図形問題（６０）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２００６年ＡＩＭＥの図形問題です。

問題は、
「∠Ａ＜４５°、∠Ｃ＝９０°、ＡＢ＝４の△ＡＢＣにおいて、辺ＡＢ上に、
∠ＡＰＣ＝２∠ＡＣＰ、ＣＰ＝１
になる点Ｐをとる。
ここで、

が

と表せるとき、ｐ＋ｑ＋ｒの値を求めよ。ただし、ｐ、ｑ、ｒは正の整数で、ｒは素数の平方数で割り切れないものとする。」
です。

図１に問題の図を描きました。

▲図１．問題の図を描きました

図１を眺めると、直角と、中心角と円周角を想起させる倍角が目に付くので、図２のように、△ＡＢＣの外接円ωを描いてみましょう。このとき、ωの中心Ｏは辺ＡＢの中点になります。

▲図２．△ＡＢＣの外接円ωを描きました

ここで直線ＣＰとωとの交点で、Ｃでない方をＱとし、さらにＯとＱを結ぶと、∠ＡＯＱと∠ＡＣＱは中心角と円周角になるので、
∠ＡＯＱ＝２∠ＡＣＱ＝２●
です。

すると、
∠ＱＰＯ＝∠ＱＰＣ－∠ＡＰＣ＝１８０°－２●
∠ＱＯＰ＝∠ＡＯＢ－∠ＡＯＱ＝１８０°－２●
から、△ＱＰＯは二等辺三角形になり、このとき線分ＯＱはωの半径なので、ＰＱ＝ＯＱ＝２です。

あとは図３のように、Ｏから直線ＣＱに下した垂線の足をＨとして、直角三角形ＯＱＨとＯＰＨに三平方の定理を適用して必要な線分の長さを求めればお仕舞です。

▲図３．Ｏから直線ＣＱに下した垂線の足をＨとしました

まず直角三角形ＯＱＨに三平方の定理を適用すると、

が成り立ち、これに、

を代入して整理すると、

です。

続いて直角三角形ＯＰＨに三平方の定理を適用すると、

が成り立ち、これに

を代入して整理すると、

です。

すると、

になり、これらから

です。

したがって、ｐ＝３、ｑ＝２、ｒ＝２からｐ＋ｑ＋ｒ＝３＋２＋２＝ ７ で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｓｍｅｌｌ のはなし（２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の教科書に、
Ｉｔ　ｓｍｅｌｌｓ　ｇｒｅａｔ．
（とてもいい匂いがする）
という文があります。

前回は 動詞 の ｓｍｅｌｌ を取り上げましたが、今回は 名詞 ｓｍｅｌｌ の 類義語 についてです。

ウィズダム英和辞典 によると、 名詞ｓｍｅｌｌ とそ の 類義語 ｓｃｅｎｔ、ｏｄｏｒ、ａｒｏｍａ、ｆｒａｇｒａｎｃｅ、ｓｔｉｎｋ との違いについて、
● ｓｍｅｌｌ
　「におい」を表す最も意味の広い語で、芳香にも悪臭にも用いられるが、修飾語を伴わない時は悪臭をいう場合が多い

● ｓｃｅｎｔ
　花・植物などの心地のよい香りや、人・動物などの残すかすかなにおいをいうが、後者はしばしば訓練犬がその後を追う場面で用いられる

● ｏｄｏｒ
　ややかたい語で主に書き言葉。他と区別できる独特なにおいをいうが、主に強く不快なにおいをさし、しばしばそのにおいの発生源を意識する

● ａｒｏｍａ
　かたい語で、比較的強い香りで、食べ物・コーヒーなどの食欲をそそるにおい

● ｆｒａｇｒａｎｃｅ
　花・植物・果物などの甘い香りのほか、香水などの人工のにおいをさす

● ｓｔｉｎｋ
　くだけた語 で、鼻をつくような強く不快なにおいをいう
と説明しています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

数式の問題（２９）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２００６年ＡＩＭＥの漸化式の問題です。

問題は、
「数列｛ａn｝は、正の整数ｎについて、
　
　
を満たす。ここで、

であるとき、

を１０００で割った余りを求めよ。」
です。

与えられた条件からａk は整数になり、したがって、

とするとＳは整数になります。

続いて、与えられた漸化式をｎ＝１から２８まで並べると、

になり、したがって、

が成り立ちます。

ここからａ31 を計算してＳを求めてもＯＫですが、桁の大きい数の計算（足し算ですが）で少々煩雑なので、ここではａ31、ａ29、ａ3、ａ1 の下４桁を計算することにします。（Ｓを求めるとき右辺を２で割るので、右辺の値の下４桁目の偶奇によって下３桁目の値が異なるので下４桁を調べます）

そこで、[ａk] をａk の下４桁の数とすると、与えられた漸化式から

になります。

すると、

から、２Ｓの下４桁の数は３６６８で、したがって、Ｓの下４桁の数は１８３４になります。

以上から、、

を１０００で割った余りは ８３４ で、これが答えです。


簡単な問題です。

序数 のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の教科書に、「序数」の Ｗｏｒｄ　Ｂａｎｋ があって、そこに、
ｆｉｒｓｔ，ｓｅｃｏｎｄ，・・・，ｔｈｉｒｔｅｅｎｔｈ，ｔｗｅｎｔｉｅｔｈ，ｔｈｉｒｔｉｅｔｈ
（１番目、2番目、・・・、１３番目、２０番目、３０番目）
を記しています。

この 序数 を オックスフォード実例現代英語用法辞典 で調べてみると、「序数と普通の数字：本、章；王と女王」という項のなかに、
● 名詞の後で 序数（ｆｉｒｓｔ、ｓｅｃｏｎｄ、・・・）の代わりに 基数（ｏｎｅ、ｔｗｏ、・・・）を用いる語法は タイトル によく用いられる
とあり、その用例として、
・ ｔｈｅ　ｆｏｕｒｔｈ　ｂｏｏｋ － Ｂｏｏｋ　ｆｏｕｒ　
　（第４巻）
・ ｔｈｅ　ｔｈｉｒｄ　ａｃｔ － Ａｃｔ　Ｔｈｒｅｅ　
　（第３幕）
・ Ｍｏｚａｒｔ’ｓ　ｔｈｉｒｔｙ-ｎｉｎｔｈ　ｓｙｍｐｈｏｎｙ － Ｓｙｍｐｈｏｎｙ　Ｎｏ．３９，ｂｙ　Ｍｏｚａｒｔ
　（モーツァルトの交響曲第３９番）
・ ｔｈｅ　ｔｈｉｒｄ　ｄａｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｕｒｓｅ － Ｔｉｍｅｔａｂｌｅ　ｆｏｒ　Ｄａｙ　Ｔｈｒｅｅ
　（旅程の第３日目）
を挙げています。

ただし、王と女王の名前 には 序数 を用いて、例えば、
・ Ｈｅｎｒｙ ＶＩＩＩ ： Ｈｅｎｒｙ　ｔｈｅ　Ｅｉｇｈｔｈ（× Ｈｅｎｒｙ　Ｅｉｇｈｔ）
　（ヘンリー８世）
・ Ｌｏｕｉｓ ＸＩＶ ： Ｌｏｕｉｓ　ｔｈｅ　Ｆｏｕｒｔｅｅｎｔｈ
　（ルイ１４世）
・ Ｅｌｉｚａｂｅｔｈ ＩＩ ： Ｅｌｉｚａｂｅｔｈ　ｔｈｅ　Ｓｅｃｏｎｄ
　（エリザベス２世）
とするそうです。

ちなみに、ｏｎｅ、ｔｗｏ、ｔｈｒｅｅ の 序数 の 語源 について、 ウィズダム英和辞典 に、
● ｏｎｅ、ｔｗｏ、ｔｈｒｅｅ の 序数 は、古い英語ではそれぞれ ｆｙｒｓｔ、ｏｔｈｅｒ、ｔｈｒｉｄ で、ｔｗｏ の 序数 はなく ｏｔｈｅｒ で代用されていたが、あいまいさを避けるために古フランス語の ｓｅｃｏｎｄ を用いるようになった。ｔｈｒｉｄ は音位転化によって ｔｈｉｒｄ に変化した
と説明しています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

整数問題（６３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２００６年ＡＩＭＥの整数問題です。

問題は、
「正の整数ａとｂで、ａ＋ｂ＝１０００ を満たし、ａ、ｂともにいずれの桁の数字も０でないａ、ｂの組の個数を求めよ。」
です。

ａ＋ｂ＝１０００ と ａ，ｂ≧１ から、ａ＝１０００－ｂ≦９９９、ｂ＝１０００－ａ≦９９９ になり、ａとｂはいずれも３桁以下の整数です。

そこで、
ａ＝１００ｐ ＋１０ｑ ＋ｒ
ｂ＝１００ｐ’＋１０ｑ’＋ｒ’
（ｐ、ｐ’、ｑ、ｑ’、ｒ、ｒ’ は０以上９以下の整数）
とおくと、
ａ＋ｂ＝１００（ｐ＋ｐ’）＋１０（ｑ＋ｑ’）＋（ｒ＋ｒ’）＝１０００
から、
ｒ＋ｒ’＝１０　　　　（１）
ｑ＋ｑ’＝　９　　　　（２）
ｐ＋ｐ’＝　９　　　　（３）
です。

ここから、ａとｂの桁数で場合分けして調べます。

① ａとｂがともに３桁の場合
ｐ，ｐ’，ｑ，ｑ’，ｒ，ｒ’≠０ です。

このとき（１）、（２）、（３）を満たすｒとｒ’、ｑとｑ’、ｐとｐ’の組とそれらの個数は、それぞれ、
・（ｒ，ｒ’）＝（１，９）、（２，８）、（３，７）、（４，６）、（５，５）、（６，４）、（７，３）、（８，２）、（９，１）→ ９個
・（ｑ，ｑ’）＝（１，８）、（２，７）、（３，６）、（４，５）、（５，４）、（６，３）、（７，２）、（８，１）→ ８個
・（ｐ、ｐ’）＝（１，８）、（２，７）、（３，６）、（４，５）、（５，４）、（６，３）、（７，２）、（８，１）→ ８個
です。

したがって、条件を満たすａとｂの組の個数は、
９×８×８＝５７６（個）
です。

② ａが３桁、ｂが２桁の場合
ｐ＝９、ｐ’＝０、ｑ，ｑ’，ｒ，ｒ’≠０ です。

このとき（１）、（２）、（３）を満たすｒとｒ’、ｑとｑ’、ｐとｐ’の組とそれらの個数は、それぞれ、
・（ｒ，ｒ’）＝（１，９）、（２，８）、（３，７）、（４，６）、（５，５）、（６，４）、（７，３）、（８，２）、（９，１）→ ９個
・（ｑ，ｑ’）＝（１，８）、（２，７）、（３，６）、（４，５）、（５，４）、（６，３）、（７，２）、（８，１）→ ８個
・（ｐ，ｐ’）＝（９，０）→ １個
です。

したがって、条件を満たすａとｂの組の個数は、
９×８×１＝７２（個）
です。

③ ａが３桁、ｂが１桁の場合
ｐ＝９、ｐ’＝０、ｑ＝９、ｑ’＝０、ｒ，ｒ’≠０ です。

このとき（１）、（２）、（３）を満たすｒとｒ’、ｑとｑ’、ｐとｐ’の組とそれらの個数は、それぞれ、
・（ｒ，ｒ’）＝（１，９）、（２，８）、（３，７）、（４，６）、（５，５）、（６，４）、（７，３）、（８，２）、（９，１）→ ９個
・（ｑ，ｑ’）＝（９，０）→ １個
・（ｐ，ｐ’）＝（９，０）→ １個
です。

したがって、条件を満たすａとｂの組の個数は、
９×１×１＝９（個）
です。

④ ａが２桁、ｂが３桁の場合
②のａとｂを入れ替えた場合なので、条件を満たすａとｂの組の個数は、
９×８×１＝７２（個）
です。

⑤ ａが１桁、ｂが３桁の場合
③のａとｂを入れ替えた場合なので、条件を満たすａとｂの組の個数は、
９×１×１＝９（個）
です。

以上から、条件を満たすａとｂの組の個数の合計は、
５７６＋７２＋９＋７２＋９＝ ７３８（個） で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｅｘｐｌａｉｎ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の教科書に、
Ｃａｎ　ｙｏｕ　ｅｘｐｌａｉｎ？
（説明してもらえますか）
という文があります。

この ｅｘｐｌａｉｎ を ウィズダム英和辞典 で引いてみると、その 類義語 ａｃｃｏｕｎｔ　ｆｏｒ、ｄｅｓｃｒｉｂｅ、ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ、ｔｅｌｌ との違いについて、
● ｅｘｐｌａｉｎ
　理由・方法・形・構造・起源・発展などを示して、理解しにくいことをわかりやすく説明すること

● ａｃｃｏｕｎｔ　ｆｏｒ
　ややかたい言葉で、なぜそのような行動・状態に至ったのかに重点をおいて説明すること

● ｄｅｓｃｒｉｂｅ
　聞き手や読み手に明確なイメージを与えることができるように詳細や特徴を描写して説明すること

● ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ
　抽象的で理解しにくい内容に具体例を示してわかりやすく説明すること

● ｔｅｌｌ
　人に伝えることを目標に言葉で説明すること
と説明しています。

さらに 英語語義語源辞典 には、
● ｅｘｐｏｕｎｄ
　やや形式ばった語で、専門知識を持つ人が系統的にかつ完全に説明すること

● ｅｘｐｌｉｃａｔｅ
　より形式ばった語で、詳細な学問的分析に意味の中心がある

● ｅｌｕｃｉｄａｔｅ
　やや形式ばった語で、むずかしいことや不思議なことに光を当てること、説明すること
を挙げています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

組合せの問題（２２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２００７年ＡＩＭＥの組合せの問題です。

問題は、
「６行４列のマス目があり、この２４個のマスのうち１２個のマスに色を塗ることを考える。

ここで、各行の２マスと各列の３マスを着色する塗り方をＮとするとき、Ｎを１０００で割った余りを求めよ。」
です。

図１のように、１行４列のマス目の色の塗り方をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆとし、これらの６個の並べ方を勘定します。

▲図１．１行４列のマス目の色の塗り方をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆとしました

① Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆをそれぞれ１個選ぶ場合
例えば図２のよう並べるとき、各行の２マスと各列の３マスに色が塗られ、これは条件を満たします。

▲図２．Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆをそれぞれ１個選んだ例です

このとき、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆの順番は任意なので、①の並べ方は、
６！＝６×５×４×３×２×１＝７２０（通り）
です。

② Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆのうち同じものを２個を選ぶ場合
例えば図３のように並べるとき、各行の２マスと各列の３マスに色が塗られ、これは条件を満たします。

▲図３．Ａを２個選んだ例です

このとき、Ａ、Ｂ、Ｃのいずれかを２個選ぶとそれぞれに対してＦ、Ｅ、Ｄが２個選ばれ、それらのそれぞれの組に対して残りの選び方が２通りになります。

したがって、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆから６個選んだもののなかに同じものが２個ある選び方は、

です。

さらに、６個のうち同じものが２個ずつ２種類ある並べ方は、

なので、②の並べ方は、
６×１８０＝１０８０（通り）
です。

③ Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆのうち同じものを３個選ぶ場合
例えば図４のように並べるとき、各行の２マスと各列の３マスに色が塗られ、これは条件を満たします。

▲図４．Ａを３個選んだ例です

このとき、Ａ、Ｂ、Ｃのうちいずれかを３個選ぶとそれぞれに対してＦ、Ｅ、Ｄが３個選ばれます。

したがって、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆから６個選んだもののなかに同じものが３個ある選び方は、

です。

さらに、６個のうち同じものが３個ずつ２種類ある並べ方は、

なので、③の並べ方は、、
３×２０＝６０（通り）
です。

以上から、すべての選び方は、
７２０＋１０８０＋６０＝１８６０（通り）
になり、これを１０００で割った余りは ８６０ で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｓｍｅｌｌ のはなし（１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の教科書に、
Ｉｔ　ｓｍｅｌｌｓ　ｇｒｅａｔ．
（とてもいい匂いがする）
という文があります。

この「いい匂いがする」について、「日本人の９割が間違える英語表現１００」（キャサリン・Ａ・クラフト著）に、
● 名詞の ｓｍｅｌｌ は「悪臭」の意味で用いることが多いので、ネイティブ は、
× Ｉｔ　ｉｓ　ｇｏｏｄ　ｓｍｅｌｌ．
とは言わず、教科書の文のように、 ｓｍｅｌｌ を 動詞 として使って、
　Ｉｔ　ｓｍｅｌｌｓ　ｇｏｏｄ．
する
と解説しています。

さらに、
　Ｔｈｅ　ｒｏｏｍ　ｓｍｅｌｌｓ．
　（部屋が臭い）
　Ｔｈｅ　ｄｏｇ　ｓｍｅｌｌｓ．
　（この犬、臭い）
のように、〈主語＋ｓｍｅｌｌ（ｓ）．〉と 動詞 の後に 形容詞 や 名詞 を置かない形は「嫌な匂いがする」の意味になると記しています。

頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

図形問題（５９）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１０年ＡＩＭＥの図形問題です。

問題は、
「正六角形ＡＢＣＤＥＦの６つの辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＥ、ＥＦ、ＦＡの中点をそれぞれＧ、Ｈ、Ｉ、Ｊ、Ｋ、Ｌとし、ＡとＨ、ＢとＩ、ＣとＪ、ＤとＫ、ＥとＬ、ＦとＧを直線で結び、正六角形ＡＢＣＤＥＦより小さい正六角形をつくる。この小さい正六角形の面積が正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積の

のとき、ｍ＋ｎの値を求めよ。ただし、ｍとｎは互いに素な整数とする。」
です。

図１に問題の図を描きました。

▲図１．問題の図を描きました

ここでは、正六角形ＡＢＣＤＥＦと小さい正六角形の辺の比を求めて、両者の面積比を計算することにしましょう。

そこで図２のように、正六角形ＡＢＣＤＥＦの左下部分に注目します。

▲図２．正六角形ＡＢＣＤＥＦの左下部分に注目します

ここから、正六角形ＡＢＣＤＥＦの辺ＢＣの長さを２ａとし、小さい正六角形の辺ＭＮをａを使って表します。

直線ＣＤにＢから下した垂線の足をＰとすると、∠ＢＣＰ＝１８０°－∠ＢＣＤ＝１８０°－１２０°＝６０°なので、△ＢＣＰはその内角が９０°、６０°、３０°の直角三角形になり、このときＢＣ＝２ａから

です。

ここで直角三角形ＢＩＰに三平方の定理を適用すると、

が成り立ち、これに、

を代入して整理すると、

です。

次に△ＢＣＩ∽△ＢＭＨ（∠ＢＣＩ＝∠ＢＭＨ＝１２０°、∠Ｂ共通）から

が成り立ち、これに、

を代入して整理すると、

です。

このとき、△ＢＭＨ≡△ＣＮＩ（ＢＨ＝ＣＩ、△ＢＣＩ≡△ＣＤＪ≡△ＡＢＨ→ ∠Ｂ＝∠Ｃ、∠ＢＨＭ＝∠ＣＩＮ）から

で、したがって、

と、小さい正六角形の辺の長さをａを使って表すことができました。

後は、相似図形の面積比は相似比の２乗になることを利用して、

から、ｍ＝４、ｎ＝７ → ｍ＋ｎ＝4＋7＝ １１ で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｎｏｓｅ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１教科書の「体（ｂｏｄｙ）」に関する Ｗｏｒｄ　Ｂａｎｋ に、
ｎｏｓｅ
（鼻）
という語があります。

この ｎｏｓｅ を ウィズダム英和辞典 で引いてみると、日本と欧米との違い について、
● 欧米 では鼻は 大小（ｂｉｇ、ｌａｒｇｅ / ｌｉｔｔｌｅ、ｓｍａｌｌ）、 長短（ｌｏｎｇ / ｓｈｏｒｔ）で区別する。日本語 のように × ａ　ｈｉｇｈ/ ｌｏｗ ～ としない。日本語でいう 高低 は ｌｏｎｇ / ｓｈｏｒｔ に相当するが、元来 欧米人は鼻が高い ので、ａ　ｌｏｎｇ　ｎｏｓｅ はむしろ マイナスのイメージを伴う
と解説しています。

ちなみに、
（１）「鼻の孔」は 、ｎｏｓｔｒｉｌ （ × ｈｏｌｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｎｏｓｅ でない）
（２）「犬・馬の鼻」は、ｍｕｚｚｌｅ
　　　「豚の鼻」は、ｓｎｏｕｔ
　　　「象の鼻」は、 ｔｒｕｎｋ
というそうです。

▲象の鼻は ｔｒｕｎｋ です

頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

数式の問題（２８）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２００６年ＡＩＭＥの無理方程式の問題です。

問題は、
「
　
を満たす実数ｘ、ｙ、ｚについて、

とするとき、ｍ＋ｎの値を求めよ。ただし、ｍとｎは正の整数で、ｎは素数の平方数で割り切れないものとする。」
です。

与えられた等式を

とします。

これらを眺めると、（平方根の値）≧０からｘ、ｙ、ｚ≧０と、（１）（２）（３）の式が同じような形をしていることに気が付きます。

そこで、（１）（２）（３）の式を一般化して、

を調べることにしましょう。

（４）を

のように変形し、（５）のａ、ｂ、ｃ、ｈを

とすると、（１）（２）（３）はそれぞれ、

になります。

このとき、これらの３式の右辺が等しいことから、

になります。（ｋは実数です）

ここで、（７）を（６）に代入すると、

になり、これとｘ、ｙ、ｚ≧０から

です。

したがって、

になり、ｍ＝２、ｎ＝７ から ｍ＋ｎ＝ ９ で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｆｒａｇｉｌｅ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の教科書に、
Ｔｈｅ　ｎａｔｕｒａｌ　ｂｅａｕｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｏｇａｓａｗａｒａ　Ｉｓｌａｎｄｓ　ｉｓ　ｆｒａｇｉｌｅ．
（小笠原諸島の自然の美しさは簡単に壊れてしまいます）
という文があります。

この ｆｒａｇｉｌｅ は、 ウィズダム英和辞典 によると、
１．〈物・事が〉壊れやすい、割れやすい、もろい
２．〈状態などが〉脆弱な；不安定な、はかない
３．〈体質などが〉虚弱な、病弱な
以下略
などの意で、日常生活のなかでは、小包などに、
　Ｆｒａｇｉｌｅ－Ｈａｎｄｌｅ　ｗｉｔｈ　Ｃａｒｅ
（壊れ物につき取り扱い注意）
などと書かれたシールが貼ってあるのを見かけることもあります。

ちなみに、他の貼り札には、
・ 天地無用 　： ＴＨＩＳ　ＳＩＤＥ　ＵＰ
・ 水ぬれ注意 ： ＮＯ　ＷＥＴ、　ＫＥＥＰ　ＤＲＹ
・ 上積み厳禁 ： ＤＯ　ＮＯＴ　ＳＴＡＣＫ
・ 落下厳禁　 ： ＤＯ　ＮＯＴ　ＤＲＯＰ
などがあります。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

整数問題（６２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２００８年ＡＩＭＥの整数問題です。

問題は、
「次の条件を満たすｎで最大のものを求めよ。
〈１〉

は連続する２つの立方数の差で表せる
〈２〉２ｎ＋７９ は平方数である」
です。

〈１〉と〈２〉の条件は、ｍとｌを整数として、

と表せます。

ここで（１）を

と変形します。

このとき、
（２ｎ＋１）÷（２ｎ－１）＝１・・・２
（２ｎ－１）÷２＝ｎ－１・・・１
から、２ｎ＋１と２ｎ－１は互いに素です。

そこで、２ｍ＋１＝ｐｑ（ｐとｑは互いに素な整数）とすると、（３）から

で、したがって、

のいずれかになります。

ところが①のとき、２式の辺々の差をとると、

で、このとき、ｑ＝３ｋ、３ｋ±１の場合を調べると、

になりますが、これらはいずれの場合も成り立たないので（左辺が３で割って余りが０または１に対して、右辺は余りが１です）、したがって、

になります。

そこで（２）と②の上式の辺々の差をとると、

になり、これを満たす ｌ－ｐとｌ＋ｐの組（ｌ－ｐ，ｌ＋ｐ）は、
（±８０，±１）、（±４０，±２）、（±２０，±４）、（±１６，±５）、（±１０，±８）、（±８，±１０）、（±５，±１６）、（±４，±２０）、（±２，±４０）、（±１、±８０）[複号同順]
で、これらからｌとｐの組（ｌ，ｐ）でｌ、ｐが整数になるものは、
（２１，－１９）、（－２１，１９）、（１２，－８）、（－１２，８）、（９，－１）、（－９，１）
になります。

最後に、（２）から

が最大になるときｎが最大になるので、

です。

以上から、〈１〉と〈２〉を満たすｎで最大のものは １８１ で、これが答えです。


簡単な問題です。

Ａｕｓｓｉｅ ｆｏｏｔｂａｌｌ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の教科書に、オーストラリア出身の Ｅｍｍａ さんがオーストラリアを紹介する記事があって、そのなかで
Ａｕｓｓｉｅ　ｆｏｏｔｂａｌｌ
を挙げています。

この Ａｕｓｓｉｅ　ｆｏｏｔｂａｌｌ は、
・Ａｕｓｓｉｅ　Ｒｕｌｅｓ　ｆｏｏｔｂａｌｌ
・Ａｕｓｔｒａｌｉａｎ　Ｒｕｌｅｓ　ｆｏｏｔｂａｌｌ
・Ａｕｓｔｒａｌｉａｎ　Ｒｕｌｅｓ
ともいい、これを ロングマン英英辞典 で調べてみると、
● ａ　ｇａｍｅ　ｐｌａｙｅｄ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｗｏ　ｔｅａｍｓ　ｏｆ　１８ ｐｌａｙｅｒｓ　ｏｎ　ａｎ　ｏｖａｌ　ｆｉｅｌｄ　ｗｉｔｈ　ａｎ　ｏｖａｌ　ｂａｌｌ　ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｐａｓｓｅｄ　ｂｙ　ｋｉｃｋｉｎｇ　ｏｒ　ｓｔｒｉｋｉｎｇ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｈａｎｄ， ｔｈｅ　ａｉｍ　ｂｅｉｎｇ　ｔｏ　ｇｅｔ　ｐｏｉｎｔｓ　ｂｙ　ｐｕｔｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｂａｌｌ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ａ　ｓｅｔ　ｏｆ　ｆｏｕｒ　ｐｏｓｔｓ　ａｔ　ｅｉｔｈｅｒ　ｅｎｄ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｉｅｌｄ．　Ｔｈｅ　ｉｎｆｏｒｍａｌ　ｎａｍｅ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｇａｍｅ　ｉｓ　Ａｕｓｓｉｅ　Ｒｕｌｅｓ．
（楕円形のフィールドで楕円形のボールを使い、１チーム１８人で競われるゲーム。蹴るか手でたたいてボールをパスし、フィールドの両端に建てられた４本の柱の間にボールを置いて得点することを目指す。くだけた言い方では Ａｕｓｓｉｅ　Ｒｕｌｅｓ とも呼ばれる）
と解説しています。

ちなみに、
「楕円形のフィールド」→クリケット競技場
「手でたたいてボールをパスする」→片手に持ったボールを拳を固めた他方の手でたたいてボールをパスする
ということだそうです。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

確率の問題（１２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２００８年ＡＩＭＥの確率の問題です。

問題は、
「辺の長さが３フィート、４フィート、６フィートの同じ形をした１０個の箱を、その向きを無作為に積み上げる。ここで、積み上げられた箱の高さがちょうど４１フィートになる確率を既約分数

で表すとき、ｍの値を求めよ。」
です。

高さが３、４、６フィートになる向きに積まれる箱の個数をそれぞれｘ、ｙ、ｚ個とすると、
ｘ＋ｙ＋ｚ＝１０　　　　　（１）
３ｘ＋４ｙ＋６ｚ＝４１　　（２）
０≦ｘ，ｙ≦１０　　　　　　
０≦ｚ≦６　　　　　　　　　
が成り立ちます。

ここで（１）から、
ｘ＝１０－ｙ－ｚ
とし、これを（２）に代入して整理すると、
３（１０－ｙ－ｚ）＋４ｙ＋６ｚ＝４１
→ ３０－３ｙ－３ｚ＋４ｙ＋６ｚ＝４１
→ ｙ＋３ｚ＝１１
になり、これを満たすｙ、ｚの組（ｙ，ｚ）は、（２，３）、（５，２）、（８，１）です。

すると、条件を満たすｘ，ｙ，ｚの組（ｘ，ｙ，ｚ）は、
（５，２，３）、（３，５，２）、（１，８，１）　　　（★）
になります。

次に（★）のそれぞれの場合の積み上げる順列の数を計算すると、
① （５，２，３）の場合


② （３，５，２）の場合


③ （１，８，１）の場合

になり、これらの合計は、

です。

一方、１０個の箱の積み上げ方は、

なので、１０個の箱を積み上げてその高さが４１フィートになる確率は、

です。

したがって、ｍ＝ １９０ で、これが答えです。


簡単な問題です。