こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は平成３０年度都立高校数学入試問題を取り上げます。
問題は、国立高で出題された大問３の図形問題で、それは、
「下の図１で、点Ｏは線分ＡＢを直径とする半円の中心である。
▲図１．問題図（１）
点Ｐは弧ＡＢ上にある点で、点Ａと点Ｂのいずれにも一致しない。
点Ｂと点Ｐを結ぶ。
ただし、∠ＡＢＰは６０°以下の角とする。
∠ＡＢＰの二等分線と弧ＡＰの交点をＱとする。
点Ａと点Ｑを結び、∠ＢＡＱの二等分線と弧ＢＱの交点をＲとする。
次の各問に答えよ。
［問１］ 弧ＢＲ：弧ＲＰ＝２：１ のとき、∠ＡＢＰの大きさは何度か。
［問２］ 下の図２は、図１において、点Ｑから線分ＡＢに垂直な直線を引き、その交点をＨ、線分ＡＲと線分ＱＨの交点を Ｉ、線分ＡＲと線分ＢＱの交点をＪとした場合を表している。
▲図２．問題図（２）
（１） ＱＩ＝ＱＪ であることを証明せよ。
（２） ＯＡ＝１ｃｍとする。
∠ＡＢＰ＝６０°のとき、線分ＩＪの長さは何ｃｍか。」
です。
［問１］です。
図３のように、与えられた条件を書き入れましょう。
▲図３．与えられた条件を書き入れました
図４のように点Ａと点Ｐを結ぶと、∠ＡＰＢは半円弧に対する円周角なので、∠ＡＰＢ＝９０°で、同様に、∠ＡＱＢ＝９０°になります。
▲図４．∠ＡＰＢ＝∠ＡＱＢ＝９０°です
ここで、∠ＡＢＱ＝∠ＱＢＰ＝●、∠ＢＡＲ＝∠ＲＡＱ＝■とします。
すると、弧ＢＲ：弧ＲＰ＝２：１から、∠ＰＡＲ＝■/２です。
直角三角形ＡＢＰの内角に注目すると、
２●＋３■/２＋９０°＝１８０° → ８●＋６■＝３６０°
が成り立ち、さらに直角三角形ＡＢＱの内角に注目すると、
●＋２■＋９０°＝１８０° → ３●＋６■＝２７０°
が成り立ちます。
これら２式から
５●＝９０° → ●＝１８°
になり、∠ＡＢＰ＝２●から
∠ＡＢＰ＝１８°×２＝３６°
で、これが答えです。
次に［問２］の（１）です。
ＱＩ＝ＱＪを示すには、∠ＱＩＪ＝∠ＱＪＩを示すのがよいでしょう。
そこで図５のように、点Ｂと点Ｒを結び、∠ＱＢＲ＝●とします。
▲図５．∠ＱＢＲ＝●としました
このとき、∠ＢＲＪ＝∠ＢＲＡ＝９０°ですから、直角三角形ＢＲＩの内角に注目して、
∠ＢＪＲ＝１８０°－∠ＢＲＪ－∠ＱＢＲ＝９０°－●
で、∠ＱＪＩと∠ＢＪＲは対頂角の関係なので、
∠ＱＪＩ＝９０°－● ［１］
が成り立ちます。
一方、円周角の定理から
∠ＱＢＲ＝∠ＱＡＲ
で、仮定から
∠ＱＡＲ＝∠ＢＡＲ
です。
したがって、∠ＢＡＲ＝∠ＨＡＩ＝●になります。
ここで、直角三角形ＡＨＩの内角に注目すると、
∠ＡＩＨ＝１８０°－∠ＡＨＩ－∠ＨＡＩ＝９０°－●
で、∠ＱＩＪと∠ＡＩＨは対頂角の関係なので、
∠ＱＩＪ＝９０°－● ［２］
が成り立ちます。
［１］と［２］から、∠ＱＪＩ＝∠ＱＩＪが成り立ち、２つの内角が等しい三角形は二等辺三角形なので、ＱＩ＝ＱＪです。
最後の［問２］（２）です。
∠ＡＢＰ＝６０°から∠ＢＡＰ＝３０°です。
一方、∠ＡＢＱ＝３０°から∠ＢＡＱ＝６０°で、したがって、∠ＢＡＲ＝３０°になります。
以上から、図６のように、点Ｐと点Ｒは同じ点になります。
▲図６．点Ｐと点Ｒは同じ点です
このとき、△ＡＨＩ、△ＢＰＪは内角が９０°、６０°、３０°の直角三角形なので、∠ＡＩＨ＝∠ＢＪＲ＝６０°で、△ＱＩＪは正三角形です。
一方、△ＡＢＰ≡△ＢＡＱからＢＰ＝ＡＱで、したがって、△ＢＰＪ≡△ＡＱＪになるので、
ＩＪ＝ＱＪ＝ＰＪ （★）
です。
ここで、直角三角形ＡＢＰに注目すると、
ＡＢ：ＢＰ：ＡＰ＝２：１：√３
で、ＡＢ＝２ｃｍですから、
ＢＰ＝１ｃｍ
ＡＰ＝√３ｃｍ
です。
次に、直角三角形ＢＰＪに注目すると、
ＢＰ：ＰＪ＝√３：１
で、ＢＰ＝１ｃｍですから、
ＰＪ＝１/√３＝√３/３ｃｍ
です。
すると（★）から、
ＩＪ＝√３/３ ｃｍ
で、これが答えです。
簡単な問題です。
今回は平成３０年度都立高校数学入試問題を取り上げます。
問題は、国立高で出題された大問３の図形問題で、それは、
「下の図１で、点Ｏは線分ＡＢを直径とする半円の中心である。
▲図１．問題図（１）
点Ｐは弧ＡＢ上にある点で、点Ａと点Ｂのいずれにも一致しない。
点Ｂと点Ｐを結ぶ。
ただし、∠ＡＢＰは６０°以下の角とする。
∠ＡＢＰの二等分線と弧ＡＰの交点をＱとする。
点Ａと点Ｑを結び、∠ＢＡＱの二等分線と弧ＢＱの交点をＲとする。
次の各問に答えよ。
［問１］ 弧ＢＲ：弧ＲＰ＝２：１ のとき、∠ＡＢＰの大きさは何度か。
［問２］ 下の図２は、図１において、点Ｑから線分ＡＢに垂直な直線を引き、その交点をＨ、線分ＡＲと線分ＱＨの交点を Ｉ、線分ＡＲと線分ＢＱの交点をＪとした場合を表している。
▲図２．問題図（２）
（１） ＱＩ＝ＱＪ であることを証明せよ。
（２） ＯＡ＝１ｃｍとする。
∠ＡＢＰ＝６０°のとき、線分ＩＪの長さは何ｃｍか。」
です。
［問１］です。
図３のように、与えられた条件を書き入れましょう。
▲図３．与えられた条件を書き入れました
図４のように点Ａと点Ｐを結ぶと、∠ＡＰＢは半円弧に対する円周角なので、∠ＡＰＢ＝９０°で、同様に、∠ＡＱＢ＝９０°になります。
▲図４．∠ＡＰＢ＝∠ＡＱＢ＝９０°です
ここで、∠ＡＢＱ＝∠ＱＢＰ＝●、∠ＢＡＲ＝∠ＲＡＱ＝■とします。
すると、弧ＢＲ：弧ＲＰ＝２：１から、∠ＰＡＲ＝■/２です。
直角三角形ＡＢＰの内角に注目すると、
２●＋３■/２＋９０°＝１８０° → ８●＋６■＝３６０°
が成り立ち、さらに直角三角形ＡＢＱの内角に注目すると、
●＋２■＋９０°＝１８０° → ３●＋６■＝２７０°
が成り立ちます。
これら２式から
５●＝９０° → ●＝１８°
になり、∠ＡＢＰ＝２●から
∠ＡＢＰ＝１８°×２＝３６°
で、これが答えです。
次に［問２］の（１）です。
ＱＩ＝ＱＪを示すには、∠ＱＩＪ＝∠ＱＪＩを示すのがよいでしょう。
そこで図５のように、点Ｂと点Ｒを結び、∠ＱＢＲ＝●とします。
▲図５．∠ＱＢＲ＝●としました
このとき、∠ＢＲＪ＝∠ＢＲＡ＝９０°ですから、直角三角形ＢＲＩの内角に注目して、
∠ＢＪＲ＝１８０°－∠ＢＲＪ－∠ＱＢＲ＝９０°－●
で、∠ＱＪＩと∠ＢＪＲは対頂角の関係なので、
∠ＱＪＩ＝９０°－● ［１］
が成り立ちます。
一方、円周角の定理から
∠ＱＢＲ＝∠ＱＡＲ
で、仮定から
∠ＱＡＲ＝∠ＢＡＲ
です。
したがって、∠ＢＡＲ＝∠ＨＡＩ＝●になります。
ここで、直角三角形ＡＨＩの内角に注目すると、
∠ＡＩＨ＝１８０°－∠ＡＨＩ－∠ＨＡＩ＝９０°－●
で、∠ＱＩＪと∠ＡＩＨは対頂角の関係なので、
∠ＱＩＪ＝９０°－● ［２］
が成り立ちます。
［１］と［２］から、∠ＱＪＩ＝∠ＱＩＪが成り立ち、２つの内角が等しい三角形は二等辺三角形なので、ＱＩ＝ＱＪです。
最後の［問２］（２）です。
∠ＡＢＰ＝６０°から∠ＢＡＰ＝３０°です。
一方、∠ＡＢＱ＝３０°から∠ＢＡＱ＝６０°で、したがって、∠ＢＡＲ＝３０°になります。
以上から、図６のように、点Ｐと点Ｒは同じ点になります。
▲図６．点Ｐと点Ｒは同じ点です
このとき、△ＡＨＩ、△ＢＰＪは内角が９０°、６０°、３０°の直角三角形なので、∠ＡＩＨ＝∠ＢＪＲ＝６０°で、△ＱＩＪは正三角形です。
一方、△ＡＢＰ≡△ＢＡＱからＢＰ＝ＡＱで、したがって、△ＢＰＪ≡△ＡＱＪになるので、
ＩＪ＝ＱＪ＝ＰＪ （★）
です。
ここで、直角三角形ＡＢＰに注目すると、
ＡＢ：ＢＰ：ＡＰ＝２：１：√３
で、ＡＢ＝２ｃｍですから、
ＢＰ＝１ｃｍ
ＡＰ＝√３ｃｍ
です。
次に、直角三角形ＢＰＪに注目すると、
ＢＰ：ＰＪ＝√３：１
で、ＢＰ＝１ｃｍですから、
ＰＪ＝１/√３＝√３/３ｃｍ
です。
すると（★）から、
ＩＪ＝√３/３ ｃｍ
で、これが答えです。
簡単な問題です。