ｆｒｏｍ Ａ ｔｏ Ｂ のはなし（続き）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

先日、「ｆｒｏｍ Ａ ｔｏ Ｂ」（ｆｒｏｍ Ａ ｔｏ Ｂ）を取り上げましたが、その語順や省略について 現代英語語法辞典 に次のような記述がありました。

語順については、一般的に、
Ｉｔ’ｓ　ａｂｏｕｔ　ｔｗｏ　ｋｉｌｏｍｅｔｅｒｓ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ａｉｒｐｏｒｔ　ｔｏ　ｙｏｕｒ　ｈｏｔｅｌ．
（空港からホテルまでおよそ２キロです）
のように、 ｆｒｏｍ Ａ が 前 で ｔｏ Ｂ が 後 になりますが、Ａ が 新情報 （聞き手がまだ知らない情報）の場合は、 ｔｏ Ｂ ｆｒｏｍ Ａ の語順も可能となるとし、例文として、
Ｔｈｅ　ｆｉｒｓｔ　ｓｈｅｅｔ　ｗａｓ　ａ　ｌｅｔｔｅｒ　ｔｏ　ｈｉｍ　ｆｒｏｍ　Ｔｒｏｙ．
（最初の紙はトロイから彼への手紙だった）
を挙げています。

また、 ｆｒｏｍ （数字） ｔｏ （数字） の場合の ｆｒｏｍ の省略については、
（１） ｏｆ や ｗｉｔｈ などの前置詞の後
（２）　ある種の動詞の後
に省略可能として、（１）の用例に、、
ａｔ　ａ　ｃｏｓｔ　ｏｆ　（ｆｒｏｍ）￡５　ｔｏ　￡１０
（５ポンドから１０ポンドの値段で）

ｍｅｎ　ｗｉｔｈ　（ｆｒｏｍ）　ｔｈｒｅｅ　ｔｏ　ｓｉｘ　ｙｅａｒ’ｓ　ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅ
（３年から６年の経験のある人たち）
を、（２）の用例に、
Ｉｔ　ｃｏｓｔ　（ｆｒｏｍ）　￡５　ｔｏ　￡１０．
（５ポンドから１０ポンドかかった）

Ｈｅ　ｓｐｅｎｔ　（ｆｒｏｍ）　ｔｈｒｅｅ　ｔｏ　ｓｉｘ　ｙｅａｒｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｐｒｏｊｅｃｔ．
（彼はそのプロジェクトに３年から６年費やした）
を挙げています。

さらに、 ｎｉｎｅ　ｔｏ　ｆｉｖｅ（９時から５時まで）や Ａ　ｔｏ　Ｂ（初めから終わりまで）などの表現も可能としています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

日本数学オリンピックの簡単な問題（１４６）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「三角形ＡＢＣの内接円が辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢとそれぞれ点Ｐ、Ｑ、Ｒで、∠Ａ内の傍接円が辺ＢＣ、直線ＣＡ，ＡＢとそれぞれ点Ｓ、Ｔ、Ｕで接している。三角形ＡＢＣの内心を Ｉ 、直線ＰＱと直線ＳＴの交点をＤ、直線ＰＲと直線ＳＵの交点をＥとする。ＡＩ＝３、ＩＰ＝１、ＰＳ＝２のとき、線分ＤＥの長さを求めよ。
　ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。また、三角形ＡＢＣの∠Ａ内の傍接円とは、辺ＢＣ、辺ＡＢの点Ｂ側への延長線、および辺ＡＣの点Ｃ側への延長線に接する円のことをさす。」
です。

早速図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

図１を眺めると、多くの二等辺三角形や平行線、直交する直線が目につくので、角度に注目して進めてみましょう。

そこで図２のように、Ａ、Ｂ、Ｃと Ｉ をそれぞれ結び、１/２∠Ａ＝●、１/２∠Ｂ＝●、１/２∠Ｃ＝●とします。

▲図２．１/２∠Ａ＝●、１/２∠Ｂ＝●、１/２∠Ｃ＝●としました

まず、１/２∠Ｂ＝●を調べていきましょう。

図３のように、∠ＡＢＣ＝∠ＢＵＳ＋∠ＢＳＵで、さらに△ＢＵＳは二等辺三角形で∠ＢＵＳ＝∠ＢＳＵですから、∠ＢＵＳ＝∠ＢＳＵ＝●です。

▲図３．１/２∠Ｂ＝●を調べていきます

すると、∠ＡＢＩ＝∠ＢＵＳ＝∠ＢＵＥですから、ＢＩ//ＵＥです。

一方、△ＢＰＲは二等辺三角形で、∠Ｂの二等分線ＢＩはＰＲと直交するので、ＢＩ//ＵＥから∠ＳＥＰ＝９０°です。

また、対頂角は等しいので、∠ＢＳＵ＝∠ＰＳＥが成り立ちます。

同様に、１/２∠Ｃ＝●を調べていきましょう。

図４のように、∠ＡＣＢ＝＝∠ＣＴＳ＋∠ＣＳＴで、さらに△ＣＴＳは二等辺三角形で∠ＣＴＳ＝∠ＣＳＴですから、∠ＣＴＳ＝∠ＣＳＴ＝●です。

▲図４．１/２∠Ｃ＝●を調べていきます

すると、∠ＡＣＩ＝∠ＡＴＳですから、ＣＩ//ＴＳです。

一方、△ＣＰＱは二等辺三角形で、∠Ｃの二等分線ＣＩはＰＱと直交するので、ＣＩ//ＴＳから∠ＰＤＳ＝９０°です。

ここまでで、四角形ＰＤＳＥについていろいろなことが判りました。

まず、対角（∠ＳＥＰと∠ＰＤＳ）がそれぞれ９０°なので、四角形ＰＤＳＥは円に内接し、その直径（ＰＳ）は２です。

さらに、一つの内角ＤＳＥの大きさは、●＋●です。

そこで、●＋●となる角を探してみると、図５のように、∠ＡＩＱ＝●＋●であることが容易に見つかります。

▲図５．∠ＡＩＱ＝●＋●です

ここで△ＡＩＱに三平方の定理を適用すると、ＡＩ＝３、ＩＱ＝ＩＰ＝１ですから、ＡＱ＝２√２です。

一方、図６のように、四角形ＰＤＳＥに注目し、Ｄと内接円の中心を通る直線と内接円の交点でＤでない方をＦとすると、∠ＤＳＥと∠ＤＦＥは円弧ＤＰＥに対する円周角なので、∠ＤＳＥ＝∠ＤＦＥ＝●＋●です。

▲図６．四角形ＰＤＳＥに注目します

すると、△ＤＥＦ∽△ＡＱＩで、ＤＦ＝２ですから、ＤＥ＝ＤＦ×ＡＱ/ＡＩ＝２×２√２/３＝ ４√２/３ で、これが答えです。


楽しい問題です。

ｎｏ ｍａｔｔｅｒ ｗｈａｔ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の英語教科書の付録にある ｆｕｒｔｈｅｒ　Ｒｅａｄｉｎｇ には結構難しい言葉が出てきます。

ｎｏ　ｍａｔｔｅｒ　ｗｈａｔ もその一つで、
Ｉ’ｌｌ　ｃａｔｃｈ　ｈｉｍ　ｎｏ　ｍａｔｔｅｒ　ｗｈａｔ．
（何が何でもあいつを捕まえてやる）
というように使われています。

この ｎｏ　ｍａｔｔｅｒ を オックスフォード実例現代英語用法辞典 で調べてみると、
「 ｗｈｏ、ｗｈｏｓｅ、ｗｈａｔ、ｗｈｉｃｈ、ｗｈｅｒｅ、ｗｈｅｎ、ｈｏｗ と一緒に用いることができるが、この場合は接続詞として節をつなぐ役割を果たし、その意味はは、だいたい 『誰/何/・・・であろうと』 となる」 とあり、例文として、
Ｉ’ｌｌ　ｌｏｖｅ　ｙｏｕ　ｎｏ　ｍａｔｔｅｒ　ｗｈａｔ　ｙｏｕ　ｄｏ．
（たとえ君が何をしようとも、僕の君に対する愛は変わらない）
Ｎｏ　ｍａｔｔｅｒ　ｗｈｅｒｅ　ｙｏｕ　ｇｏ， ｙｏｕ’ｌｌ　ｆｉｎｄ　Ｃｏｃａ-Ｃｏｌａ．（どこへ行っても、コカコーラは見つかるよ）
などが挙げてあります。

さらに、
「ｎｏ　ｍａｔｔｅｒ　ｗｈａｔ などの表現は、節の終わりに用いられ、動詞を伴わないこともある」 として、例文として、
Ｉ’ｌｌ　ａｌｗａｙｓ　ｌｏｖｅ　ｙｏｕ， ｎｏ　ｍａｔｔｅｒ　ｗｈａｔ．　
（どんなことがあっても、私のあなたに対する愛は変わらない）
を挙げていて、これは、
Ｉ’ｌｌ　ａｌｗａｙｓ　ｌｏｖｅ　ｙｏｕ， ｎｏ　ｍａｔｔｅｒ　ｗｈａｔ　ｈａｐｐｅｎｓ．
と同じとしています。

つまり、教科書の英文は、
Ｉ’ｌｌ　ｃａｔｃｈ　ｈｉｍ　ｎｏ　ｍａｔｔｅｒ　ｗｈａｔ　ｈａｐｐｅｎｓ．
で、動詞 ｈａｐｐｅｎｓ を省略した表現ということです。


頭に入れておくといいかもしれません。

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（１４５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年ジュニア数学オリンピック予選に出題された約数の問題を取り上げます。

問題は、
「次の条件をみたす正の整数の組（ａ，ｂ）すべてについて ａｂ を足し合わせたものを計算せよ。

　条件： ａ は ｂ の約数であり、ｂ は３６０の約数である。　」
です。

早速、取り掛かりましょう。

ｂ は３６０の約数なので、１、２、３、４、５、６、８、９、１０、１２、１５、１８、２０、２４、３０、３６、４０、４５、６０、７２、９０、１２０、１８０、３６０です。

一方、ａ は ｂ の約数なので、例えば、ｂ＝３６０の場合、ａ は上記した２４個の整数になり、このときの ａｂ の和は、３６０と３６０の約数の和の積になります。

つまり、求める ａｂ の和は、上記した２４個の整数それぞれについて、その整数と、その整数の約数の和の積を足し合わせたものになります。

すると約数の和の計算ということになりますが、それは、Ｎを素因数分解したものが、

と表される場合、Ｎのすべての約数の和は、

になることを利用すれば簡単です。

それでは問題の計算に取り掛かりましょう。


ですから、その２４個の約数は、

で、それぞれの約数の和は、

になります。

したがって、問題の条件を満たす（ａ，ｂ）すべてについて ａｂ を足し合わせたものは、

を、ｋ＝０，１，２，３、ｌ＝０，１，２、ｍ＝０，１ のすべての場合について足し合わせたものになります。

そこで（★）を整理して、

とします。

まず、ｍ＝０と１の場合を計算し、それらの和を求めると、

になります。

次に、ｌ＝０、１と２の場合を計算し、それらの和を求めると、

になります。

最後に、ｋ＝０、１、２と３の場合を計算し、それらの和を求めると、

になります。

以上から、問題の条件を満たす（ａ，ｂ）すべてについて ａｂ を足し合わせたものは ６２４６５０ で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｌｏｏｋ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中学の英語教科書には数多くの動詞が登場しますが、そのなかで ｌｏｏｋ は、他の単語を組み合わされて様々な意味を表す動詞の一つです。

例えば、中１の教科書には、
●　ｌｏｏｋ　ａｔ Ａ　　「Ａを見る」
Ｌｏｏｋ　ａｔ　ｔｈｉｓ　ｆｌｏｗｅｒ．
（この花を見て）

●　ｌｏｏｋ　ｆｏｒｗａｒｄ　ｔｏ Ａ　　「Ａを楽しみに待つ」
Ｉ　ｌｏｏｋ　ｆｏｒｗａｒｄ　ｔｏ　ｙｏｕｒ　ｅ－ｍａｉｌ．
（私はあなたのメールを楽しみにしています）
などがあり、中２の教科書には、
●　ｌｏｏｋ　ｌｉｋｅ Ａ　　「Ａのように見える」
Ｉｔ　ｌｏｏｋｓ　ｌｉｋｅ　ａ　ｍｏｕｎｔａｉｎ，ｂｕｔ・・・
（それは山のように見えるが、・・・）

●　ｌｏｏｋ　ｆｏｒ Ａ　　「Ａを探す」
Ｗｈｅｎ　Ｐｅｔｅｒ　ｗａｓ　ｌｏｏｋｉｎｇ　ｆｏｒ　ｐａｒｓｌｅｙ，・・・・（ピーターがパセリを探していたとき、・・・）
を見つけることができます。

さらに、これらの４つ以外にも
●　ｌｏｏｋ　ａｆｔｅｒ Ａ　　「Ａの世話をする」
●　ｌｏｏｋ　ｂａｃｋ　　　　 「過去を振り返る」
●　ｌｏｏｋ　ｉｎｔｏ Ａ　　　「Ａの調査をする」
●　ｌｏｏｋ　ｏｎ　　　　　　 「傍観する」
●　ｌｏｏｋ　ｕｐ　ｔｏ Ａ　　「Ａを尊敬する」　⇔　ｌｏｏｋ　ｄｏｗｎ　ｏｎ Ａ　　「Ａを軽蔑する」
など頻出の句動詞があります。


辞書でいろいろ調べてみるとよいでしょう。

平成３０年度都立高校入試問題（４）［西高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は平成３０年度都立高校数学入試問題を取り上げます。

問題は、西高で出題された大問４の図形問題で、それは、
「図１で、四角形ＯＡＢＣは１辺の長さが６ｃｍの正方形である。

▲図１．問題図（１）

次の各問に答えよ。

［問１］　図２は、図１において、辺ＯＡの中点をＤ、辺ＡＢの中点をＥとし、頂点Ｃと点Ｄ、頂点Ｃと点Ｅ、点Ｄと点Ｅをそれぞれ点線で結んだ場合を表している。
　四角形ＯＡＢＣを、３つの頂点Ｏ、Ａ、Ｂが重なるように、線分ＣＤ、線分ＤＥ、線分ＥＣで折り、三角すいを作る。
　この三角すいの体積は何ｃｍ3か。

▲図２．問題図（２）

［問２］　図３は、図１において、辺ＢＣの中点をＦとし、頂点Ａが点Ｆと重なるように１回だけこの四角形ＯＡＢＣを折り、できた折り目を線分ＧＨとし、頂点Ｏが移動した点を Ｉ とした場合を表している。

▲図３．問題図（３）

　また、図４は、図３において折った部分を元に戻し、頂点Ｏを原点とし、頂点Ａの座標が（６，０）、頂点Ｃの座標が（０，６）となるように座標軸を定めた場合を表している。
　このとき、点 Ｉ の座標を求めよ。

▲図４．問題図（４）

［問３］　図１において、次の 規則 に従って辺ＯＡ上を動く点Ｐと辺ＯＣ上を動く点Ｑを考える。

規則
・ 点Ｐは頂点Ｏを出発し、Ｏ→Ａの方向に毎秒１．５ｃｍの速さで動き、頂点Ａに到着したら２秒間停止した後、頂点Ａを出発し、Ａ→Ｏの方向に毎秒１．５ｃｍの速さで動き、頂点Ｏで止まる。以後動かない。

・ 点Ｑは頂点Ｏを出発し、Ｏ→Ｃの方向に毎秒１ｃｍの速さで動き、頂点Ｃで止まる。以後動かない。

・ 点Ｐと点Ｑは頂点Ｏを同時に出発する。

　図５は、上の規則に従って点Ｐと点Ｑをとり、四角形ＯＡＢＣを線分ＰＱを折り目として折り、頂点Ｏが移動した点をＲとした場合を表している。

▲図５．問題図（５）

　△ＰＱＲの面積をＳｃｍ2とするとき、Ｓ＝６となるのは、点Ｐと点Ｑが頂点Ｏを同時に出発してから何秒後と何秒後か。
　ただし、点Ｐが頂点Ｏにあるときは、Ｓ＝０とする。
　また、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、途中の式や計算なども書け。」
です。

まず［問１］です。

図２の点線で折ると、図６のような三角錐ができます。

▲図６．図２の点線で折ったときにできる三角錐です

この三角錐の底面は、直角二等辺三角形ＡＤＥで、その面積は、
３×３×１/２＝９/２（ｃｍ2）
です。

また、三角錐の高さＯＣは６ｃｍなので、三角錐の体積は、
９/２×６×１/３＝ ９（ｃｍ3）
で、これが答えです。

次に［問２］です。

直線ＧＨは、直線ＡＥと直交し、線分ＡＥの中点で交わることから、直線ＧＨの式（ｙ＝ｘ/２＋３/４）を求めて解くことができますが、ここでは三角形の相似を利用してみましょう。

図７のように、直線ＧＨと直線ＡＦとの交点をＪ、直線ＧＨとｘ軸との交点をＫとすると、△ＫＡＪと△ＫＦＪ は直線ＫＪを対称軸として線対称ですから、点Ｉは直線ＫＦ上にあり、ここで点 Ｉ からｘ軸に下ろした垂線の足をＬとします。

▲図７．三角形の相似を利用します

△ＡＢＦに三平方の定理を適用すると、
ＡＦ＝３√５
で、
ＡＪ＝１/２ＡＦ
ですから、
ＡＪ＝３√５/２
になります。

ここで、△ＡＢＦ∽△ＫＦＡなので、
ＫＡ：ＡＦ＝ＡＪ：ＦＢ
で、ＡＦ＝３√５、ＡＪ＝３√５/２、ＦＢ＝３を代入して、
ＫＡ＝１５/２
です。

ＫＯ＝ＫＡ－ＯＡ
から、
ＫＯ＝１５/２－６＝３/２
で、△ＫＯＩ∽△ＫＡＦなので、
ＫＯ：ＫＡ＝ＯＩ：ＡＦ
が成り立ち、ＫＯ＝３/２、ＫＡ＝１５/２、ＡＦ＝３√５を代入して、
ＯＩ＝３√５/５
です。

一方、△ＩＯＬ∽△ＡＦＢなので、
ＯＬ：ＦＢ＝ＩＬ：ＡＢ＝ＯＩ：ＦＡ＝３√５/５：３√５＝１：５
から、
ＯＬ＝３/５
ＩＬ＝６/５
です。

したがって、点 Ｉ の座標は （－３/５，６/５）で、これが答えです。

最後の［問３］です。

△ＰＱＲ≡△ＰＱＯ
ですから、
Ｓ＝（△ＰＱＯの面積）
です。

ここで、時刻ｔにおける点Ｐと点Ｑの位置を調べましょう。

● ０≦ｔ＜６/１．５＝４　の場合、点Ｐは辺ＯＡ上を頂点Ａに向かって移動しています。
● ４≦ｔ＜６　　　　　　 の場合、点Ｐは頂点Ａに止まっています。
● ６≦ｔ＜１０　　　　　 の場合、点Ｐは辺ＯＡ上を頂点Ｏに向かって移動しています。
● １０≦ｔ　　　　　　　 の場合、点Ｐは頂点Ｏに止まっています。

● ０≦ｔ＜６　　　　　　 の場合、点Ｑは辺ＯＣ上を頂点Ｃに向かって移動しています。
● ６≦ｔ　　　　　　　　 の場合、点Ｑは頂点Ｃに止まっています。
になり、これをまとめると図８のようになります。

▲図８．時刻ｔにおける点Ｐと点Ｑの状態です

図８の４≦ｔ＜６の場合、ＯＰ＝６、４≦ＯＱ＜６なので、Ｓ＞１２になり、Ｓ≠６ です。

したがって、Ｓ＝６になるのは、０≦ｔ＜４ と ６≦ｔ＜１０の場合で、ＯＰの長さは図９のように、それぞれ１．５ｔ と １２－１．５（ｔ－２）になります。

▲図９．ＯＰの長さは、１．５ｔｃｍ　または　１２－１，５（ｔ－２）ｃｍです

そこで、それぞれのＳを計算すると、
●０≦ｔ＜４の場合
Ｓ＝１．５ｔ×ｔ×１/２
で、Ｓ＝６になるのは、ｔ＝２√２　（０≦２√２＜４です）

●６≦ｔ＜１０の場合
Ｓ＝｛１２－１．５（ｔ－２）｝×６×１/２＝４５－４．５×ｔ
で、Ｓ＝６になるのは、ｔ＝２６/３　（６≦２６/３＜１０です）
です。

以上から、Ｓ＝６になるのは ２√２秒後 と ２６/３秒後 で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｎｅｘｔ ｄａｙ と ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｄａｙ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１英語教科書の巻末の付録に、Ｊａｐａｎ’ｓ　Ｆｕｎｎｙ　Ｓｈｏｒｔ　Ｓｔｏｒｉｅｓ と題するページがあって、そこに２つの日本の「小噺」が取り上げられています。

そのなかの１つは、大工の源さんが知り合いの徳さんに本棚を作った話で、その冒頭に、
Ｇｅｎ　ｍａｄｅ　ａ　ｂｏｏｋｓｈｅｌｆ　ｆｏｒ　Ｔｏｋｕ．
（源さんは徳さんに本棚を作りました）

Ｔｈｅｙ　ｍｅｅｔ　ｔｈｅ　ｎｅｘｔ　ｄａｙ．
（源さんと徳さんは翌日会います）
とあります。

この ｔｈｅ　ｎｅｘｔ　ｄａｙ の ｔｈｅ　の有無について、 ウィズダム英和辞典 には、現在を起点として「次の」をさす場合は無冠詞で、特定の過去・未来時点を起点として「その次の［翌・・・の］」を指す場合は ｔｈｅ～ としていて、例文として、
Ｈｅ　ｗｉｌｌ　ｇｏ　ｔｏ　Ｐａｒｉｓ　ｎｅｘｔ　ｗｅｅｋ，ａｎｄ　ｔｏ　Ｒｏｍｅ　ｔｈｅ　ｎｅｘｔ　ｗｅｅｋ．
（彼は来週パリに、その翌週ローマに行く予定だ）
を挙げていて、さらに ランダムハウス英和大辞典 には、上記に加えて、 ｔｈｅ　ｎｅｘｔ　ｄａｙ［ｍｏｒｎｉｎｇ］（翌日［翌朝］）などは、ｔｈｅ を省くこともあるとしています。

つまり冒頭の英文は、源さんが徳さんに本棚を作った時点を起点とした翌日に会う（会った）ので、 ｔｈｅ　ｎｅｘｔ　ｄａｙ と ｔｈｅ がついていて、さらにこの場合（ ｄａｙ の場合）は、 ｔｈｅ がなくても可ということです。


頭に入れておくといいかもしれません。

日本数学オリンピックの簡単な問題（１４５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年日本数学オリンピック予選に出題された最小値を求める問題を取り上げます。

問題は、
「

がそれぞれ １、２、３、４、５、６ の並べ替えであるとき、

のとりうる最小の値を求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。


とします。

さらに、

とおくと、

で、これらの辺々を足し合わせると、

が成り立ちます。

このとき、

なので、

になります。

一方、
コーシー・シュワルツの不等式から、

が成り立ち、ここで、

ですから、

です。

これと（★）から
２７３＋２Ｘ≧１３２３/２
で、これを整理して、
Ｘ≧７７７/４＝１９４．２５
です。

ここで、Ｘは整数ですから
Ｘ≧１９５
が成り立ち、等号は、例えば、

つまり、

のときに成り立ちます。
（Ｘ＝　１×６＋３×１＋６×３＋２×５＋４×２＋５×４
　　　＋６×３＋１×６＋３×１＋５×４＋２×５＋４×２
　　　＋３×１＋６×３＋１×６＋４×２＋５×４＋２×５
　　　＝１９５）

以上から、

のとりうる最小値は １９５ で、これが答えです。


楽しい問題です。

ｆｒｏｍ Ａ ｔｏ Ｂ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の英語教科書に、
Ｆｒｏｍ　１０：００ ａ．ｍ． ｔｏ　４：００ ｐ．ｍ．
（午前１０時から午後４時まで）
という表現が出てきます。

この ｆｒｏｍ　Ａ　ｔｏ　Ｂ を ウィズダム英和辞典 で調べてみたところ、次のような解説がありました。

ｆｒｏｍ　Ａ　ｔｏ　Ｂ で、ＡとＢに無冠詞の両極を表す名詞を用いて、しばしば範囲の広さや変化の様子を抽象的に示す慣用表現として用いる、とあり、用例として、
ｂｅ　ｄｒｅｓｓｅｄ　ｆｒｏｍ　ｈｅａｄ　ｔｏ　ｔｏｅ［ｆｏｏｔ］　ｉｎ　ｂｌａｃｋ
（頭のてっぺんからつまさきまで黒ずくめの服装をしている）

ｆｒｏｍ　ｌｅｆｔ　ｔｏ　ｒｉｇｈｔ［ｒｉｇｈｔ　ｔｏ　ｌｅｆｔ］
（左から右に［右から左に］）<移動する、目をやるなど>

ｆｒｏｍ　ｓｔａｒｔ　ｔｏ　ｆｉｎｉｓｈ ≒ ｆｒｏｍ　ｂｅｇｉｎｎｉｎｇ　ｔｏ　ｅｎｄ
（始めから終わりまで）（後者は時に定冠詞を伴った ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｂｅｇｉｎｎｉｎｇ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｅｎｄ の形も用いられるが、前者は　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｓｔａｒｔ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｆｉｎｉｓｈ の形はまれ）

ａ　ｒｏｏｍ　ｗｏｔｈ　ｍｉｒｒｏｒｓ　ｆｒｏｍ　ｆｌｏｏｒ　ｔｏ　ｃｅｉｌｉｎｇ
（床から天井まで鏡のついた部屋）

Ｔｈｅ　ａｃｔｒｅｓｓ　ｗｅｎｔ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅａｔｅｒ　ｔｏ　ｍｏｖｉｅｓ　（ｔｏ　ＴＶ）．
（その女優は演劇から映画（、そしてＴＶ）（界）へ進出した）（３つ並べることもできるがまれ）
を挙げています。

さらに、ｆｒｏｍ　Ａ　ｔｏ　Ａ　という表現について、Ａに無冠詞の名詞を用いて、連続性、範囲の広さ、多様性を強意的に示すことがあり、１つの表現でこれら複数の用法をもつ場合もある。同じ名詞が使われているが、実際には別の実体を示すことに注意、とあり、用例として、
● 連続性
ｆｒｏｍ　ｔｉｍｅ　ｔｏ　ｔｉｍｅ
（時々、時折）

ｆｒｏｍ　ｐｅｒｓｏｎ　ｔｏ　ｐｅｒｓｏｎ
（人から人へ）<広まる、伝わる>、（人によって）<さまざまである>

ｌｏｏｋ　ｆｒｏｍ　ｆａｃｅ　ｔｏ　ｆａｃｅ， ｌｏｏｋｉｎｇ　ｆｏｒ　Ｂｉｌｌ
（ビルはいないかと面々の顔に目をやる）

● 範囲
ｆｒｏｍ　ｓｉｄｅ　ｔｏ　ｓｉｄｅ
（左右に）<揺れるなど>、（端から端まで）<見るなど>

ｇｒｉｎ ［ｓｍｉｌｅ］ ｆｒｏｍ　ｅａｒ　ｔｏ　ｅａｒ
（口を大きく開けてにやにや笑う［にっこりする］）

● 変化・多様性
ｆｒｏｍ　ｙｅａｒ　ｔｏ　ｙｅａｒ
（年々）<変化するなど>、（年によって）<さまざまである>

ｆｒｏｍ　ｄａｙ　ｔｏ　ｄａｙ
（毎日）<変化するなど>、（日々）<生活するなど>、（日によって）<さまざまである>、（時々）

Ｂｏｄｙ　ｌａｎｇｕａｇｅ　ｖａｒｉｅｓ　ｆｒｏｍ　ｃｏｕｎｔｒｙ　ｔｏ　ｃｏｕｎｔｒｙ．
（身体言語は国によってさまざまだ）

Ｗｅ　ｗｅｒｅ　ｇｏｉｎｇ　ｆｒｏｍ　ｓｔｒｅｎｇｔｈ　ｔｏ　ｓｔｒｅｎｇｔｈ．
（我々はますます強力になりつつあった）
を挙げています。

そのほかにも、
Ｔｈｅｙ　ｋｅｐｔ　ｏｎ　ｌｉｖｉｎｇ　ｆｒｏｍ　ｈａｎｄ　ｔｏ　ｍｏｕｔｈ．
（彼らはその日暮らしを続けていた）
といった表現もあります。


頭に入れておくと役に立つかも知れません。

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（１４４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年ジュニア数学オリンピック予選に出題された整式の問題を取り上げます。

問題は、
「ａ、ｂ、ｃを整数とする。
多項式

と １７以上の整数ｍ、ｎが Ｐ（１６）＝５９、Ｐ（ｍ）＝３０、Ｐ（ｎ）＝２０１８ をみたしているとき、ａの値としてありうるものをすべて求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

与えられた条件から

が成り立ちます。

ここで、（１）－（２）から

です。

このとき、１６－ｍは負の整数で、（１６＋ｍ）ａ＋ｂ は整数ですから、（４）を満たす １６－ｍと（１６＋ｍ）ａ＋ｂ の組合せ、（１６－ｍ，（１６＋ｍ）ａ＋ｂ）は、（－１，－２９）と（－２９，－１）になります。

● （－１，－２９）の場合
１６－ｍ＝－１
から
ｍ＝１７
です。

● （－２９，－１）の場合
１６－ｍ＝－２９
から
ｍ＝４５
です。

以上から、ｍ＝１７ または ４５ になります。

次に、（１）－（３）から

で、６５３は素数です。

このとき、１６－ｎは負の整数で、（１６＋ｎ）ａ＋ｂ は整数ですから、（５）を満たす １６－ｎと（１６＋ｎ）ａ＋ｂ の組合せ、（１６－ｎ，（１６＋ｎ）ａ＋ｂ）は、（－１，１９５９）、（－３，６５３）、（－６５３，３）、（－１９５９，１）になります。

● （－１，１９５９）の場合
１６－ｎ＝－１
から
ｎ＝１７
です。

● （－３，６５３）の場合
１６－ｎ＝－３
から
ｎ＝１９
です。

● （－６５３，３）の場合
１６－ｎ＝－６５３
から、
ｎ＝６６９
です。

● （－１９５９，１）の場合、
１６－ｎ＝－１９５９
から
ｎ＝１９７５
です。

以上から、ｎ＝１７、１９、６６９ または １９７５ になります。

さらに、（２）－（３）から

で、ｍ－ｎ は、１９８８の約数になります。

そこで、ｍ＝１７ または ４５、ｎ＝１７、１９、６６９ または １９７５ から可能なｍ－ｎを計算すると、

になり、これらのなかで１９８８の約数になるのは、－２、２８で、それぞれ、ｍ＝１７、ｎ＝１９ と ｍ＝４５、ｎ＝１７の場合です。

そこで、これらの２つの組合せを（４）（５）に代入すると、
● ｍ＝１７、ｎ＝１９
３３ａ＋ｂ＝－２９
３５ａ＋ｂ＝６５３
で、この連立方程式を解くと、
ａ＝３４１
ｂ＝－１１２８２

●ｍ＝４５、ｎ＝１７
６１ａ＋ｂ＝－１
３３ａ＋ｂ＝１９５９
で、この連立方程式を解くと、
ａ＝－７０
ｂ＝－４２７１
です。

したがって、ａの値としてありうるのは、３４１、－７０ で、これが答えです。


簡単な問題です。

直接話法の伝達部の倒置（２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

英語で主語と述語動詞の順が逆になることを 倒置 といい、疑問文や Ｔｈｅｒｅ　ｉｓ・・・の構文はその身近な例ですが、これ以外にも、直接話法 の伝達部に 倒置 を見ることがあります。

例えば、中１教科書の Ａｌｉｃｅ　ａｎｄ　Ｈｕｍｐｔｙ　Ｄｕｍｐｔｙ に、倒置 でない
“Ｉ　ｓｅｅ，” Ａｌｉｃｅ　ｓａｉｄ．
（「分かったわ」とアリスは言いました）
という文と、その少し後に、倒置 している
“Ｓｔｏｐ！” ｃｒｉｅｄ　Ｈｕｍｐｔｙ　Ｄｕｍｐｔｙ．
（「やめろ！」とハンプティ・ダンプティは叫んだ）
という文を見つけることができます。（この 倒置 は、話者が代名詞のときは起きず、２番目の文で、Ｈｕｍｐｔｙ　Ｄｕｍｐｔｙ を ｈｅ に変えると、“Ｓｔｏｐ！” ｈｅ　ｃｒｉｅｄ． とするのが普通です）

この 倒置 するしないの違いについて 表現のための実践ロイヤル英文法 に、被伝達部を前に出すとき、話者が名詞の場合には 倒置 することが多く、このほうが「伝統的な物語風」な書き方で、いささかおとぎ話っぽい感じがある、と解説しています。

さらに、伝達部が被伝達部の後にある
“Ａｎｄ　ｈｏｗ　ａｒｅ　ｙｏｕ　ｆｅｅｌｉｎｇ　ｔｏｄａｙ？” ｔｈｅ　ｄｏｃｔｏｒ　ａｓｋｅｄ．
ような文だけではなく、伝達部が被伝達部の間にある
“Ａｎｄ　ｈｏｗ，” ｔｈｅ　ｄｏｃｔｏｒ　ａｓｋｅｄ， “ａｒｅ　ｙｏｕ　ｆｅｅｌｉｎｇ　ｔｏｄａｙ？”
でも、倒置 するかはどうかは好みの問題であると記しています。

それでは、伝達部が被伝達部の前にあるときの 倒置 について調べてみましょう。

それについて、 現代英語語法辞典 に、「倒置形を文頭に用いる用法はジャーナリズムの英語に多く、これは大衆受けをねらった用法で、一般的ではない」とし、例文として、
Ｓａｉｄ　ａ　Ｍｉｎｉｓｔｅｒ：“Ａｍｅｒｉｃａｎ　ｉｎｔｅｒｅｓｔｓ　ａｒｅ　ｎｏｔ　ｌａｒｇｅ　ｅｎｏｕｇｈ　ｉｎ　Ｍｏｒｏｃｃｏ　ｔｏ　ｉｎｄｕｃｅ　ｕｓ　ｔｏ　...”
（「我々が（何かを）しなければならないほど米国のモロッコに対する権益は大きくない」と大臣発言）
を挙げています。

さらに、「なぜ、その英語では通じないのか？」（マーク・ピーターセン著）には、
Ｑｕｏｔｈ　ｔｈｅ　Ｒａｖｅｎ， “Ｎｅｖｅｒｍｏｒｅ．”
（大鴉［おおがらす］は言った。「二度とはない」）
という用例を挙げていますが、このような伝達部が被伝達部の前にあるときの 倒置 は極めて珍しいと言っています。


同じような話を 直接話法の伝達部の倒置 に書いているので、興味のある方は覗いてみてください。　

平成３０年度都立高校入試問題（３）［日比谷高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は平成３０年度都立高校数学入試問題を取り上げます。

問題は、日比谷高で出題された大問１の作図問題で、それは、
「下の図で、△ＡＢＣの３点Ａ、Ｂ、Ｃは同じ円周上にあり、直線ｌ は辺ＡＣ、辺ＡＢとそれぞれ交わっている。
　解答欄に示した図をもとにして、直線ＡＢに関して点Ｃと同じ側に、
∠ＡＰＢ＝１/２∠ＡＣＢ となる直線 ｌ 上の点Ｐを定規とコンパスを用いて作図し、点Ｐの位置を表す文字Ｐも書け。
　ただし、作図に用いた線は消さないでおくこと。」

▲問題図

です。

中心角と円周角を利用すれば簡単に作図できそうです。

まず図１のように、線分ＡＢの垂直二等分線を引きましょう。

▲図１．線分ＡＢの垂直二等分線を引きました

この垂直二等分線と△ＡＢＣの外接円との交点で、直線ＡＢに関して点Ｃと同じ側にあるほうを点Ｏとします。

このとき、∠ＡＯＢと∠ＡＣＢは、同じ円弧ＡＢの円周角ですから、
∠ＡＯＢ＝∠ＡＣＢ　　　　　　　　（１）
です。

次に図２のように、点Ｏを中心とする半径ＯＡの円Ｏを描くと、△ＯＡＢは二等辺三角形なので、点Ｂは円Ｏの円周上にあります。

▲図２．点Ｏを中心とする半径ＯＡの円の周上に点Ｂがあります

ここで、円Ｏと直線 ｌ との交点をＰとすると、∠ＡＰＢと∠ＡＯＢは円周角と中心角の関係ですから、
∠ＡＰＢ＝１/２∠ＡＯＢ　　　　　（２）
です。

すると（１）と（２）から、
∠ＡＰＢ＝１/２∠ＡＣＢ
になり、点Ｐを求めることができました。


（円周角の大きさ）＝（中心角の大きさ）×１/２ をしっかり覚えておきましょう。

ｂｅ ｆａｍｏｕｓ ｆｏｒ～ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

ｂｅ　ｆａｍｏｕｓ　ｆｏｒ～　は、中２の教科書に、
Ｍｙ　ａｕｎｔ　ｋｎｏｗｓ　Ｊａｐａｎ　ｉｓ　ｆａｍｏｕｓ　ｆｏｒ　ｓｕｓｈｉ．
（私のおばは、日本が寿司で有名だということを知っています）
という文で登場し、「～で有名だ」 を意味しますが、これを ウィズダム英和辞典 で調べてみると、『語法のポイント』 として次のように記してあります。

「当所は釈迦(しゃか)の生誕地として知られている」 を表す英文として、
× Ｔｈｉｓ　ｐｌａｃｅ　ｉｓ　ｆａｍｏｕｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｂｉｒｔｈｐｌａｃｅ　ｏｆ　Ｂｕｄｄｈａ．
は誤りで、正しくは、
○ ｔｈｉｓ　ｐｌａｃｅ　ｉｓ　ｆａｍｏｕｓ　ａｓ　ｔｈｅ　ｂｉｒｔｈｐｌａｃｅ　ｏｆ　Ｂｕｄｄｈａ．
とします。

と言うのは、この例文のように、Ｔｈｉｓ　ｐｌａｃｅ ＝ ｔｈｅ　ｂｉｒｔｈｐｌａｃｅ の関係が成り立つ場合は ａｓ～ を用い、～が主語に属しているものの場合は ｆｏｒ～　を使います。

教科書の英文の場合、 Ｊａｐａｎ ≠ ｓｕｓｈｉ ですから、 ｂｅ　ｆａｍｏｕｓ　ｆｏｒ になるということです。


頭に入れておくとよいでしょう。

日本数学オリンピックの簡単な問題（１４４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年日本数学オリンピック予選に出題された場合の数の問題を取り上げます。

問題は、
「１以上１２以下の整数を２個ずつ、６個のペアに分割する。ｉ と ｊ がペアになっているとき、ｌ ｉ－ｊ ｌ の値をそのペアの得点とする。６組のペアの得点の総和が３０となるような分割の方法は何通りあるか。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

各ペアの２つの整数のうち、小さいほうの整数の和をＡ、大きいほうの整数の和をＢとすると、
Ａ＋Ｂ＝１＋２＋３＋・・・＋１２＝７８
Ｂ－Ａ＝３０
が成り立ちます。

この連立方程式を解くと、
Ａ＝２４
です。

つまり、Ａに属する６個の整数は１以上１２以下の６個の整数の和が２４になる組合せで、さらに、１は必ずＡに、そして１２は必ずＢに含まれるので、Ａの残りの５個の整数は２以上１１以下の５個の整数の和が２３になる組合せになります。

この組合せを求めるために、まず、２以上１１以下の小さいほうの５個の整数の和を計算してみると、それは２＋３＋４＋５＋６＝２０で、２３に対して３小さいことが判ります。

したがって、２、３、４、５、６を７、８、９、１０、１１と入れ替えて、その和を３大きくする必要があります。

そこで、この数の入れ替えを調べましょう。

２または３を７以上の整数に入れ替えた場合、和は５または４大きくなるので、２と３は入れ替えることができません。

４⇔７、５⇔８、６⇔９は、和を３大きくします。（⇔は入れ替えを表します）

４⇔５かつ５⇔７、または、４⇔６かつ６⇔７、または、５⇔６かつ６⇔８ は、和を３大きくしますが、それぞれ、４⇔７、４⇔７、５⇔８ と同じです。

したがって、和を３大きくする入れ替えは、４⇔７、５⇔８、６⇔９ の３通りになります。

続いて、これらの３通りの入れ替えを調べていきましょう。

● ４⇔７の場合
１以上１２以下の整数で、Ａに属する整数を赤色でマークすると、
１、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１２
になります。

このとき、Ｂに属する４のペアは１、２、３のいずれかで、残りの８、９、１０、１１、１２はＡに属するいずれの整数ともペアになれるので、この場合の組合せは、
３×５！＝３６０（通り）
です。

● ５⇔８の場合
１以上１２以下の整数で、Ａに属する整数を赤色でマークすると、
１、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１２
になります。

このとき、Ｂに属する５のペアは１、２、３、４のいずれかで、７のペアは５のペアの残りと６で、残りの９、１０、１１、１２はＡに属するいずれの整数ともペアになれるので、この場合の組合せは、
４×４×４！＝３８４（通り）
です。

● ６⇔９の場合
１以上１２以下の整数で、Ａに属する整数を赤色でマークすると、
１、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１２
になります。

このとき、Ａに属する９のペアは１０、１１、１２のいずれかで、残りの１、２、３、４、５はＢに属するいずれの整数とともペアになれるので、この場合の組合せは、
３×５！＝３６０（通り）
です。

以上から、求める分割の方法は、
３６０＋３８４＋３６０＝ １１０４ （通り）
で、これが答えです。


簡単な問題です。

ａｔ ｓｃｈｏｏｌ と ｉｎ ｓｃｈｏｏｌ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

ａｔ　ｓｃｈｏｏｌ は、中１、２、３の英語教科書に、それぞれ、
Ｉ　ｐｌａｙ　ｉｔ　ａｔ　ｓｃｈｏｏｌ　ｅｖｅｒｙｄａｙ．
（僕は毎日、学校でそれ［サッカー］をするよ）
Ｉ　ｓｐｅａｋ　ｉｔ　ａｔ　ｓｃｈｏｏｌ．
（私はそれ［ヒンディー語］を学校で話します）
Ｈｅ　ｗａｓ　ｎｏｔ　ｄｏｉｎｇ　ｗｅｌｌ　ａｔ　ｓｃｈｏｏｌ．
（彼は学校で成績がよくなかった）
という文で登場します。

この ａｔ　ｓｃｈｏｏｌ を ウィズダム英和辞典 で調べてみると、上記の 『校（舎）内で［に］』 のほかに、主にイギリス英語で、『（就職したり大学に通うのではなく）小学［中学、高］校に通って、在学中で』 を意味すると記してあり、その例文として、
Ｗｅ　ｈａｖｅ　ａ　ｄａｕｇｈｔｅｒ　ａｔ　ｓｃｈｏｏｌ．
（高校生［小学生、中学生］の娘がいる）
を挙げています。

さらに、その下段には、ｉｎ　ｓｃｈｏｏｌ という成句があり、その意味として、 ａｔ　ｓｃｈｏｏｌ と同じ 『校（舎）内で［に］』 以外に、主にアメリカ英語で、『（就職しているのではなく）在学中で（大学生であることも含む）』 とあり、オックスフォード現代英英辞典 に、
Ｉ　ｈａｖｅ　ａ　ｔｅｎ－ｙｅａｒ　ｏｌｄ　ｉｎ　ｓｃｈｏｏｌ．
（１０歳の小学生がいる）
という例文を見つけることができます。

このように 『在学中』 という意味では、イギリス英語では、 ａｔ　ｓｃｈｏｏｌ （大学在学中は ａｔ　ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ）、アメリカ英語では、 ｉｎ　ｓｃｈｏｏｌ （大学在学中を含む）となります。


頭の片隅に入れておけば、役に立つこともあるかも知れません。