＢ＝５０°であるとき、∠ＥＤＢを求めよ。」
です。

▲問題図

ラングレーの問題です。あまりにも有名な問題なので、直ぐに３０°と答えを書いた受験生もいたのではないかと思います。

この問題の解法は多数ありますが、今回は標準的な（私が覚えている）ものを紹介します。

まず、辺ＡＣ上にＦを取り、∠ＦＢＣ＝２０°になるようにします。すると、△ＢＣＦが頂角２０°、底角８０°の二等辺三角形になり、ＢＣ＝ＢＦとなります。

（ここで、ちょっと解法の方針を説明しておくと、ＢＦ＝ＤＦ＝ＥＦを示して、Ｂ、Ｄ、ＥがＦを中心とする円の周上にあることを使って、最後は中心角、円周角でフィニッシュに持ち込みます）

次に、△ＢＣＥに着目すると、∠ＣＢＥ＝８０°、∠ＢＣＥ＝５０°なので、∠ＢＥＣ＝５０°になり、△ＢＣＥも二等辺三角形になります。したがって、ＢＣ＝ＢＥで、上記の結果と合わせて、ＢＣ＝ＢＥ＝ＢＦです。

すると、ＢＥ＝ＢＦより、△ＢＥＦは二等辺三角形で、かつ、頂角∠ＥＢＦ＝６０°なので、△ＢＥＦは正三角形になり、ＢＦ＝ＥＦです。

さらに、△ＦＢＤに着目すると、∠ＢＦＤ＝１００°、∠ＦＢＤ＝４０°なので、∠ＦＤＢ＝４０°になり、△ＦＢＤは二等辺三角形になります。したがって、ＢＦ＝ＤＦです。

▲図１．途中図

このように作戦通りに、ＢＦ＝ＤＦ＝ＥＦを示すことができ、図２のように、Ｂ、Ｄ、ＥはＦを中心とする円の周上にあります。

▲図２．最終図

最後に、中心角∠ＢＦＥの１/２は円周角∠ＥＤＢで、∠ＢＦＥ＝６０°ですから、∠ＥＤＢ＝３０°になり、これが正解となります。

この他にもいろいろな解法があるので興味のある人は考えてみてください。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（７０）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今日から冬期講習が始まるので午前中から塾生・講習生が来塾します。教室掃除を終えて一息しているところです。

さて、今回は平成２６年度東大工学系研究科システム創成学の入試問題です。

問題は、
「多項式Ｐ(ｘ)を　ｘ^3＋２ｘ^2－１３ｘ＋１０　で割ったときの余りが　２ｘ＋１　であり、また、Ｐ(ｘ)を　ｘ^3＋４ｘ^2－１５ｘ－１８　で割ったときの余りが　２ｘ^2－ｘ－４　である。
このとき、Ｐ(ｘ)を　ｘ^3－１９ｘ＋３０　で割ったときの余りを求めよ。」
です。（ｘ^3　はｘの３乗を表します）

整式の除法の問題です。まず、問題に書いてあることを立式しましょう。

初めの条件、「多項式Ｐ(ｘ)を　ｘ^3＋２ｘ^2－１３ｘ＋１０　で割ったときの余りが　２ｘ＋１」は、この商をＱ1(ｘ）とすると、
Ｐ(ｘ)＝（ｘ^3＋２ｘ^2－１３ｘ＋１０）Ｑ1(ｘ)＋２ｘ＋１　　　　　　（１）
になります。

２番目の条件、「Ｐ(ｘ)を　ｘ^3＋４ｘ^2－１５ｘ－１８　で割ったときの余りが　２ｘ^2－ｘ－４」は、この商をＱ2(ｘ)とすると、
Ｐ(ｘ)＝（ｘ^3＋４ｘ^2－１５ｘ－１８）Ｑ2(ｘ)＋２ｘ^2－ｘ－４　　　（２）
です。

最後に問題の「Ｐ(ｘ)を　ｘ^3－１９ｘ＋３０　で割ったときの余り」については、商をＱ3(ｘ)、余りをＲ(ｘ)とすると、
Ｐ(ｘ)＝（ｘ^3－１９ｘ＋３０）Ｑ3(ｘ)＋Ｒ(ｘ) 　　　　　　（３）
となります。

ここで、Ｒ(ｘ)は、Ｐ(ｘ)を３次式で割った余りなので、その次数は２次になり、
Ｒ(ｘ)＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ　　　　　　　　（４）
となります。

これで問題に書いてあることを式にすることができました。あとはこれらの式をいじってＲ(ｘ)を決定すればＯＫです。

それでは、（１）、（２）、（３）を変形しましょう。それぞれ商と積をなしている多項式が因数分解できそうです。実際、（１）、（２）、（３）はそれぞれ、
Ｐ(ｘ)＝（ｘ＋５）（ｘ－１）（ｘ－２）Ｑ1(ｘ)＋２ｘ＋１　　　　 （５）
Ｐ(ｘ)＝（ｘ＋６）（ｘ＋１）（ｘ－３））Ｑ2(ｘ)＋２ｘ^2－ｘ－４　　　　（６）
Ｐ(ｘ)＝（ｘ＋５）（ｘ－２）（ｘ－３）Ｑ3(ｘ)＋Ｒ(ｘ) 　　　　　　　　 （７）
と変形できます。

ここまでくればあとは簡単で、（５）、（６）、（７）に、ｘ＝－５、２、３を代入すると、
Ｐ(－５)＝Ｒ(－５）＝－９　　　　　（８）
Ｐ(２)　＝Ｒ(２) ＝　５　　　　　　　（９）
Ｐ(３)　＝Ｒ(３）　＝１１　　　　　（１０）
となります。

そして、（４）より、
Ｒ(－５)＝２５ａ－５ｂ＋ｃ　　　　　（１１）
Ｒ(２) ＝４ａ＋２ｂ＋ｃ　　　　　（１２）
Ｒ(３) ＝９ａ＋３ｂ＋ｃ　　　　　（１３）
なので、これらと（８）、（９）、（１０）より、
２５ａ－５ｂ＋ｃ＝－９　　　　　　　
４ａ＋２ｂ＋ｃ＝　５　　　　　　　
９ａ＋３ｂ＋ｃ＝１１　　　　　　　
と３元の連立方程式になりました。

これを解くと、ａ＝２３/２８、ｂ＝５３/２８、ｃ＝－２９/１４となるので、求める余りＲ(ｘ)は、
Ｒ(ｘ)＝２３/２８・ｘ^2＋５３/２８・ｘ－２９/１４
になります。

３次式の因数分解が難しく感じる人もいるかと思いますが、適当なｘを代入してみて多項式が０になるものを探す因数定理が役に立つので覚えておくと良いでしょう。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（６９つづき）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

少し風があって外は寒いですが、室内はあまり寒さを感じません。今日は２学期の終業式で明日から冬期講習が始まります。

さて、昨日に続いて平成２６年度東大大学院工学系研究科システム創成学入試問題の（２）です。

問題は、
「（２）次の関係があるとき、１２×６の値は何か。
２×３＝６、２×４＝１１、３×３＝１２、４×５＝２６、６×５＝４２、１３×１４＝２１５」
です。

２×３＝６→６
２×４＝８→１１
３×３＝９→１２
となっていることから「→」は１０進法で表された数をｎ進法に変換するものと予想できます。

そして、問題に与えられている式を眺めると、使われている最大の数が６なので、７進法でないかと予想する訳です。

１０進法で表された数を７進法に変換するには、１０進法で表された元の数を７で商が０になるまで割り続け、そのときの剰余を逆の順に並べればＯＫです。

例えば図に示したように、１０進法で６６を７進法に変換する場合、６６を７で割って、商９、剰余３を計算します。

続いて、前の商９を７で割って、商１、剰余２を計算します。

さらに、前の商１を７で割って、商０、剰余１を計算します。

そこで計算した剰余を計算した順番と逆に並べると１２３となり、これが１０進法で表した６６の７進法での表記になります。

▲図．１０進法から７進法への変換例

それでは、問題に与えられた式を確認していきましょう。

まず２×３については、１０進法では６になり、これを７進法に変換すると６になります。したがって、２×３＝６でＯＫです。

次に２×４については、１０進法では８になり、７進法に変換すると１１で、これもＯＫです。

さらに、３×３については、１０進法では９になり、７進法に変換すると１２で、ＯＫです。

この辺りで、もう十分と問題の１２×６を計算したくなりますが、もう少し我慢して最後まで確認しましょう。

４×５については、１０進法で２０、７進法で２６でＯＫ。

６×５については、１０進法で３０、７進法で４２でＯＫ。

ところが、最後の１３×１４については、１０進法で１８２、７進法で３５０となりＮＧです。

つまり、単純に１０進法から７進法に変換するのではなかった訳です。

そこで変換の「ひとひねり」を見つけなければなりませんが、１３×１４＝２１５の２１５に注目しましょう。

この２１５が７進法で表されたものとして、これを１０進法に変換してみます。この変換方法は、２×７^2＋１×７＋５＝１１０　（７^2　は７の２乗を表します）で、１１０となります。

つまり、１３×１４→１１０となる演算で、前の５つの計算式と整合性のあるものを考えばよいことになります。

ここで、問題に与えられた６式のうち前の５式は１桁同士の掛け算で、それらの積を７進法に変換して上手くいきました。ということは、１３×１４も一の位同士は掛け算をしなければならず、その積は３×４＝１２となります。

この１２を使って１１０になる数を作る方法を考えればよいのですが、１３×１４の十の位同士を掛けると、１０×１０＝１００が出てきます。これと１２を足すと１１２となり、これから十の位の数を引くと、１１２－１－１＝１１０となり、１１０を作ることができます。

一般化すると、２桁の２数を１０ｐ＋ｑ、１０ｒ＋ｓとすると、
（１０ｐ＋ｑ）（１０ｒ＋ｓ）＝１００ｐｒ＋ｑｓ－（ｐ＋ｒ）　　　（１）
という演算になります。

ところが、他にいろいろな演算を考えることができて、例えば、
（１０ｐ＋ｑ）（１０ｒ＋ｓ）＝１００ｐｒ＋（ｑ－ｐ）（ｓ＋ｒ）　（２）
とすると、
１３×１４＝（１０＋３）（１０＋４）
　　　　　＝１００＋（３－１）（４＋１）
　　　　　＝１００＋２×５
　　　　　＝１１０
や、
（１０ｐ＋ｑ）（１０ｒ＋ｓ）＝４９（ｐ＋ｒ）＋ｑｓ　　　　　　　（３）
とすると、
１３×１４＝４９（１＋１）＋３×４
　　　　　＝９８＋１２
　　　　　＝１１０
などです。

上記した３種類の演算は、１桁同士の掛け算（ｐ＝ｒ＝０）の場合、すべて、
（１０ｐ＋ｑ）（１０ｒ＋ｓ）＝ｑｓ
となって、問題に与えられている計算式と整合性があります。

と言うことで、上記した３種類の演算で１２×６の値を計算してみます。

式（１）を使った場合
１２×６＝１０×０＋２×６－１－０
　　　　＝１１
これを７進法で表して、１１→１４

式（２）を使った場合
１２×６＝１０×０＋（２－１）（６＋０）
　　　　＝６
これを７進法で表して、６→６

式（３）を使った場合
１２×６＝４９（１＋０）＋２×６
　　　　＝６１
これを７進法で表して、６１→１１５

どれでもよいような気がするのですが、出題者の正解を知りたいところです。ちょっと調べて何か判ったら報告します。はっきりしない解答で申し訳けありません。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（６９）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

晴れていて良い天気ですが、昨日より少し寒くなりました。明日は風があってもっと寒くなるようです。受験生の皆さんは体調に気を付けて頑張ってください。

さて、今回は平成２６年度東大大学院工学系研究科システム創成学の入試問題です。

問題は、
「（１）次の関係があるとき、Ｆａの値は何か。
　　　　Ａｆ＝－５、ＣＣ＝６、ｐＨ＝－８、Ｈｇ＝１、ｇｋ＝－１８

（２）次の関係があるとき、１２×６の値は何か。
２×３＝６、２×４＝１１、３×３＝１２、４×５＝２６、６×５＝４２、１３×１４＝２１５」
です。

規則性を見つける問題です。（１）ではアルファベットが何らかの数字を表していて、また、大文字と小文字との間に違いがあることが判ります。

まずアルファベットと数字の関係ですが、最もシンプルに考えると下表のようにＡ、Ｂ、Ｃ、・・・の順に１、２、３、・・・と対応させるものです。他にも逆の順に対応させたり、いろいろな方法が考えられますが、あまりにも凝った対応の場合、問題が難しくなりすぎてしまうのと問題のスマートさがなくなってしまいます。ここでは、取り敢えず、Ａ、Ｂ、Ｃ、・・・を１、２、３、・・・と対応させておきましょう。

▼表．アルファベット対応表

次に大文字と小文字の使い分けですが、Ａｆ＝－５のように負の数があったり、ＣＣ＝６のように正の数があったりすることから、大文字と小文字は＋と－に対応しているのではないかと想像できます。

以上の予想に基づいて問題の式を調べてみましょう。

まず、Ａｆについては、Ａ＝１、ｆ＝－６とすると、Ａｆ＝Ａ＋ｆ＝１＋（－６）＝－５と上手くいきました。

その他の式についても調べていくと、
ＣＣについては、Ｃ＝３とすると、ＣＣ＝Ｃ＋Ｃ＝３＋３＝６
ｐＨについては、ｐ＝－１６、Ｈ＝８とすると、ｐＨ＝ｐ＋Ｈ＝－１６＋８＝－８
Ｈｇについては、Ｈ＝８、ｇ＝－７とすると、Ｈｇ＝Ｈ＋ｇ＝８＋（－７）＝１
ｇｋについては、ｇ＝－７、ｋ＝－１１とすると、ｇｋ＝ｇ＋ｋ＝－７＋（－１１）＝－１８
と問題に与えられた式と同じになりました。どうやら予想が当たっているようです。

そこで、答えとして求められているＦａを予想に基づいて計算すると、
Ｆａ＝Ｆ＋ａ＝６＋（－１）＝５
となり、これが答えになります。

（２）については次回調べていきます。興味のある人は考えてみてください。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（６８）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日より気温は若干低いのですが、晴れていて良い天気です。暫く晴れの日が続き週末崩れるようですが、大晦日、元旦は晴れになるとＴＶの天気予報で言っていました。先のことなので当たるか外れるか分かりませんけれども。

さて、今回は平成２５年度東大大学院工学系研究科システム創成学の入試問題です。

問題は、
「次の式に当てはまる整数ａ、ｂ、ｃを求めよ。

ただし、ｃ＞ａ＞０　かつ　ｃ＞ｂ＞０　である。」
です。

整数の不定方程式では、１つの変数の候補を見つけ、それらの候補について場合分けして他の変数を見つけていきます。そして、本問のようなある分数を単位分数の和に直す問題では、単位分数の取り得る範囲を求め、変数の１つを絞り込むのが常套手段です。

まず、与式を整理すると、
６/１１＝１／ａ＋１/ｂｃ　　　（１）
となります。

ここで、１/ａと１/ｂｃとでどちらが大きい値を取るか調べます。条件にあるように、ａ、ｂ、ｃは正の整数（ａ≧１、ｂ≧１、ｃ≧１）で、ｃ＞ａ＞０　なので、これにｂを掛けると、
ｂｃ＞ａｂ≧ａ
となるので、
１/ａ＞１/ｂｃ　　　　　　　（２）
です。

すると、（１）は、
６/１１＝１/ａ＋１/ｂｃ≦２/ａ
となり、
６/１１≦２/ａ
３/１１≦１/ａ　　　　　　（３）
となります。

（３）を変形して、
ａ≦１１/３＜４
なので、ａの候補は、１、２、３となります。

あとはａについて場合分けすればＯＫです。

ａ＝１のとき、（１）は、
６/１１＝１＋１/ｂｃ
１/ｂｃ＝－５/１１
より、これを満たす正の整数ｂ、ｃはなく、したがって、ａ≠１となります。

ａ＝２のとき、（１）は、
６/１１＝１/２＋１/ｂｃ
１/２２＝１/ｂｃ
より、
ｂｃ＝２２
となります。これを満たすｂ、ｃの組合せを（ｂ，ｃ）とすると、
（ｂ，ｃ）＝（１，２２）、（２，１１）、（１１，２）、（２２，１）
ですが、ｃ＞ｂより、（１，２２）、（２，１１）、すなわち、
ｂ＝１、ｃ＝２２
と
ｂ＝２、ｃ＝１１
になります。

ａ＝３のとき、（１）は、
６/１１＝１/３＋１/ｂｃ
７/３３＝１/ｂｃ
より、これを満たす正の整数ｂ、ｃはなく、したがって、ａ≠３となります。

以上をまとめると、
ａ＝２、ｂ＝１、ｃ＝２２
と
ａ＝２、ｂ＝２、ｃ＝１１
が答えになります。

念のため、検算してみると、ａ＝２、ｂ＝１、ｃ＝２２の場合、
１/２＋１/１×１/２２＝１１/２２＋１/２２
　　　　　　　　　　 ＝１２/２２
　　　　　　　　　　 ＝６/１１
また、ａ＝２、ｂ＝２、ｃ＝１１の場合、
１/２＋１/２×１/１１＝１１/２２＋１/２２
　　　　　　　　　　 ＝１２/２２
　　　　　　　　　　 ＝６/１１
とどちらも与式を満たします。

このように整数の不定方程式の問題では、多くの場合、１つの変数の候補を有限個に絞ることができれば、あとは場合分けで解くことができます。その変数の絞り込みかたはいくつかのパターンがありますが、本問の絞り込みかたは代表的なパターンなので覚えておくと良いでしょう。

ＮＨＫ大河ドラマ「軍師官兵衛」－最終回－

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

晴れて良い天気で、気温が１０℃と寒さも少し和みました。今週は晴れの日が続くようです。

さて、昨夜のＮＨＫ大河ドラマ「軍師官兵衛」は最終回でした。年間の平均視聴率も良かったようですね。

最終回のストーリーは、関ヶ原、九州での官兵衛の動向と死、大坂夏の陣を中心に展開しました。

関ヶ原では、小早川秀秋が東軍に付いたことが西軍敗北の契機になり、その論功で秀秋は備前岡山５５万石の藩主になります。しかし、秀秋は関ヶ原の２年後に２１歳の若さで死亡し、跡継ぎが居なかったことで、名門小早川家は断絶してしまいます。

九州では石垣原で大友義統を破った官兵衛が破竹の勢いで九州を制圧していきます。その辺りの様子を黒田家譜には次のように記しています。

「如水既に大友義統を虜にし、安岐富来の両城をせめて降参させ、臼杵、隈、角牟礼等の諸城を請とり、豊後に於ては敵する者なければ、是より西に赴き、九州を逐一に平げんとて十月四日富来を立て、豊前に帰り給ふ。」

さらに、九州で残すところは薩摩の島津氏だけになったところで、
「其後如水は、加藤主計頭、鍋島加賀守と牒じ合せ、立花左近将監を先陣とし、島津を討んため、肥後を経て、肥後薩摩の境佐敷水股まで軍兵を押ゆかれける。此時島津龍伯、同又八郎より、立花左近方へ使を遣し、今度の罪科を御赦免相成候様にと、かねてより井伊兵部小輔を以て内府公へ申上候條、上方の御下知を御待、先々此方へ責いられ候事相延給候へと申越さる。如水清正是を聞て、然らば先上方よりの御左右を待て、其旨に随ふべしとて、水股の城仕置堅固に申付られける。かゝる處に上方より家康公の御書来り、薩摩へ兵を入候事、先年内はやめ候へと仰下されければ、其旨に任せ薩摩へは入給はず、家康公より如水へ賜る御書にいはく、（略）」
と家康からストップの命令が届きます。あと一歩で九州全土を制圧するところでした。

官兵衛の死については、慶長９年（１６０４年）、官兵衛５９歳、長政３７歳の記事に、
「三月如水病に臥したまふ。かねて長政に告ていはく、我が死期来る二十日の辰の刻ならん。我死なば葬礼を厚くすべからず、又佛事を専とすべからず、只国を治め民を安ずる事、我が好む志なれば、是を以死後の孝養とすべしとぞのたまひける。長政父の病を憂へ、湯薬をもみづから試みて、孝養を盡し給へども、医療験なくして、終に三月二十日辰の刻に身まかり給ふ。」

流石に天才軍師だけのことはあって、自らの死亡する日時もぴったり当てています。ちなみに辰の刻は朝の７時から９時だそうです。

大坂夏の陣で豊臣方に参陣した後藤又兵衛は、官兵衛の死から２年後の慶長１１年に黒田家を出奔したのですが、それに関する記述は黒田家譜には見当たりません。また、大坂夏の陣についても戦いの詳細は記されていません。

この大坂夏の陣を最後に戦乱は終わり、２６０年余に渡る徳川政権が続くことになります。そして、来年からの「花燃ゆ」は徳川政権が瓦解していく時代が舞台となります。信長、秀吉、家康による国内統一による安定と国力の充実から明治政府による近代化と、まさに「天下は天下の天下なり」ということです。

来年の「花燃ゆ」も乞うご期待です。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（６７）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

久しぶりに気温が１０℃を超えて少し暖かくなりました。予報では暫く同じような天気が続くようです。年末で慌しくなってきますが、受験生の皆さんは落ち着いて勉強に専念しましょう。

さて、今回は平成２５年度東大大学院工学系研究科システム創成学の入試問題です。

問題は、
「以下の方程式を解け。ただし、ｘは実数とする。

」

です。

左辺が２次式、右辺に根号という中学生には馴染みのない方程式ですが恐るるに足りません。右辺の根号を外すため、両辺を２乗します。すると、左辺が４次式になるのですが、変数を置き直す（変数変換）ことで２次式にすることができます。

と言うのは、与式の両辺のｘについての２次式を見比べると、どちらもｘ^2＋４ｘ　（ｘ^2はｘの２乗を表します）　を含んでいて、これを新しい変数に置き直して両辺を２乗すると、左辺が２次式、右辺が１次式になるからです。

ここでは、
ｘ^2＋４ｘ＋４＝（ｘ＋２）^2＝Ｘ　　　（１）
と変数を置きなおしましょう。

（１）から、
ｘ^2＋４ｘ＝Ｘ－４　　　　　　　　　　（２）
なので、（２）を与式に代入して、
Ｘ－４－３３＝－２√（Ｘ－４＋１５）
Ｘ－３７＝－２√（Ｘ＋１１）　　　　　（３）
と変形できます。

次に（３）の両辺を２乗すると、、
（Ｘ－３７）^2＝４（Ｘ＋１１）
Ｘ^2－７４Ｘ＋１３６９＝４Ｘ＋４４
Ｘ^2－７８Ｘ＋１３２５＝０　　　　　　（４）
とＸの２次方程式になりました。

あとは、（４）を解の公式を使って解いてもＯＫですし、因数分解を試みるのも良いでしょう。

ここでは、因数分解でいきましょう。

（４）の定数項の１３２５が２つの数の積になるような２数を見つけ、それらを足したり引いたりしてＸの係数－７８を探すのが因数分解の常套手段です。

そのために１３２５を素因数分解するのが上策ですが、ここでは適当にあたりをつけてやってみます。

１３２５は正数なので２つの数は同符号になります。

また、１３２５は５の倍数で１０の倍数ではないので、符号を無視すると、一方の数は‘☆５’となり、もう一方は‘★３’になります。（ここで、☆、★は０から９までの整数）

これらの２数を足すと７８になるのですから、☆＋★が７になるわけです。

すると、☆と★のの組合せは、２つの数の逆も含めて、０と７、１と６、２と５、・・・となるのですが、（３または５）×７０＝２１０または３５０、１０×６０＝６００、２０×５０＝１０００、３０×４０＝１２００なので、☆、★は、２、５または３、４になりそうです。

以上より、２数の候補は、２３と５５（積は１２６５）、２５と５３（１３２５）、３３と４５（１４８５）、３５と４３（１５０５）ということになります。あとは実際に掛け算して、求める２数は、２５と５３であることが判ります。

そこで（４）を因数分解すると、
（Ｘ－２５）（Ｘ－５３）＝０　　　　　（５）
となります。

続いて（５）から、
Ｘ＝２５　　　
または、
Ｘ＝５３　　　
で、ここで、Ｘ＝（ｘ＋２）^2より、
（ｘ＋２）^2＝２５　　　　　　　　　　（６）
または、
（ｘ＋２）^2＝５３　　　　　　　　　　（７）
です。

あとは、（６）（７）をｘについて解けばＯＫで、（６）のとき、
ｘ＋２＝±５
ｘ＝－７、３　　　　　　

（７）のとき、
ｘ＋２＝±√５３
ｘ＝－２±√５３　
になります。

まとめると、－７、３、－２±√５３　が与えられた方程式の解になります。

変数を新しい変数に置き直（変数変換）して式を簡単にするテクニックは中学でも勉強するので、知らなかった人は復習しておくと良いでしょう。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（６６）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

雨がぽつりときたり晴れ間が見えたりどっちつかずの天気ですが、これから弱い雨になるようです。

さて、今回は平成２５年度東大大学院工学系研究科システム創成学の入試問題です。

問題は、
「与えられた４つの数のそれぞれを１回ずつと、四則演算（＋－×÷）、かっこを用いて、答が１０となる計算式を考える。たとえば、与えられた４つの数字の組が（２，３，６，７）であれば　（７－２）×６÷３、（９，９，９，９）であれば　（９×９＋９）÷９である。
（１）４つの数字の組（１，１，９，９）に対して、答が１０となる計算式を１つ見つけよ。
（２）４つの数字の組（１，１，５，８）に対して、答が１０となる計算式を１つ見つけよ。」
です。

テンパズルとかメイク１０と呼ばれる算数パズルの問題です。小さい頃、電車の中で切符に印刷してある４桁の数字を使って１から順番に数字を作って遊んでいたので、このような算数パズルは大好きです。

昨年末には、本問の（２）と同じ（１，１，５，８）を使って１０を作るＴＶコマーシャルが放映されていて、それを床屋で解いたのを覚えています。

テンパズルでは、４つの数字と３つの演算子（＋－×÷）といくつかの（最大２組？）のかっこを並べるとすべての計算式を作ることができるので、それらを片っ端に計算すれば答えが見つかる訳で、これはコンピュータを使えばあっという間にできてしまいます。

しかし、コンピュータを使わないで系統的に解く方法はないようで（私が知らないだけかも知れませんが）、与えられた数字をいろいろ組み合わせて調べていきましょう。

まず、この問題には小問が２つあるので、それらは異なる計算式の構造をしていて、（１）は「簡単」で（２）は「難しい」、と予想します。（結局、この予想ははずれるのですが）

ここで「簡単」、「難しい」という区別は大した意味があるわけではなく、「難しい」というのは、
（Ａ±（Ｂ÷Ｃ））＝（ＡＣ±Ｂ）/Ｃ
という計算式を含むもの、つまり通分して新しい数字を作る方法です。

例えば、（２）の（１，１，５，８）の場合は、
８÷（１－１÷５）＝８÷４/５
　　　　　　　　　＝８×５/４
　　　　　　　　　＝１０
と（　　）のなかから４を作り出しています。

と言うことで、（１）については、上記のような計算式を含まない単純なものから調べ始めましょう。

まず、１では大きな数字を作れないので（足し算して１増、掛け算では変わりません）、９を軸にして調べるのですが、同じ数字が２つずつなので組合せが少なく、直ぐに降参です。

ところが、単純な計算式をいじっていると、１＋１/９を通分して１０が出てくるのが判ってしまい、それを基に、９×（１＋１÷９）で解決してしまいます。予想に反して、（１）から「難しい」ものだった訳です。

（２）については、昨年末に解いていたので、（Ａ±（Ｂ÷Ｃ））の計算式を含むことは知っていて、直ぐに解決です。（上記したように答えは、８÷（１－１÷５））

改めて本問を見直してみると、（１）は通分するとダイレクトに１０が現れ、単純に９と９で約分して１０を作る手順（つまり、通分→（単純な）約分）に対し、（２）は通分して現れた４と８を約分し、さらに積を作って１０を作る（つまり、通分→約分→積）という手順なので、（１）より（２）のほうが難しい（複雑、ひねってある）ということで自分なりに納得した次第です。

テンパズル攻略のために、（Ａ±（Ｂ÷Ｃ））の計算式を頭にいれておくと役に立つこともあるかもしれません。（都立高校入試には出題されないと思いますが）

中学生でも解ける東大大学院入試問題（６５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

穏やかな天気になり少し寒さも和らぎました。明日は雨模様ですが気温は上がるようです。受験生の皆さんは体調に気を付けて頑張ってください。

さて、今回は平成１７年度東大大学院工学系研究科システム量子工学の入試問題です。

問題は、
「Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人がゲームを始める前に順位を予想したところ、下の表のようになった。ゲーム終了後、予想と実際の結果を比べると、Ａ、Ｂの予想は２つ当たり、ＣとＤの予想は１つしか当たらなかった。実際の順位を解答せよ。」

▼問題の表

です。

Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人の順位の場合の数は２４通りなので、それらをすべて書き出し、予想を記した問題の表と照合すれば解けそうです。

表１に４人の順位のすべての場合を示します。

▼表１．４人の順位のすべての場合

まず、１のＡ-Ｂ-Ｃ-Ｄ（左から１、２、３、４位）と問題の表を照会します。

Ａを１位と予想した人はいません→《０，０，０，０》←（左からＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄの当てた数）
Ｂを２位と予想したのはＢです→《０，１，０，０》
Ｃを３位と予想した人はいません→《０，１，０，０》
Ｄを４位と予想したのはＡです→《１，１，０，０》
となり、《２，２，１，１》にならないので、１のＡ-Ｂ-Ｃ-Ｄは不適です。

この操作をすべての場合について行うと、２３のＤ-Ｃ-Ｂ-Ａでは、
Ｄを１位と予想した人はＢです→《０，１，０，０》
Ｃを２位と予想した人はＡ、Ｄです→《１，１，０，１》
Ａを３位と予想した人はＡ、Ｂです→《２，２，０，１》
Ｂを４位と予想した人はＣです→《２，２，１，１》
となり、１位：Ｄ、２位Ｃ、３位Ａ、４位Ｂが正解と判ります。

この解法がシンプルで良いと思うのですが、２４通りを調べるのが嫌な場合、次のような解法もあります。

まず、Ａが１位とすると、ＡとＢの予想では１、３位がはずれているので、２、４位が当たっていなければなりません。しかし、Ａの予想した２、４位とＢの予想した２、４位は異なっているので、Ａ、Ｂの両者が２、４位を当てていることはありえません。すなわち、Ａは１ではありません。

次に、Ｂが１位とすると、Ｂの予想では１、２位がはずれているので、３、４位が当たっていなければなりません。つまり、３位：Ａ、４位Ｃ⇒Ｂ-Ｄ-Ａ-Ｃということです。この順位とＣの予想を照会すると、Ｃはすべてはずれになるので不適となります。つまり、Ｂは１位ではありません。

さらに、Ｃが１位とすると、Ａの予想では１、２位がはずれているので、３、４位が当たっていなければなりません。つまり、３位：Ａ、４位Ｄ⇒Ｃ-Ｂ-Ａ-Ｄということです。

また、Ｂの予想では１、４位がはずれているので、２、３位が当たっていなければなりません。つまり、２位：Ｂ、３位：Ａ⇒Ｃ-Ｂ-Ａ-Ｄということです。これは上記のＡの予想から得られた結果と一致しますが、この順位とＤの予想を照会すると、Ｄはすべてはずれになるので不適となります。つまり、Ｃは１位ではありません。

最後に、Ｄが１位とすると、Ａの予想では１、４位がはずれているので、２、３位が当たっていなければなりません。つまり、２位：Ｃ、３位Ａ⇒Ｄ-Ｃ-Ａ-Ｂということです。

この順位とＢ、Ｃ、Ｄの予想を照会すると、Ｂは１、３位、Ｃは４位、Ｄは２位が当たっています。つまり、各人の予想で当てた数は、Ａ：２、Ｂ：２、Ｃ：１、Ｄ：１となり、１位：Ｄ、２位Ｃ、３位Ａ，４位Ｂが正解になります。

他にもいろいろな解き方を考えてみたのですが、同じようなものばかりでした。スマートな解法を知っていたら教えてください。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（６４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

天気図を見ると多数の等圧線が日本列島を南北に走っているのですが、風は昨日に比べて収まってきました。昨日は名古屋も雪だそうで、この冬は東京も大雪になりそうです。

さて、今回は平成１７年度東大大学院工学系研究科システム量子工学の入試問題です。

問題は、
「袋の中に１から１２までの数字が一つずつ書かれた１２枚のカードが入っている。Ａ、Ｂ、Ｃの３人が袋の中のカードをそれぞれ３枚ずつ、計９枚取り出した。このとき、Ｂが引いた３枚目のカードは、Ａの３枚目のカードよりも４大きく、Ｃの３枚目のカードよりも２小さい数字であった。
　下の表は、３人がそれぞれ取り出したカードの一部を記入したものである。Ｂが引いた３枚のカードに書かれた数字をすべて答えよ。」
です。

▼問題の表

まず、問題の表の空欄に変数を割り当て、それらを使って与えられた条件を立式しましょう。表１に変数を割り当てたものを示します。

▼表１．変数の割り当て

それでは、与えられた条件を立式します。

まず、表１からＡの３枚のカードの合計は１９なので、
５＋ｐ＋ｑ＝１９
ｐ＋ｑ＝１４　　　　　（１）
で、同様に、Ｂ、Ｃについても、
ｒ＋ｓ＋ｔ＝２１　　　（２）
ｕ＋８＋ｖ＝２１
ｕ＋ｖ＝１３　　　　　（３）
となります。

次に、「Ｂが引いた３枚目のカードは、Ａの３枚目のカードよりも４大きく」から
ｔ－ｑ＝４　　　　　　（４）
で、さらに、「Ｂが引いた３枚目のカードは、Ｃの３枚目のカードよりも２小さい」から
ｖ－ｔ＝２　　　　　　（５）
となります。

そしてもう一つ大切な条件があって、それは、「１から１２までの数字が一つずつ書かれた１２枚のカード」で、これはカードに書かれた数字に重複はないということです。つまり、問題の表に既に５と８があるので、ｐ、ｑ、・・・の変数は、残りの《１，２，３，４，６，７，９，１０，１１，１２》に対応するということです。

ここで、これまでに得られた条件をまとめます。

（０）ｐ、ｑ、ｒ、ｓ、ｔ，ｕ、ｖ　は、《１，２，３，４，６，７，９，１０，１１，１２》のどれかに対応　　　　　　　
（１）　ｐ＋ｑ＝１４　　　　　
（２）　ｒ＋ｓ＋ｔ＝２１　　　
（３）　ｕ＋ｖ＝１３　　　　　
（４）　ｔ－ｑ＝４　　　　　　
（５）　ｖ－ｔ＝２　

条件（０）から（５）を眺めると、（０）、（４）、（５）からｑ、ｔ、ｖの候補を絞ることができそうです。（もちろん（０）、（１）、（４）からｐ、ｑ、ｔの候補を絞り込むこともでしますが、（１）が和なので候補が多くなりそうです）

（０）と（１）を満たすｑ、ｔの組合せを（ｑ，ｔ）として（以下同様）、
（ｑ，ｔ）＝（７，１１）、（６，１０）、（３，７）、（２，６）　
となります。

続いて、（ｔ，ｖ）は、
（ｔ，ｖ）＝（１０，１２）、（９，１１）、（７，９）、（４，６）、（２，４）、（１，３）
です。

ここで、（ｑ，ｔ）と（ｔ，ｖ）に共通するｔに着目すると、（ｑ，ｔ）＝（７，１１）の場合、ｔ＝１１なのですが、（ｔ，ｖ）の候補のなかにｔ＝１１となるものがないことから、（ｑ，ｔ）≠（７，１１）であることが判ります。

同様に調べていくと、結局、可能性のある候補は、
（ｑ，ｔ）＝（６，１０）　に対して、（ｔ，ｖ）＝（１０、１２）
（ｑ，ｔ）＝（３，７）　に対して、　（ｔ，ｖ）＝（７，９）
の２つになり、これらをまとめると、
（ｑ，ｔ，ｖ）＝（６，１０，１２）または（３，７，９）
となります。

ここまでで、ｑの候補が２つに絞られたので、（１）を使って、ｐの候補を調べましょう。　　　　
（ｑ，ｔ，ｖ）＝（６，１０，１２）のとき（⇒残りの数字《１，２，３，４，７，９，１１》）、（１）より、（ｐ，ｑ）＝（８，６）となりますが、８は残りの数字にないので、これは不適です。

（ｑ，ｔ，ｖ）＝（３，７，９）のとき（⇒残りの数字《１，２，４，６，１０，１１，１２》）、（１）より、（ｐ，ｑ）＝（１１，３）となり、これはＯＫです。

まとめると、
（ｐ，ｑ，ｔ，ｖ）＝（１１，３，７，９）
まで明らかになりました。

次は、（ｐ，ｑ，ｔ，ｖ）＝（１１，３，７，９）のとき（⇒残りの数字《１，２，４，６，１０，１２》）のとき、（３）より、（ｕ，ｖ）＝（４，９）となり、これはＯＫです。

まとめると、（ｐ，ｑ，ｔ，ｕ，ｖ）＝（１１，３，７，４，９）で、残りの数字は、《１，２，６，１０，１２》です。

最後に、（２）にｔ＝７を代入すると、
（６）ｒ＋ｓ＝１４　
で、残りの数字《１，２，６，１０，１２》から（６）を満たす組合せ（ｒ，ｓ）は、（２，１２）、（１２，２）だけです。

したがって、全ての変数の組合せは、
（ｐ，ｑ，ｒ，ｓ，ｔ，ｕ，ｖ）＝（１１，３，２，１２，７，４，９）
　　　　　　　　　　　　または、（１１，３，１２，２，７，４，９）　
と判りました。

求められているのは、「Ｂが引いた３枚のカードに書かれた数字をすべて答えよ」ですから、答えは、「２、７、１２」となります。　

この問題のように、使える数字が重複を許さない場合、数字が決まる度にどんどん簡単になっていくので、問題をよく読んで、（０）のような条件を見逃さないようにしましょう。　　

中学生でも解ける東大大学院入試問題（６３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

風がありますが、今の気温は９℃と少し寒さが和らぎました。明後日まで同じような天候が続くようです。受験生の皆さんは頭寒足熱で頑張って勉強してください。

さて、今回は平成２３年度東大大学院工学系研究科システム創成学の入試問題です。

問題は、
「酸素原子の同位体には、16Ｏ、17Ｏ、18Ｏの三種類あり、各々の天然存在比（個数比）は９９．７６％、０．０４％、０．２％である。原子はランダムに結びつくものとして、酸素分子のうち分子量３４の酸素分子の存在割合は何％か算出せよ。」
です。

酸素原子、分子などが出てくるので理科の問題のようですが、単純な確率の問題です。酸素分子は、２つの酸素原子が結合してできています。そこで、２つの箱を考えて、その１つをＡ、もう一つをＢとします。

すると、（Ａ，Ｂ）の組合せは、（16Ｏ，16Ｏ）、（16Ｏ，17Ｏ）、（16Ｏ，18Ｏ）、（17Ｏ，16Ｏ）、（17Ｏ，17Ｏ）、（17Ｏ，18Ｏ）、（18Ｏ，16Ｏ）、（18Ｏ，17Ｏ）、（18Ｏ，18Ｏ）の９通りで、そのなかで分子量が３４になるものは、（16Ｏ、18Ｏ）、（17Ｏ，17Ｏ）、（18Ｏ，16Ｏ）の３通りです。

したがって、（16Ｏ、18Ｏ）、（17Ｏ，17Ｏ）、（18Ｏ，16Ｏ）になる確率を求めて、それらを足し合わせればＯＫです。

まず、（Ａ，Ｂ）が（16Ｏ，18Ｏ）になる確率を調べます。

たくさんの酸素原子から１つ選んでＡに入れるわけですから、16Ｏが選ばれる確率は、16Ｏの存在比、つまり、９９．７６％→０．９９７６　ということになります。

Ｂに18Ｏが入る場合も同様で、０．２％→０．００２　となります。

したがって、（Ａ，Ｂ）が（16Ｏ，18Ｏ）となる確率は、
０．９９７６×０．００２＝０．００１９９５２
　　　　　　　　　　　　＝０．００２
　　　　　　　　　　　　＝０．２％
となります。

同様に、（17Ｏ，17Ｏ）については、
０．０００４×０．０００４＝０．００００００１６
　　　　　　　　　　　　　＝０．００００００２
　　　　　　　　　　　　　＝０．００００２％

（18Ｏ，16Ｏ）については、
０．００２×０．９９７６＝０．００１９９５２
　　　　　　　　　　　　＝０．００２
　　　　　　　　　　　　＝０．２％
です。

したがって、分子量３４の酸素分子の存在割合は、上記の３つの和ですから、
０．２＋０．００００２＋０．２＝０．４０００２
で、答えは０．４％になります。

簡単な確率の問題でしたが、有効数字の取り扱いにも気を付けたほうが良いのかもしれません。