こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、2021年日本数学オリンピック予選の問題で、これが最後の記事になります。
問題は、
「三角形ABCの辺AB、AC上にそれぞれ点D、Eがあり、4点D、B、C、Eは同一円周上にある。また、四角形DBCEの内部に点Pがあり、
∠BDP=∠BPC=∠PECをみたしている。
AB=9、AC=11、DP=1、EP=3のとき、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/20/87/e92ca50df258e15327f25579e0c29aaf.jpg)
の値を求めよ。
ただし、XYで線分XYの長さを表すものとする。」
です。
図1に問題の図を描きました。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/1f/23/25ac2ee85f9c14418f6cd9af544efc53.jpg)
▲図1.問題の図を描きました
図2のように、直線DPと直線ACの交点をQ、四角形DBCEの外接円の交点でDでない方をSとし、直線EPと直線ABの交点をR、四角形DBCEの外接円の交点でEでない方をTとすると、仮定と円周角の定理から、
∠BDS=∠BPC>∠BDC
→ 弧BS>弧BC
になり、SはBがない方の弧CE上の点で、したがって、Qは線分CE上にあります。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/4f/04/876419b40b449f6c3a6a950373ed6e1f.jpg)
▲図2.Qは線分CE上の点で、Rは線分BD上の点です
同様に、
∠CET=∠CPB>∠CEB
→ 弧CT>弧BC
になり、TはCがない方の弧BT上の点で、したがって、Rは線分BD上にあります。
そこで、△BDPに注目すると、三角形の2つの内角と外角の関係から、
∠BPQ=∠DBP+∠BDP
が成り立ち、このとき、
∠BPQ=∠CPQ+∠BPC=∠CPQ+∠BDP
から
∠DBP=∠CPQ
で、一方、△CEPに注目すると、
∠CPR=∠ECQ+∠CEP
が成り立ち、このとき、
∠CPR=∠BPR+∠BPC=∠BPR+∠CEP
から
∠ECQ=∠BPR
になり、したがって、△BPR∽△PCQです。
また図3のように、∠PDR=∠PEQ(仮定)、∠DPR=∠EPQ(対頂角)から
△DPR∽△EPQ
になり、このとき、DP=1、EP=3から
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/07/39/0a1016aa02ade256d70538138c0fc5c9.jpg)
です。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/4f/5f/7b99b614dc8c8e9f27bd97063a038d7c.jpg)
ここで、四角形DBCEの外接円と線分AB、ACに方べきの定理を適用すると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/39/f2/8a37a9e2f7801bbaaa430f2edc680da7.jpg)
が成り立ちます。
また、∠QDR=∠QERで、このとき円周角の定理の逆から、図4のように、D、R、Q、Eは同一円周上にあり、この円と線分AR、AQに方べきの定理を適用すると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/35/4f/f1a8f95f6f833ef9fef96e0825710bbd.jpg)
が成り立ちます。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/13/0b/5560e911fbd9bbc86ca2a737e734852d.jpg)
▲図4.AD・AR=AE・AQです
そこで、(3)を(2)で除して整理すると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/38/96/0e7c56e38780beee6b0930634cff758f.jpg)
です。
このとき△BPR∽△PCQから、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/65/93/6a85790be7c373c02135b601cfd2de84.jpg)
が成り立ち、ここで、右側の等式に(1)と(4)を代入して整理すると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/19/e0/4e68b92c645605649c9faf591ade484e.jpg)
になり、これと(5)の左側の等式から、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/09/f1/bd3977e4cdef838aab668a10988ecff5.jpg)
で、これが答えです。
このブログを始めてから8年になります。ご覧くださった皆様に感謝します。ありがとうございました。
今回は、2021年日本数学オリンピック予選の問題で、これが最後の記事になります。
問題は、
「三角形ABCの辺AB、AC上にそれぞれ点D、Eがあり、4点D、B、C、Eは同一円周上にある。また、四角形DBCEの内部に点Pがあり、
∠BDP=∠BPC=∠PECをみたしている。
AB=9、AC=11、DP=1、EP=3のとき、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/20/87/e92ca50df258e15327f25579e0c29aaf.jpg)
の値を求めよ。
ただし、XYで線分XYの長さを表すものとする。」
です。
図1に問題の図を描きました。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/1f/23/25ac2ee85f9c14418f6cd9af544efc53.jpg)
▲図1.問題の図を描きました
図2のように、直線DPと直線ACの交点をQ、四角形DBCEの外接円の交点でDでない方をSとし、直線EPと直線ABの交点をR、四角形DBCEの外接円の交点でEでない方をTとすると、仮定と円周角の定理から、
∠BDS=∠BPC>∠BDC
→ 弧BS>弧BC
になり、SはBがない方の弧CE上の点で、したがって、Qは線分CE上にあります。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/4f/04/876419b40b449f6c3a6a950373ed6e1f.jpg)
▲図2.Qは線分CE上の点で、Rは線分BD上の点です
同様に、
∠CET=∠CPB>∠CEB
→ 弧CT>弧BC
になり、TはCがない方の弧BT上の点で、したがって、Rは線分BD上にあります。
そこで、△BDPに注目すると、三角形の2つの内角と外角の関係から、
∠BPQ=∠DBP+∠BDP
が成り立ち、このとき、
∠BPQ=∠CPQ+∠BPC=∠CPQ+∠BDP
から
∠DBP=∠CPQ
で、一方、△CEPに注目すると、
∠CPR=∠ECQ+∠CEP
が成り立ち、このとき、
∠CPR=∠BPR+∠BPC=∠BPR+∠CEP
から
∠ECQ=∠BPR
になり、したがって、△BPR∽△PCQです。
また図3のように、∠PDR=∠PEQ(仮定)、∠DPR=∠EPQ(対頂角)から
△DPR∽△EPQ
になり、このとき、DP=1、EP=3から
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/07/39/0a1016aa02ade256d70538138c0fc5c9.jpg)
です。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/4f/5f/7b99b614dc8c8e9f27bd97063a038d7c.jpg)
ここで、四角形DBCEの外接円と線分AB、ACに方べきの定理を適用すると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/39/f2/8a37a9e2f7801bbaaa430f2edc680da7.jpg)
が成り立ちます。
また、∠QDR=∠QERで、このとき円周角の定理の逆から、図4のように、D、R、Q、Eは同一円周上にあり、この円と線分AR、AQに方べきの定理を適用すると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/35/4f/f1a8f95f6f833ef9fef96e0825710bbd.jpg)
が成り立ちます。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/13/0b/5560e911fbd9bbc86ca2a737e734852d.jpg)
▲図4.AD・AR=AE・AQです
そこで、(3)を(2)で除して整理すると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/38/96/0e7c56e38780beee6b0930634cff758f.jpg)
です。
このとき△BPR∽△PCQから、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/65/93/6a85790be7c373c02135b601cfd2de84.jpg)
が成り立ち、ここで、右側の等式に(1)と(4)を代入して整理すると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/19/e0/4e68b92c645605649c9faf591ade484e.jpg)
になり、これと(5)の左側の等式から、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/09/f1/bd3977e4cdef838aab668a10988ecff5.jpg)
で、これが答えです。
このブログを始めてから8年になります。ご覧くださった皆様に感謝します。ありがとうございました。